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cout total moyen et cout marginal (terminale)

Posté par
mathsmaths31
08-04-21 à 18:09

Bonjour,

J'ai un DM à rendre pour ****et je suis complètement bloquée à une question, pourriez vous m'aider :

le cout moyen est défini par CM(q)= C(q)/q
le cout marginal est défini par Cm (q) = C(q)-C(q-1)

Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique et peut produire chaque jour entre 0 et 10 tonnes de plastique. Le cout total de la production en euro est modélisé par la fonction C définie sur [0;10] par :

C(q)=15q^3-100q^2+500q+300

où q est la masse en tonne, de plastique recyclé dans la journée.
on note CM le cout moyen et Cm le cout marginal

3) En utilisant l'égalité CM(q)= C(q)/q démontrez que le cout moyen est minimal lorsqu'il est égal au cout marginal

Merci d'avance

*modération > mathsmaths31, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*

Posté par
malou Webmaster
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:12

Bonjour
commence par dire ce que tu as fait et où tu bloques

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:12

Bonjour

Que proposez-vous ? Avez-vous étudié la fonction C_M pour connaître son minimum ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:14

Bonjour,
L'énoncé des questions 1) et 2) pourrait être utile ...

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:30

Bonjour merci d'avoir répondu si rapidement

J'ai oublié de dire que Cm(q)=C'(q)

malou et helka : Bonjour, j'ai étudié la fonction, j'ai trouvé qu'elle admettait un minimum en q=3/20 du coup je me dis qu'en résolvant l'équation C'(3/20) je devrais avoir une égalité sauf que je trouve deux résultats différents

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:31

Sylvieg @ 08-04-2021 à 18:14

Bonjour,
L'énoncé des questions 1) et 2) pourrait être utile ...


Bonjour,

La question 1 est montrez que la fonction C est croissante sur [0;10]
La question 2 est étudiez les variations de Cm sur [0;10] et interprétez

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 18:54

mathsmaths31 @ 08-04-2021 à 18:30

Bonjour merci d'avoir répondu si rapidement

J'ai oublié de dire que Cm(q)=C'(q)

malou et helka : Bonjour, j'ai étudié la fonction, j'ai trouvé qu'elle admettait un minimum en q=3/20 du coup je me dis qu'en résolvant l'équation C'(3/20) je devrais avoir une égalité sauf que je trouve deux résultats différents


J'ai trouvé que C'(q)= 45q^2-200q+500
que CM(q)= 15q^3-100q^2+500q+300/q = 15q^2-100q+500+300/q

Cm'(q)= 30q-100-300/q^2 <=> 100q^2-30q+300= 0
J'ai trouvé un discriminant négatif et que le minimum était égal à 3/20

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 19:28

Je trouve comme minimum du coût moyen \alpha \approx 3,96834

 C_M(q)=15q^2-100q+500+\dfrac{300} {q}

Recherche du minimum  valeur où la dérivée s'annule

 C'_M(q)=30q-100-\dfrac{300}{q^2}=\dfrac{30q^3-100q^2-300}{q^2}

On obtient au numérateur un polynôme de degré 3 et on cherche donc à résoudre

30q^3-100q^2-300 =0

Pour ce faire on étudie la fonction g\ :\  x\mapsto \dfrac{30q^3-100q^2-300}{q^2}

 g'(x)= \dfrac{(90q^2-200q)q^2-2q(30q^3-100q^2-300)}{q^4}=\dfrac{30q^3+600}{q^3}

pour tout q\in[0~;~10]\ g'(q)>0 donc g est strictement croissante

 g'(0)g'(10) <0 par conséquent il existe un \alpha tel que g'(\alpha)=0

La dérivée du coût moyen s'annule en changeant de signe pour \alpha \approx 3,96834  Donc le coût moyen est minimum pour \alpha

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:00

hekla @ 08-04-2021 à 19:28


* Modération > Citation inutile effacée. *


Merci beaucoup pour votre réponse mais le problème est que je n'ai pas vu cette méthode en cours il n'y aurait pas un autre moyen de résoudre cet exercice ? Je suis en terminale avec l'option mathématiques complémentaire ce qui équivaut aux mathématiques en ES.

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:07

Quelles étaient les autres questions ?  Que vous a-t-on fait étudier avant dans ce problème

Coût marginal  45q^2-200q+500

Coût moyen  15q^2-100q+500+\dfrac{300}{q} le coût moyen est minimal lorsque la dérivée de cette fonction est nulle

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:16

hekla @ 08-04-2021 à 21:07

* Modération > Citation inutile effacée. *


Bonsoir,

La question 1 était montrez que la fonction C est croissante sur [0;10]
La question 2 étair étudiez les variations de Cm sur [0;10] et interprétez

J'ai parlé trop vite j'ai compris vos calculs mais je ne comprends pas ce que vous avez écrit à partir de g'(0)g'(10)>0

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:28

Je n'ai pas écrit cela,  car si le produit est positif alors les éléments sont de même signe.  C'est justement ce que l'on ne veut pas  On veut qu'il y en ait un positif et l'autre négatif.  La fonction étant dérivable et strictement croissante   on passe donc par 0 une fois seulement  application du théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
mathsmaths31
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:34

hekla @ 08-04-2021 à 21:28

* Modération > Citation inutile effacée. *


D'accord, merci beaucoup pour votre temps.

Bonne soirée !

Posté par
hekla
re : cout total moyen et cout marginal (terminale) 08-04-21 à 21:52

Vous avez dû voir le théorème des valeurs intermédiaires  ou vous le verrez, car il fait partie du programme.
Si vous avez des questions, n'hésitez pas
De rien

Bonne soirée



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