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Courbes et limites
Bonjour,
Je voudrais un peu d'aide concernant l'exercice suivant :
Soit f la fonction définie par f(x) =
1) Déterminer le domaine de définition de f
2) Déterminer les limites de f aux bornes de ce domaine
3) Calculer :
limx
+
f(x) - ( x - 2 ) puis limx- f(x) - ( x - 2 )
4a) Que peut-on en déduire de la droite (D) d'équation y = x - 2 pour la courbe représentative de f ?
4b) Déterminer le signe de f(x) - ( x - 2 )
En déduire la position de la droite (D) par rapport à la courbe représentative de f.
Mes réponses:
1)
La fonction f a pour domaine de définition : 
2)
f(x) =
=
=
limx+ f(x) = + / 1 = +
limx- f(x) = - / 1 = -
3)
En développant f(x) - ( x - 2 ), je trouve :
=
Donc,
limx+ f(x) - ( x - 2 ) = 0-
limx- f(x) - ( x - 2 ) = 0+
4a)
Quand x tend vers un très grand nombre, on peut assimiler la droite y = x - 2 à la tangente de f
4b)
Quand x = 2, f(2) = 0 et y = 0
Quand x 
]2;+[ f(x) - ( x - 2 ) est négatif donc la droite y = x - 2 est au dessus de f
Quand x ]-;2[ f(x) - ( x - 2 ) est positif donc la droite y = x - 2 est en dessous de f
( Je connais ces résultats grâce à la calculatrice mais je n'arrive pas à les démontrer )
Tu as établi le signe de f(x)-(x-2), donc tu sais dire quand la courbe est au-dessus ou au-dessous....
Je me suis mal exprimé, je voulais savoir, en fait, comment on démontre le signe f(x)-(x-2).
J'ai pensé à faire un tableau de signes. Est-ce que ce serait correct d'en faire un ?
Et je voulais savoir également si l'ensemble de mes réponses était correct ou si je dois modifier certaines choses ( j'ai modifié la question 4a suite à la première intervention de Cpierre60 ).
f(x) -(x-2)=-4(x-2)/(x²-4x+9)
quel est le signe du dénominateur ?
quel est le signe du numérateur suivant la position de x par rapport à 2 ?
D'accord je viens de comprendre.
En calculant le discriminant du dénominateur, je trouve qu'il est négatif donc le signe du dénominateur correspond au signe de a ( étant donné qu'il est positif, le dénominateur est positif ).
Ensuite, on voit que lorsque x > 2, le numérateur est négatif. On peut le prouver avec ceci :
x > 2
x-2 > 0
-4(x-2) < 0
On fait la même chose pour x < 2:
x < 2
x-2 < 0
-4(x-2) > 0
Dû coup, lorsque l'on fait un rapport entre le numérateur et le dénominateur. On obtient les positions suivantes:
° La droite (D) est au dessus de f quand x > 2 car le rapport entre le numérateur et le dénominateur est négatif
° La droite (D) est en dessous de f quand x < 2 car le rapport entre le numérateur et le dénominateur est positif.
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