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croissant

Posté par
Disiz 18-07-19 à 22:42

bonjour

\begin{array}{l}{\text { Soit }(a, b) \in ] 0 ;+\infty\left[^{2} \text { tel que } a<b . \text { Montrer que l'application }\right.} \\ {\qquad f : ] 0 ;+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x)=\dfrac{\ln (1+a x)}{\ln (1+b x)}\right.}\end{array}

comment tu fais pour montrer la fonction qui est  croissante?  je trouve  f est dérivable pour tous les x positif  

f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{a}{1+a x} \ln (1+b x)-\dfrac{b}{1+b x} \ln (1+a x)}{(\ln (1+b x))^{2}} \\   mais si j 'arrive a dire que le haut est positif c 'est fini mais mois je ne sais pas comment sortir sa .Tu peux peut être me dire commen tu fais toi pour faire facil
merci

Posté par
lg124re : croissant 19-07-19 à 00:23

Bonsoir,

Une idée :  
Le signe de
\dfrac{a}{1+a x} \ln (1+b x)-\dfrac{b}{1+b x} \ln (1+a x)

Est le même que celui de

\dfrac{1+bx}{b}\ln(1+bx) - \dfrac{1+ax}{a}\ln(1+ax)

Ensuite étudier la fonction g_x(t) = \dfrac{1+tx}{t}\ln(1+tx)

Sinon as-tu essayé sans dérivation en appliquant la définition de la croissance?

Posté par
jarod128re : croissant 19-07-19 à 00:56

Bonjour, déjà la fonction est décroissante sur R+ ...

Posté par
jarod128re : croissant 19-07-19 à 02:51

Si tu veux éviter une étude de dérivée,
f(x)=ln((1+ax)/(1+bx))/ln(1+bx) +1
Tu laisses tomber le 1.
Le dénominateur est croissant, ln étant croissant, il suffit de prouver que x associe(1+ax)/(1+bx) est décroissant. Ce qui doit être faisable. Sauf distraction.

Posté par
Disizre : croissant 19-07-19 à 03:47

thanks

ig124  tu veux dire qu il faut le montrer de \forall a, b\in D(f), a \leq b\Rightarrow f(a) \leq f(b) c 'est bien sa je pense que je vais faire comme tu dit

jarod 128  comment tu trouves la décroissante de f  sur le \mathbb{R^+*} c est no possible  pour moi car si on prend le a,b positif  
a(1+b x) \ln (1+b x)-b(1+a x) \ln (1+a x) \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\longrightarrow} 0 \\ \Rightarrow f'\left( x \right) \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\longrightarrow} 0  mais c 'est pas assez fort comme preuve c est juste pour imaginer la courbe un peu .

Posté par
Disizre : croissant 19-07-19 à 03:49

ok je fais comme tu dit a 2h51

Posté par
jarod128re : croissant 19-07-19 à 10:04

Oui désolé, elle est bien croissante, erreur de ma part et ma méthode n'aboutit pas. On a croissant multiplié par décroissant on ne peut conclure

Posté par
mousse42re : croissant 19-07-19 à 11:20

Bonjour
Soit f'(x)=\dfrac{D(x)}{N(x)}

D(x):=a(1+b x) \ln (1+b x)-b(1+a x) \ln (1+a x)

Si tu montres que D est croissant et D(0^+)=0, ça pourrait peut être t'aider

Posté par
Disizre : croissant 19-07-19 à 12:30

merci
mousse42 toi tu trouve D(x) :=a(1+b x) \ln (1+b x)-b(1+a x) \ln (1+a x) ok j 'ai aussi fais sa déja le N(x) positif no problème et la limite a la borne de 0^+ donne aussi le 0.

Mais est ce que toi tu trouve que, pour tous les a,b positif a<b \Rightarrow D(b)-D(a)>0 sa devient strict croissant ? tu arrive comme sa

tu as le droit de prendre le encore D'(x)?

Posté par
mousse42re : croissant 19-07-19 à 12:37

D est croissant si D' est toujours positif, il faut dériver D

Posté par
Disizre : croissant 19-07-19 à 12:57

dans le\mathbb{R}^{+} * ,D^{\prime}(x)=a b\left(\ln \dfrac{b x+1}{a x+1}\right)>0 ?

tu fais explanation \dfrac { bx+1 }{ ax+1 } >1

Posté par
mousse42re : croissant 19-07-19 à 13:00

Il ne faut pas perdre de vu l'objectif

On veut savoir si f est croissante On étudie la dérivée f'=\dfrac{D}{N}

N étant positive reste à montrer que D est positif.

Puisque D(0^+)=0, si D est croissante on déduit que D est positif.
Reste à montrer que D est croissante, c'est à dire étude du signe de D'

Posté par
mousse42re : croissant 19-07-19 à 13:04

oui bx+1>ax+1, c'est évident non?

Posté par
Disizre : croissant 19-07-19 à 13:07

oui merci mousse 42


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