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Coût total et croissance
Bonjour je vous présente mon exercice :
Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 800 litres. Le coût de fabrication en millier d'euros lorsque x centaines de litres de médicaments sont produits et donné par :
F(x)=x^2-5x+30+8ln(x) pour tout x appartenant [0,25;8]
1a) calculer f'(x) ou f' est la dérivée de f .
b) démontrer que la dérivée f' est strictement positive sur l'intervalle [0,25;8]
2) on considère la fonction g définie sur [0,25;8] par :
g(x)=2x-5+8/x
a) calculer g'(x).Etudier le signe de g'(x).
b) en déduire les variations de la fonction g sur [0,25;8]
3) soit C la courbe représentative de la fonction f. En utilisant les résultats établis dans la question 1 et 2 justifier que la courbe C admet un point d'inflexion. On précisera l'abscisse de ce point . Je suis bloqué à certaine question, merci beaucoup pour votre aide .
sanantonio312 bonjour , j'ai réussi a dérivé pour la première question mais je ne comprends pas la question b
sanantonio312
Voici mon tableau de variation
X. 0,25 8
2-8 le signe +
X^2 le signe plus
F'(x). Une flèche qui monte
J'ai refait mon tableau et pour f'´ Ça m'a donné positif pour le signe car j'ai résolu une équation 2-8/x^2
Et ensuite les variations c'est une flèche qui monte
Bonjour,
Outre la méthode proposée par sanantonio312 (que je salue) pour étudier le signe de f'(x), à savoir étudier les variations de f' - en calculant f"(x) - on peut aussi étudier directement ce signe en mettant au même dénominateur :
f'(x) = 2x-5+8/x = (2x²-5x+8)/x
L'étude du signe est simple.
littleguy
Donc après avoir mis sous le même dénominateur je peux dire que c'est positivé car le dénominateur est positif
Bonjour littleguy,
En effet, c'est beaucoup plus simple. 
J'ai un peu tendance à appliquer des méthodes de bourrin! 
sanantonio312
J'ai réussi à faire les questions merci pour votre aide , mais à la question 4b est ce que il faut faire 2*200+5+8/200
=400+5+0,04
=405,04
Il faudrait que:
- Tu nous dises ce que tu as trouvé aux premières questions.
- Tu nous donnes la suite de l'énoncé initial (qui s'arrête à la question 3)
sanantonio312
1a) j'ai mis f'(x)=2x-5+8/x
La 1b) j'ai factorisé puis j'ai trouvé le delta -39 donc aucune solution et la fonction est du signe de a =2 donc elle est strictement positive
La 2a) j'ai mis 2-8/x^2 et j'ai mis sous le même dénominateur et j'ai factoriser ce qui m'a donné -2 et 2 le tableau de signe 0,25 2 8 moins à gauche et plus à droite
La 2b) j'ai mis 0,25 2 8 une flèche qui descend et une qui monte
Pour la 3) j'ai mis que f'´(x)=g'(x)
Pour la 4a) j'ai mis que le coût moyen c'est f(x)/f'(x)
La suite de l'énoncé
4. On assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total.
Le coût moyen est le quotient du coût total par la quantité.
a. Justifier que le coût moyen s'exprime en dizaine d'euros par litre.
b. On rappelle que le coût marginal est dans les mêmes unités que le coût moyen.
Calculer le coût marginal et le coût moyen pour une production de 200L.
c. Préciser la convexité du coût total suivant la production x. Que se passe-t-il pour une production de 200L ? L'interpréter en termes de rythme de croissance.
5. La courbe C est représentée ci-dessous, ainsi que la droite D d'équation y= 8.3x.
a. Retrouver la valeur a sur ce graphique.
b. En utilisant ce graphique, expliquer pourquoi ce laboratoire ne peut vendre ce médicament en dessous de 83 euros le litre.
Pour la 2b, tu dois mettre dans ton tableau g(0.25), g(2) et g(8)
A la 3, comme g'(x)=f''(x), la dérivée seconde de f(x), tu constates qu'elle s'annule et change de signe pour x=2. C'est donc bien un point d'inflexion.
4: Le coût total est f(x)
Le coût marginal est donc f'(x)
Le coût moyen, c'est f(x)/x
4a: f(x)/x c'est des (milliers d'euros)/(centaines de litres). En simplifiant par 100, ça te donne le résultat attendu ( (dizaines d'euros)/(litre) )
4b: calcule f'(2) et f(2)/2 (Puisque x s'exprime en centaines de litres)
A ce stade, tu dois noter que c'est justement le point d'inflexion. Quel hasard! 
Je te laisse faire les calculs, sans oublier les unités et continuer.
sanantonio312
Pour la 4a) je ne comprends pas trop ce qu'il faut faire
Et pour la 4b) j'ai fait f'(2)=2*2-5+8/2
F'(2)=3 soit 30 euros par litre
Cm(2)=2-5+15+4ln2=12+4ln2=14,773 soit 147,73 par litre
C) en 2 la courbe traverse sa tangente et change de convexité pour une production de 200l les coûts vont augmenter rapidement
Pour la 4a, il suffit de dire que 1000€/100l=10€/l
4b: Coût marginal f'(2)=3 soit 30€/l. Coût moyen f(2)/2=12+4ln(2)
14,8 soit 148€/l
Ok avec toi.
Ensuite, ce sont des notions que je ne maitrise pas (convexité du coût et rythme de croissance)
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