Bonjour,

Des années après mes derniers cours de géométrie différentielle, je me remémore vaguement une notion de courbure et je me souviens que pour la calculer, j'appliquais bêtement des formules qui, intuitivement, ne me disaient rien.

Je me dis donc (j'ai une vie passionnante) que je vais essayer de voir si je peux, par moi même, retrouver cette définition.

Je pense assez rapidement à la norme du vecteur accélération d'une trajectoire parcourue à vitesse unitaire constante (rien d'original jusque là puisque je vois ensuite que c'est une des définition classique).

Finalement, en continuant un peu, (en cherchant une formule qui ne nécéssite pas de normaliser la vitesse de parcourt) j'arrive à trouver une autre définition du rayon de courbure et je n'ai retrouvé cette expression nul part ailleurs en survolant (très rapidement) des cours de géométrie différentielle (auxquels je ne comprends rien d'ailleurs)

Cette définition (ou propriété puisque la courbure est déjà définie autrement) fait intervenir la vitesse linéaire, sa dérivée et la norme du vecteur accélération.

Voici la formule (j'ai vérifié avec sage sur plusieurs cas qu'elle coincide parfaitement avec la formule classique de courbure non algébrique i.e. valeur absolue de la courbure algébrique)



R est le rayon de courbure
v est la vitesse linéaire (norme du vecteur vitesse)
v' est la dérivée de v
a est la norme du vecteur accélération

Est-ce que cette formule est connue et je ne l'ai juste pas trouvée ailleurs?
Est-elle inintéressante? J'imagine que oui mais elle diffère des autres formules dans la mesure ou elle ne fait intervenir que la norme du vecteur vitesse et du vecteur accélération, la où les autres formules font intervenir les coordonnées de ces vecteurs.

Merci d'avance,
Fabien