Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

critère Eisenstein

Posté par
mousse42
03-04-21 à 21:20

Bonjour

C'est un exercice que je me suis fait

Soit P\in \Z[X,Y] tel que P=Y^2X-2Y^2+YX^2-2XY+Y+X-1

La question que je me pose est la suivante : est-il irréductible quelque part dans \Z[X,Y]

P=Y^2(X-2)+Y(X-1)^2+X-1

X-1 est un irréductible de \Z[X}],  le critère d'Eisenstein est vérifié par l'irréductible X-1, ainsi P est irréductible dans \Z[X](Y) le corps des fractions de   \Z[X,Y]  et puisque P est primitif dans \Z[X][Y]
 \\ , il est irréductible dans \Z[X][Y]
 \\

ça tient la route ?
et comment note-t-on le corps des fractions de Z[X,Y], peut être  \Z(X,Y)?

Posté par
Camélia Correcteur
re : critère Eisenstein 04-04-21 à 15:03

Bonjour

Le corps de fractions de \Z[X,Y] est noté \Q(X,Y); c'est le corps des fractions rationnelles à coefficients rationnels!

Ton polynôme est bien irréductible; moins savant que Eisenstein, tu peux le traiter comme une équation du second degré dans (\Z[Y])[X].

Posté par
mousse42
re : critère Eisenstein 05-04-21 à 01:57

Merci Camélia

Je trouve ceci (j'ose, mais pour être honnête je suis un peu perdu...):

P(X,Y)=Y\left[X-\dfrac{(Y-1)^2-\sqrt{(Y+1)(Y^3+3Y^2-Y+1)}}{2Y} \right]\left[X-\dfrac{(Y-1)^2+\sqrt{(Y+1)(Y^3+3Y^2-Y+1)}}{2Y} \right]

\dfrac{(Y-1)^2-\sqrt{(Y+1)(Y^3+3Y^2-Y+1)}}{2Y} n'est pas dans \Q(Y)

Une autre méthode, mais j'ai un doute :

P(X,Y)=X^2Y+X(Y^2-2Y+1)-2Y^2+Y-1
puisqu'il est primitif dans \Z[X,Y], on peut montrer qu'il est irréductible dans \Q(Y)[X] et donc si \dfrac{U(Y)}{V(Y)}\in \Q(Y) est une racine de P(X,Y) on a V(Y)\mid Y et U(Y)\mid -2Y^2+Y-1 dans \Z[Y]
Identifier ces racines et vérifier si elles conviennent (normalement elles ne devraient pas, ensuite on conclut que P(X,Y) est irréductible dans \Q(Y)[X] donc dans \Z[X,Y]

Voilà, mais j'ai un grand doute sur ce que j'ai dit, il faut que je creuse le sujet et je ne maîtrise absolument pas les polynômes à plusieurs indéterminées

Posté par
Camélia Correcteur
re : critère Eisenstein 05-04-21 à 14:56

Je trouve que tu compliques. De toute façon, dès que tu écris une racine carrée d'un polynôme à une variable, tu peux vérifier si cela a un sens.

Moi, simplement à partir de P(X,Y)=Y^2(X-2)+Y(X-1)+(X-1), je sais que c'est décomposable si et seulement si il possède des racines dans \Z[X]. Mais on a
\Delta=(X-1)^2-4(X-2)(X-1)=-3X^2+7X-3 et ceci n'est certainement pas un carré de \Z[X]



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !