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Croissances comparées

Posté par Saverok (invité) 09-03-05 à 19:06

Bonjour, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très sympa de s a part

Soit la fonction exponentielle sur [0;+inf] et les fonctions fn(x)=x^n pour un entier naturel non nul. On note (T) et (Cn) leurs courbes respectives dans (0,i,j).
On va démontrer qu'en +inf, (T) est au dessus des corbes (Cn)^
On va montrer aussi que lim    e^x/x^n=+inf (il ne faudra donc pas
                        x->+inf                  l'utiliser)

1°) Cas particulier n=1 et n=2
Démontrer que pour tout x appartent à R+: e^x > x et e^x > x²


2°)Cas général n>=3
Soit Gn su]0;+inf[ définie par Gn=(x)= e^x - x^n

a) Montrer que gn(x)>0 <=> ln(x)/x < 1/n

b) Soit h définie sur ]0;+inf[ par h(x)= ln(x)/.
   Etudier les variations de h (limites et tableau) et montrer que l'équation h(x)= 1/n admet une unique solution Sn dans [e;+inf[

c) Montrer que Sn>n et en déduire la limite de la suite (Sn)


3°) Justifier que pour tout entier n non nul on peut trouver une valeur A (dépendantde n) à partir de laquelle on a e^x > x^n (c'est à dire pour x>A). Que pensez vous de l'affirmation "en +infini, (T) est au dessus  toutes les courbes (Cn)"?


4°) Démontrer que quelque soit l'entier n non nul et pour x suffisament grand on a e^x / x^n > x

    E déduire que quelque soit l'entier n non nul lim e^x / x^n = +inf
                                                  x->+inf

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 11-03-05 à 18:08

Aidez moi svp

Posté par
watikre : Croissances comparées 11-03-05 à 19:26

bonsoir Saverok

vous bloquez où?

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 11-03-05 à 22:33

Dés la première question!!!!

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 12-03-05 à 14:24

slt
1)
3$f(x)=e^x et 2$D_f=[0;+\infty[ avec \textrm T courbe representative de la fonction f
3$f_n(x)=x^n et 2$n \in \mathbb{N}* avec \textrm C_n courbe representative de la fonction f_n

2$\textrm pour tout x \in \mathbb{R}^+, on pose \phi(x)=e^x-x
donc
2$\phi'(x)=e^x-1
et
2$e^x-1\ge0
i.e.
2$e^x\ge1
i.e.
2$x\ge0

on a donc
3$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&0&&&+\infty \\{f'}&&-&0&&+& \\{f}&&\searrow&&&\nearrow&&&\\ \end{tabular}

on déduit donc que :
2$e^x-x\ge e^0-0
i.e.
2$\phi(x)\ge1

et donc :
2$e^x-x\ge1\ge0
i.e.
2$e^x-x\ge0
i.e.
2$e^x\ge x

voila une méthode pour le démontrer ... fait pareil pour 2$e^x\ge x^2

2)
2$G_n(x)=e^x-x^n
a-3$\fbox{]0;+\infty[}
2$G_n(x)\ge0
i.e.
2$e^x-x^n\ge0
i.e.
2$e^x\ge x^n
i.e.
2$ln(e^x)\ge ln(x^n)
i.e.
2$x\ge nln(x)
i.e.
2$\frac{x}{ln(x)}\ge n
i.e.
2$\frac{1}{(\frac{x}{ln(x)})}\le \frac{1}{n}
i.e.
2$\frac{ln(x)}{x}\le \frac{1}{n}

il semble avoir ensuite un probleme d'enoncé car a mon avis si 3$h(x)=ln(x) la fonction est facilement etudiable !!!
mais comme je vois 3$h(x)=ln(x)/ je me pose des questions ... revois ton enoncé

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 13-03-05 à 09:38

En effet, il s'agit de LNx/x.

En tout cas merci beaucoup pour le debut de lexo!

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 13-03-05 à 14:40

Up!

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 13-03-05 à 15:00

slt
bien alors reprenons :
3$h(x)=\frac{ln(x)}{x}=ln(x).\frac{1}{x}
3$\fbox{(U.V)'=U'V+UV'}
3$h'(x)=\frac{1}{x}.\frac{1}{x}+ln(x).\frac{-1}{x^2}=\frac{1}{x^2}+ln(x).(-1)\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(1-ln(x))
2$\textrm h' est du signe de 1-ln(x) car \frac{1}{x^2}\ge0
3$1-ln(x)\ge0
i.e.
3$ln(x)\le1
i.e.
3$e^{ln(x)}\le e^1
i.e.
3$x\le e

on déduit donc :
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&0&&e&&+\infty\\{f'}&&+&&-&&\\{f}&&\nearrow&&\searrow\\\end{tabular}

3$\frac{ln(x)}{x}=\frac{ln(x)}{e^{ln(x)}}
on pose 3$X=ln(x)
et on a donc 3$\frac{ln(x)}{e^{ln(x)}}=\frac{X}{e^{X}}=\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}
or 3$\lim_{x\to +\infty } (\frac{e^{X}}{X})=+\infty
donc 3$\lim_{x\to +\infty } (\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}})=0
donc 3$\lim_{x\to +\infty } f(x)=0

3$\frac{ln(x)}{x}=ln(x).\frac{1}{x}
3$\lim_{x\to 0 } ln(x)=-\infty
et 3$\lim_{x\to 0 } \frac{1}{x}=+\infty
donc par produit :
3$\lim_{x\to 0} f(x)=-\infty



Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 13-03-05 à 15:39

soit 3$\alpha(n)=\frac{1}{n}
donc 3$\alpha'(n)=\frac{-1}{n^2}=(-1).\frac{1}{n^2}
2$\textrm \alpha' est du signe de -1 car \frac{1}{n^2}\ge0
on déduit donc :
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&0&&e&&+\infty\\{\alpha'}&&-&||&-&&-&&\\{\alpha}&&\searrow&||&&\searrow\\\end{tabular}

sur 3$[e;+\infty[ on a :
2$\textrm \alpha est continue et strictement decroissante et :
3$\alpha(e)=\frac{1}{e}\approx0.37
et
3$\lim_{x\to +\infty} (\alpha(n))=0
donc 3$\frac{1}{e}\ge\alpha(n)\ge0
c a d 3$\frac{1}{e}\ge\frac{1}{n}\ge0
ou 3$\frac{1}{n}\in[\frac{1}{e};0[

or sur 3$[e;+\infty[ on a aussi :
2$\textrm h est continue et strictement decroissante et :
3$h(e)=\frac{ln(e)}{e}\approx0.37
et
3$\lim_{x\to +\infty} (h(x))=0
donc 3$\frac{ln(e)}{e}\ge h(x)\ge0
c a d 3$\frac{ln(e)}{e}\ge\frac{ln(x)}{x}\ge0
ou 3$\frac{ln(x)}{x}\in[\frac{ln(e)}{e};0[

donc 2$\textrm \frac{1}{n}\in l'intervalle image [\frac{ln(e)}{e};0[

donc l'équation 3$h(x)=\frac{1}{n} admet une unique solution sur 3$[e;+\infty[

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 14-03-05 à 14:15

Merci pour cette partie de l'exo!!!

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 15-03-05 à 17:42

Je ne comprend pas trop comment tu prouves l'unicité de la solution h(x)=1/n. Utilises-tu le théorème des valeurs intermédiaires?

ET je n'arrive pas à prouver e^x > x²...

Quand à la fin de l'exo je n'en parle même pas...je ne vois même pas le rapport avec les questions précédentes.

Aidez moi svp.

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 15-03-05 à 18:11

slt a toi

pour démontrer l'unicité de la solution h(x)=0 il faut :
- que la fonction soit continue
- qu'elle soit strictement monotone
- que la valeur x pour laquelle h(x)=0, ici noté Sn appartienne a l'intervalle image

regarde donc l'exemple ci-dessous:



Croissances comparées

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 15-03-05 à 19:15

Ok j'ai compris pour Sn, il s'agit bien du théorème des valeurs intermédiaires. Merci beaucoup pour ton aide.

Tu n'as pas 2 ou 3 pistes pour le erste de l'exo stp?

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 15-03-05 à 20:11

voila une explication + claire enfin jespère :

3$\textrm h(x) est continue, strictement decroissante et \frac{1}{n}\in[\frac{ln(e)}{e};0[ car:

3$\textrm \frac{1}{n}est continue, strictement decroissante et:\frac{1}{n}est a valeur dans :[\frac{1}{e};0[et on a :[\frac{1}{e};0[\subset[\frac{ln(e)}{e};0[

3$\textrm donc sur \fbox{[e;+\infty[} l'equation h(x)=\frac{1}{n} admet une unique solution

PS: ce petit raisonement ne dispense des démonstrations faite auparavant pour conclure

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 15-03-05 à 20:22

petite question pour la suite ??

3$\textrm ds \frac{1}{n} est que n\in\mathbb{N}?

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 15-03-05 à 20:34

Pour n, ce n'est pas précisé dans l'énoncé mais je pense que oui, car la question 3°) parle de "n entier naturel non nul".

Quand à ton explication je pense avoir bien compris maintenant. Merci!!!

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 13:23

Up pour la fin de l'exo et e^x> x² svp c'ets pour demain...

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 13:36

Pour le c) je trouve que n<0 donc ej pense que j'ai faut...

Pour montrer Sn>n je fait:

h(Sn)= 1/n

ln(Sn)/ Sn = 1/n
Sn= n * Ln(Sn)

Mais Sn appartient à [1/e;0[ donc 0<Sn<1

Donc Ln(Sn)<0 car Ln ets strictement croissante et Ln(1)=0

Sn>0 donc on en déduit n<0 pour respecter l'égalité initiale.


C'est juste d'après vous?

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 16-03-05 à 16:22

pour Sn je pense que ton raisonement est juste
2$e^x\ge x^2 a tu appliquer la méthode que je té donée ??

1)on pose 2$\phi(x)=e^x-x^2
2$\phi'(x)=e^x-2x
et j'imagine que c'est pour resoudre 2$e^x-2x\ge0 que t'a eu un probleme
Dans ce cas on étudie la dérivé seconde pour avoir le signe de la dérivé première et de sucroit celle de 2$\phi(x)
2$\phi''(x)=e^x-2
e^x-2\ge0
i.e.
e^x\ge2

d'ou:
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&2&&+\infty\\{\phi''(x)}&&-&0&&+&\\{\phi'(x)}&&\searrow&&\nearrow\\\end{tabular}

pour tout x, on a :
2$\phi'(x)\ge\phi'(2)
i.e.
2$\phi'(x)\ge e^2-2\times2
i.e.
2$\phi'(x)\ge0

d'ou sur 2$\mathbb{R}^+
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&0&&&&+\infty\\{\phi'(x)}&&+&&\\{\phi(x)}&&\nearrow\\\end{tabular}

cherche alors les limites et tu verra que sur 2$\mathbb{R}^+,2$\phi(x)\in[1;+\infty[
et tu c koi en conclure ainsi ...



Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 16:27

Big up pour les questions 2)c), 3) et 4)!!!!

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 16-03-05 à 16:34

petite piste pour le 3/

G_n(x)\ge0\longleftrightarrow h(x)\le\frac{1}{n}
or h(x)=\frac{1}{n} admet une unique solution on peut donc deviner quant h(x)\le\frac{1}{n} et donc quant G_n(x)\ge0 et donc quant e^x-x^n\ge0 c a d e^x\ge x^n

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 17:56

Pour la 3) j'était justement ârti a chercher h(x)<1/n, mais je ne suis pas sur si l'argument de la décroissance serait valable...

Et la 2°) c) est-ce juste?

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 18:15

Je viens de réussir la 4) par équivalences successives en partant de e^x/x^n>x à e^x>x^n+1, et j'en ai déduis que cette dernière inégalité étant juste (on peut trouver x assez garnd pour e^x>x^n), la première aussi.
Puis j'ai conclue avec le théorème des gendarmes pour la limite.

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 16-03-05 à 20:47

cool alors lol

tient moi au courant pour la correction
ok ?? je serai curieux de savoir ce que ca donnerai ...
si tu veut on pe se contacter ...
+

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 21:22

Bah je veux bien encoies moi ton msn, amis ej ne sais pas si on peux s'envoyer des messages privés sur ce forum.

Pour la 2c) je n'avais pas vu ton message et j'ai fais exactement comme toi!!! Ca me rassures!

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 16-03-05 à 22:28

ok

c vrai ke ca fé kelke mois ke je sui sur ce forum et je me sui jamé posé la question a vrai dire voila c :
kaz33zik33@hotmail.com

+

Posté par
H_aldnoerre : Croissances comparées 16-03-05 à 22:30

d'ailleur en parlant de la question 2c jé fé un petite erreu :

ce n'é pa en 2 que la dérivée seconde s'annule mais ln(2) tu voi ??

+

Posté par Saverok (invité)re : Croissances comparées 16-03-05 à 22:42

Oui j'avais mis ça


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