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courbes sur le disque unité ouvert

Posté par
louetcharles
19-02-21 à 20:31

Bonsoir

Soit une courbe paramétrée sur le disque unité ouvert :c(t)=r(t).e^{i\theta }
On doit montrer que :

                  \int_{0}^{l}{\frac{\left|c'(t) \right|}{1-\left|c(t)^{2} \right|}}dt\geq\int_{0}^{l}{\frac{r'(t)}{1-\left|r(t)^{2} \right|}}dt

J'ai posé c(t)=x(t)+iy(t) et j'ai tout fait avec cette expression ou du moins j'essaie de montrer ceci en utilisant cette expression

Qu'en pensez vous?

Merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 21:14

Bonsoir,

Il me paraît nettement plus approprié de rester en coordonnées polaires  avec  ^large c(t) = r(t) e^{i\theta(t)}. Tu peux dériver c par rapport à t sous cette forme.
Tu ne l'avais pas écrit, mais je suppose que \theta dépend aussi de t.

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 21:15

Pardon, \large c(t) = r(t) e^{i\theta(t)}

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:13

Merci GBZM , oui excuse moi c' est bien theta de t

Comme je démarre avec les fonctions complexes , est ce que le module de e^ i theta(t) est égal à 1 ?

En plus , j'ai du souci pour simplifier la fraction sous l' intégrande

Pourquoi ce 1- (c(t))^2   et  1-(r(t))^2 ?

Merci

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:30

Oui bien sûr, si \theta est réel, e^{i\theta} est le nombre complexe de module 1 et d'argument \theta.

En conséquence, si c = re^{i\theta} avec r réel positif ou nul, le module de c est ...

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:32

Il est égal à r

Mais ici module de c(t) est égal à r(t)

On est d'accord accord ?

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:39

Ça te fait déjà un bout d'explication.

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:43

On est d'accord que dans les 2 intégrales , il y a un terme commun : 1- Ic(t)I^2  =  1- (r(t))^2

Ou j' ai rien compris ?

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:47

Oui, c'est pourquoi je te dis que ça fait déjà un bout d'explication. Reste à comparer r'(t) et |c'(t)|.

Bonne nuit !

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 19-02-21 à 22:51

C' est ce que j'ai avais compris aussi ; ouf !

Un grand merci à toi GBZM

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 20-02-21 à 10:20

Avec plaisir.

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 14:27

Bonjour je reviens sur ce post

Je n'arrive pas à voir ce que les deux intégrales de mon message de départ représentent géométriquement

Merci de m'éclairer ( j'ai dû passer à côté de quelque chose dans mon cours de géométrie hyperbolique)

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:03

Celle de gauche, c'est la longueur d'un chemin dans le disque de Poincaré (pour la métrique hyperbolique).

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:15

Ah ok , soit la longueur hyperbolique d'une courbe différentiable entre 0 et l dans le disque

J'espère avoir bien compris

Mais le Ir(t)I ^2 serait IIc(t)II^2 ?

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:21

Pourquoi entre 0 et 1 ???  La courbe va de c(0) à c(1)

Citation :

Mais le Ir(t)I ^2 serait IIc(t)II^2 ?

1°) Pourquoi mets-tu des doubles barres ?
2°) N'a-t-on déjà pas vu que |c(t)|^2  =  r(t)^2 ?

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:26

Oui excuse moi

Mais alors comment interpréter Ic'(t)I>=r'(t) ?

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:29

Que vaut c'(t) ? (en partant de c(t)=r(t) e^{i\theta(t)}).

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:34

e^{i\theta (t)}.(r'(t)+r(t).i.\theta '(t))

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:51

Et quel est le module de ce nombre complexe ?

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 15:57

Racine carrée de [r'(t) au carré + (r(t).theta'(t)) au carré ]

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 16:21

Alors, ne vois-tu pas l'inégalité Ic'(t)I>=r'(t) ?

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 18:55

Si si GBZM je la vois

Mais ce qui me gêne , c'est " que représente t elle géométriquement cette inégalité "

Comme tu m' as dit que l'intégrale de gauche est la longueur hyperbolique de la courbe entre 0 et l sur le disque , je pense que celle de droite représenterait la longueur du chemin si les deux points étaient sur l' axe des abscisses

La longueur du chemin est plus grande que celle à vol d' oiseau

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 19:15

Je t'ai déjà dit que ton "entre 0 et 1" ne me plaît pas. Le chemin est entre c(0) et c(1).

Pour ce qui est le la deuxième intégrale tu peux voir ça comme ça, sauf que c'est la longueur du chemin à vol d'oiseau uniquement dans le cas où c(0) et c(1) ont même argument et r est monotone.

L'exercice se limite à cette question ? Il n'y a rien autour ?

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 21-02-21 à 23:44

Non malheureusement , cela s'arrête là car cet exercice correspond à la fin d'un long
DM .

Je vois que tu es à l'aise comme un poisson dans l'eau avec toutes ces notions que je découvre et je trouve cela très beau

L'occasion ne manquera pas de te déranger car j'ai les groupes de Lie , les fonctions holomorphes , les variétés différentielles et tout ce que tu aimes et qui me désarment

J'avoue que le disque , le demi-plan de Poincaré , les transformations de Möbius et l'inversion  qui faisaient l'objet de ce DM sont des notions plus alléchantes pour moi.

Le crochet de Lie par exemple semble hyper abstrait
Qu'est ce que j'aimerais avoir le cerveau de GBZM!!!!

Encore un grand merci!

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 22-02-21 à 09:16

Avec plaisir.
Tu sais, l'expérience vient avec l'âge et je ne suis pas sûr que tu échangerais ton âge avec le mien ! Tu as la chance d'avoir plein de jolies choses à découvrir.

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 27-02-21 à 12:56

Bonjour ,

Ton message est adorable GBZM mais j'ai 56 ans ; j'ai repris mes études de maths il y a 4 ans car cela fait 15 ans que je donne des cours particuliers après avoir eu un bac C en 1982! Donc tu vois , moi aussi je suis "vieille"!

Mais ce que tu dis , je le dis à ma fille qui est en terminale Spé Maths car il n'y a plus de séries avec le nouveau bac de Mr Blanquer .

Elle veut choisir , au grand oral prévu en juin , de parler des fractales et du nombre d'or!

Posté par
GBZM
re : courbes sur le disque unité ouvert 27-02-21 à 13:34

Tu restes tout de même un(e) petit(e) jeune pour moi !

Posté par
louetcharles
re : courbes sur le disque unité ouvert 27-02-21 à 13:42

😊😊😊😊😊



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