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croissance,convergence
bonjour je désirerais recevoir un peu d'aide pour mon exercice de math.
U0=1 et Un+1=Une^(-Un)
puis la convergence de la suite Sn definie par
Sn=U0+U1+U2+....+Un
1 a montrer que pour tout entier n,Un est positif
b montrer que (Un) est decroissante
c en deduire qu'elle converge et trouver sa limite
2 montrer que pour tout entier n de N
Un+1=e^(-Sn) et en deduire que Sn tend vers + infini quand n tend vers l'infini.
je remercie d'avant celui ou celle qui m'y aiderait !
pour la dernière, par récurrence :
P(n) : pour tout entier n de N Un+1=e^(-Sn)
P(0) :
U1 = U0e^(-U0) = 1*e^(-U0)
et e^(-S0) = e^(-U0)
P(0) vraie.
soit n un entier naturel. supposons P(n) vraie et montrons alors P(n+1) :
cad on suppose que Un+1 = e^(-Sn) et on montre
que Un+2 = e^(-Sn+1)
Un+2 = Un+1e^(-Un+1)
on utilise l'hypothèse de récurrence :
Un+2 = e^(-Sn) * e^[-e^(-Sn)]
Un+2 = e^[-Sn-e^(-Sn)]
or Sn+1 = Sn + Un+1
donc en réutilisant l'hypothèse de récurrence :
Sn+1 = Sn + e^(-Sn)
et donc -Sn+1 = -Sn-e^(-Sn)
et finalement, Un+2 = e^[-Sn+1]
pour tout entier n P(n) implique P(n+1) et P(0) est vraie, donc P(n) est vrai pour tout n.
ensuite je suppose que la limite que tu as trouvée c'est 0...je te laisse terminer 
salut 
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