Niveau enseignement

Cours approfondi de TS

Posté par
Alishisap 18-08-19 à 10:07

Bonjour,

j'ai rédigé ces derniers mois un cours de terminale S à destination de très bons lycéens souhaitant poursuivre en études de mathématiques. Il s'agit de l'ancien programme mais très approfondi sur 4 thèmes : les suites réelles, les complexes, la géométrie algébrique et les fonctions. L'approfondissement porte sur les notions : on va plus loin, ainsi que sur les démonstrations : presque toutes les propositions sont démontrées.

A la base rédigé pour mon frère, je ne sais pas si ça intéresse quelqu'un (au moins moi dans l'avenir me destinant à être prof, ça fait un support) mais dans le doute ben ça ne coûte rien de le partager ici.

Par contre je vous préviens, il est très austère : il faudrait que j'ajoute des illustrations et des exemples pour le rendre plus digeste.

Posté par re : Cours approfondi de TS 19-08-19 à 12:24

Bonjour,

Merci beaucoup, c'est très intéressant !

Posté par re : Cours approfondi de TS 20-08-19 à 22:43

Bonsoir,

C'est très gentil de partager ton travail.

Voici quelques propositions de correction :

Pour les raisonnements, il y a des choses qui me troublent.

Par exemple montrer qu'une implication est fausse, tu ne parles pas de contre exemple.

Tu dis simplement : "On suppose que A est vraie, et on en déduit que B est faux."

Ce qui revient à montrer l'implication $A\implies \neg B$

dès lors tu montres bien que $(A\implies \neg B)\implies \neg(A\implies B)$ , mais la réciproque est fausse.

Montrer qu'une implication est fausse, c'est montrer que sa négation est vraie, et donc utiliser un contre exemple qui vérifie A et non B.
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Démonstration d'une équivalence :
Démonstration directe. On suppose que P est vraie, et par une chaîne d'équivalences,
on en déduit que c'est équivalent à une autre équivalence P0 dont on sait qu'elle est vraie.

Là, je ne vois pas trop ce que ça veut dire....pour moi une équivalence est une double implication rien de plus comme tu l'as écrit à la suite, et donc ce passage me semble inutile. mais bon, je peux me tromper...

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Citation :

Par analyse-synthèse. On suppose l'existence d'un Y vérifiant C. On en déduit des
propriétés sur Y , et on finit par isoler un objet X1 qu'on suppose être candidat : c'est
l'analyse. Et on vérifie que X1 convient en utilisant le point précédent : c'est la synthèse.
Si X1 ne marche pas, on continue à trouver de nouvelles propriétés sur Y jusqu'à trouver
un X2 qui semble convenir, et ainsi de suite.

Pour l'analyse synthèse .

En gros, on suppose l'existence de $y\in E$ , vérifiant la propriété $C$ . Dit autrement : on suppose que $S:=\{y\in E, C(y)\}$ est non vide

On déduit des conditions nécessaires pour que $C$ se réalise, que l'on note $p_1, p_2,\cdots ,p_n$

On note $X_i:=\{z\in E, p_i(z)\}$ , il s'ensuit que les candidats sont dans $\bigcap_{i=1}^nX_i$

Donc ce qui est noté en rouge est faux.

On cherche un maximum de conditions nécessaires pour réduire au maximum le nombre de candidats. Lorsque le nombre d'élément de $\bigcap_{i=1}^nX_i$ est acceptable pour une vérification. On teste les éléménts de cet ensemble un à un

Posté par re : Cours approfondi de TS 21-08-19 à 09:12

J'ajoute encore quelques commentaires :

Théorème 1.2.1 :

Le théorème formel ne sera pas donné tel quel en cours. Notamment la notion de prédicat n'est pas du tout au programme.

De quel théorème formel parles-tu? Tu as tout dit sauf le nom de ce théorème (ou axiome), qu'on appelle axiome (raisonnement) de(par) récurrence

Il y a des définitions qui manquent de rigueur par exemple la définition d'une suite divergente, on trouve deux définitions (voire trois) Déf 2.2.1 et Déf 2.2.2. La première est confuse, tu devrais la supprimer et ne garder que la définition 2.2.2 : une suite divergente est une suite qui n'est pas convergente. et donner deux exemples classiques $v_n=(-1)^n $ et $ u_n =n$

Dans le théorème 2.2.1, tu parles de "suite croissante (strictement ou non)"

là encore cette précision "strictement ou non" est inutile,et peut perdre le lecteur ,puisque la stricte monotonie implique la monotonie. Dit autrement : si on note l'ensemble des suites croissantes $C$ et l'ensemble des suites strictement croissantes $SC$ , on a $SC\subset C$

Dans le commentaire de la définition 2.2.4, tu parles de "définition officielle", ce qui sous-entend que ta définition est officieuse alors qu'elles disent la même chose.

Posté par re : Cours approfondi de TS 21-08-19 à 10:10

Encore un autre commentaire :

Le théorème 2.2.3 me semble faux .

On prend $f(x)=1$ pour tout $x<0$ et $f(x)=0$ sinon, et la suite $u_n=1/n$

On a bien $f(u_n) \to f(0)=0$ mais $f$ ne possède pas de limite en 0

Posté par re : Cours approfondi de TS 15-09-19 à 01:00

Oui, le théorème 2.2.3. est mal formulé.

La bonne version est :

Soit $f : \R\rightarrow \R$ , et $a,\ell \in \R$

$f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ , alors $(f(x_n))_n$ converge vers $\ell$ .

On peut évidemment restreindre le domaine de $f$ à un intervalle ouvert quelconque.