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courbes rationnelles

Posté par Ijk (invité) 19-05-04 à 05:43

Bonjour,

Je suis face à un problème que mon pauvre cerveau n'arrive pas à résoudre
tout seul. D'ailleurs je ne pense pas qu'il puisse être résolu en
3 secondes. Ainsi, si vous arrivez juste à m'orienter, je vous en
serai déjà très reconnaissant.

Mon problème :
J'ai l'équation affine d'une courbe de degré n.
Je veux en obtenir une représentation paramétrique.

Je suppose que pour une équation affine de degré n correspond une représentation
paramétrique rationnelle : x = P(t)/Q(t), y = Q(t)/R(t), où P,Q,
R sont des polynômes en t de degré (maximum) n. Je suppose car je
ne vois pas comment démontrer cela.

De plus je tiens à choisir 2 points sur la courbe. Le 1er correspondant
à t=0 et le 2nd à t=1. Mais ces points peuvent être n'importe où
sur la courbe ! i.e. on ne les choisit pas pour avoir des calculs
plus simples.

Ma question :
Existe-il une méthode permettant de trouvé une représentation paramétrique
à une équation affine de degré n ? Et quelle est cette méthode ?
(Je cherche une méthode générale.)

Pour une équation linaire ou quadratique, il est facile d'en trouver une
représentation unicursale. Mais pas pour une équation cubique et
encore moins quartique !

Merci d'avance.
Ijk.

Posté par ijk (invité)complement 19-05-04 à 11:58

Rebonjour,

Je présume que mon énoncé est un peu « vague » ? Je vais donc l'expliquer
avec une courbe affine du second degré.

Je m'excuse de mes notations qui manque de rigueur mathématique. Alors
n'hésitez pas à faire des remarques si elles permettent de rendre
l'énoncer plus claire et plus précis.

J'utilise une notation barycentrique.

Soit (x,y,z)    3 tel que
x+y+z = 1

Soit C2 une courbe algébrique du 2nd degré dont l'équation
affine, en coordonnées homogène, est :

   a.x2 + 2.b.x.y + c.y2
  + 2.d.x.z + 2.e.y.z
                + f.z2 = 0
avec a,b,c,d,e,f    

Soit (u,v)    2 tel que
u+v = 1

On peut en déduire une représentation paramétrique en coordonnée uniforme
(x,y,z) :
Soit P2(u,v) une courbe rationnelle vérifiant C2.

P2(u,v)  = A.u2 + 2.B.u.v + C.v2
avec A,B,C    3

Un exemple pour être concret

Soit la Courbe C2 :  
x2 + y2 - z2 = 0 (oh ! le beau cercle)

On choisit A=(-1,0,1) et C=(1,0,1) tous deux sur C2.
Et après calcul on en déduit qu'il existe deux points permettant de
vérifie  P2 sur la courbe C2 :
B=(0,1,0) ou (0,-1,0)  

D'où P2 = (-u2 + v2, 2.u.v, u2
+ v2) ou (-u2 + v2, -2.u.v, u2
+ v2)

Voilà, Je n'ai pas expliqué comment je calcule le point B car justement
c'est ce que je cherche ! Une méthode pour calculer le point B.

En vérité, j'ai déjà trouvé une méthode pour calculer ce point. Car
ce n'est que du second degré ! Je coince pour la représentation paramétrique
d'une courbe affine de degré supérieur. Et dans ce cas que je n'ai
aucune méthode.

Pour une équation affine de degré n. Il doit exister une représentation
paramétrique :
Pn(u,v) =   (An.un.v0 +
An-1.un-1.v1 + ... + A1.u1.vn-1
+ A0.u0.vn)
avec An, An-1, ... , A1, A0
  3

Connaissant les 2 points An et A0, comment trouver tous
les autres An-1, ...,  A1 ?




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