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Coût total, coût moyen et coût marginal
Bonjour, j'ai un DM à rendre malheureusement je suis bloqué depuis pas mal de temps maintenant, j'aurais donc besoin d'aide.
Énoncé:
Une entreprise est spécia-
lisée dans le recyclage de
bouteilles d'eau en plastique
et peut produire chaque
jour entre O et 10 tonnes de
plastique.
Le coût total quotidien de production, en euro, est
modélisé par la fonction C définie sur [0;10] par :
C(q) = 15q^3 -100q^2 + 500q +300
où q est la masse, en tonne, de plastique recyclé dans
la journée,
On note CM le coût moyen et Cm le coût marginal,
1. Montrer que la fonction C est croissante sur [0;10]
2. Étudier les variations de la fonction C. sur [0:10].
Interpréter.
3. En utilisant l'égalité CM (q) = C(q)/q, démontrer que le coût moyen est minimal lorsqu'Il est égal au coût
marginal,
4, a. Exprimer CM' (q) en fonction de q.
b. Justifier que l'équation CM'(q)=0 admet une
unique solution q0 sur ]0;10].Déterminer une valeur
approchée de q0.
c. En déduire les variations de CM sur ]0; 10]
5. Représenter graphiquement les fonctions CM et Cm sur un même graphique. Vérifier que :
• le coût moyen est décroissant lorsque le coût marginal est inférieur au coût moyen ;
•le coût moyen est croissant lorsque le coût marginal est supérieur au coût moyen.
Je pense avoir réussi les deux premières questions en faisant pour la 1) la dérivée puis en calculant le discriminant qui est alors inférieur à 0 et donc ne possède pas de solution, alors comme le coefficient de q^2 est positif la dérivée est positive pour tout q et donc la fonction C est croissante.
Pour la 2) j'ai calculé la dérivée de Cm qui nous donne 90q-200 puis trouvé en racine de cette dérivée 2,22 et donc la fonction est décroissante entre 0 et 2,22 puis croissante.
Cependant, à partir de là 3 je n'y arrive plus. J'ai essayé de calculer la dérivée de CM(q) mais je ne trouve pas.
Merci pour votre aide !
Bonjour
pourquoi poster sur plusieurs sites en parallèle
Si tu t'engages à ne plus aller ailleurs, quelqu'un va te venir en aide
OK ?
dit de l'autre côté que tu n'as plus besoin d'aide et tu en auras ici
Bonjour,
Merci de votre réponse, désolé d'avoir demandé sur plusieurs sites, le fait est que le devoir est à rendre très prochainement je m'inquiétais donc de ne pas avoir de réponses à temps. Maintenant que je suis sur d'avoir une réponse ici je n'irai plus ailleurs ne vous inquiétez pas, je l'ai dit sur l'autre site.
Bonjour,
je vais essayer de t'aider, mais je pense que ton énoncé est incomplet. Quelle est la définition du cout marginal ? que dit ton énoncé ?
pour la question 2)
on te demande les variations de C ? ou de Cm ?
Je ne comprends pas la réponse que tu as formulée pour la 2
Ce sont les variations qu'on attend
Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci. 
Bonjour,
Merci de votre réponse pour la 2 ce sont bien les variations de Cm désolé je me suis trompé. En effet il manque une partie de l'énoncé, la voici:
• Le coût moyen ou toit unitaire est défini par CM(q) =C(q)/q
On constate que le coût moyen n'est jamais défini en zéro; en général, il diminue rapi-
dement au début de la production : les coûts fixes sont de mieux en mieux rentabilisés.
Puis dans un second temps, il augmente du fait de la loi des rendements décroissants.
Ainsi la courbe du coût moyen CM a la forme d'un « U ».
Quantité produite
• Le coût marginal est défini par C (q) =C(q)-C(q-1) : c'est le coût de production du q-lème objet (le dernier
objet produit) lorsqu'on en a produit q. On l'assimile au nombre dérivé de C. c'est-à-dire Cm (q) = C'(q).
OK pour le complément d'énoncé.
alors
Q1 : d'accord avec toi.
C'(q) = 45q² - 200q + 500
Q2 : C'm(q) = 90q - 200
minimum atteint pour x environ egal à 2,22 : oui.
compléter ta réponse par le calcul du minimum pour q= 2,22
interpréter : qu'en dis tu ?
Q3 : tu sais que CM(q) = C(q)/q
c'est sous la forme u/v
avec u = C(q) , u' = C'(q), v = q , v'= 1
exprime avec ça CM'(q)
vas y !
En faisant la dérivée j'ai trouvé 30q-100+300/q^2
Mais je ne sais pas quoi faire ce résultat et en quoi il me permet de répondre à la question?
Merci
tu n'as pas lu mon message ?
Q2 : C'm(q) = 90q - 200
minimum atteint pour x environ egal à 2,22 : oui.
compléter ta réponse par le calcul du minimum pour q= 2,22
interpréter : qu'en dis tu ?
Q3 : tu sais que CM(q) = C(q)/q
c'est sous la forme u/v
avec u = C(q) , u' = C'(q), v = q , v'= 1
exprime avec ça CM'(q)
vas y !
la dérivée, on te la demande dans la question suivante. Il faut d'abord démontrer que le cout moyen est minimal quand il est égal au cout marginal.
comment écris tu la dérivée de (u/v) ?
Si si j'ai bien lu votre message, pour la 2) j'ai dit que le coût marginal diminue jusqu'à 2,22 puis augmente. Il faut donc que l'entreprise produise 2,22 tonnes de plastique pour que la production d'un élément coûte le moins cher possible.
Ensuite pour la 3 j'ai fait ce que vous m'avez dit, la dérivée de CM'(q) de la forme u/v ça nous donne ((45q^2-200q+500)q-(15q^3-100q^2+500q-300))/q^2
Et en simplifiant je suis donc arrivé à 30q-100+300/q^2
C'est bien ce que vous me dites en me disant de faire CM'(q) non?
La dérivée de u/v est bien (u'v-uv')/v^2 ?
interpréter : jusque q=2,22 tonnes, une unité supplémentaire coute de moins en moins cher, mais au delà de q=2,22 tonnes, elle coute de plus en plus cher.
oui,
(u/v)' = (u'v-uv')/v²
je t'ai précisé que u = C(q) , u' = C'(q), v = q , v'= 1
je t'ai conseillé d'utiliser ça pour écrire la dérivée.
CM'(q) = ( C(q) * q - C'(q) ) / q²
cette dérivée vaut 0 quand CM est au minimum :
C(q) * q - C'(q) = 0
ce qui donne C'(q) = ???
Merci de votre aide.
Mais je suis désolé je n'ai pas compris votre explication. Pourquoi la dérivée vaut 0 quand CM est au minimum, comment retrouver C'(q) avec ces informations mais surtout je ne comprends pas en quoi cela répond à la question?
pourquoi la dérivée vaut 0 quand CM est au minimum ? C'est ce que tu fais depuis longtemps pour étudier des variations : tu calcules la dérivée, tu regardes ou elle s'annule, et tu dis " pour cette valeur, il y a un extremum".
Quand la dérivée s'annule, on a un maximum ou un minimum.
Ici, c'est un minimum. Quand CM est au minimum, sa dérivée vaut 0.
je reprends (j'ai fait une faute de frappe) :
CM'(q) = ( C'(q) * q - C(q) ) / q²
on arrive à C'(q) * q - C(q) = 0
ce qui donne C'(q) = C(q)/q
soit Cm(q) = CM(q)
c'est à dire cout marginal = cout moyen.
Donc, on a montré que le cout moyen est minimal quand il est égal au cout marginal.
Q4a)
CM'(q) = 30q - 100 - 300/q²
on est d'accord.
4b) tu sais répondre ?
tu ne réponds plus..
Quand tu décides de ne plus répondre, dis le : c'est correct, et ça évite de t'attendre..
Bonne soirée.
Je suis vraiment désolé, j'étais parti faire quelque chose et je n'ai pas eu le temps de me reconnecter.
Merci pour votre aide, pour la 4)b) je ne sais pas comment faire non, car en faisant 30q-100+300q^2= 0 il me semble impossible de trouver une solution non?
Kokoooo,
la question est montrer qu'il existe une solution unique q0 sur ]0 ; 10].
si la fonction continue est strictement croissante, et qu'elle est d'abord négative puis positive, c'est qu'elle prend la valeur 0 une seule fois.
revois à ce sujet le théorème des valeurs intermédiaires.
Ici, CM'(q) est continue et strictement croissante.
calcule CM'(1) et CM'(10), pour conclure.
Ensuite, pour trouver la valeur approximative de q0 : prends ta calculatrice !
Merci!
J'ai donc dis que CM'(1) était égal à -430 CM'(10)= 197 il y a donc changement de signe et la fonction est croissante et continue donc elle admet une unique solution que j'ai estimé à environ 3,96.
Ensuite pour le tableau de variations pour la c) j'ai donc mis que CM était décroissante sur ]0;3,96] et croissante sur ]3,96;10]
Et pour le graphique de la 5 j'ai donc fait avec les valeurs que j'avais et cela correspond bien.
Merci beaucoup pour votre aide je pense avoir bon sur les deux dernières.
Bonne continuation !
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