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D.E.S de 1/P(X)²

Posté par Profil Arthur935 27-02-24 à 19:43

Bonsoir,
J'étais en train de préparer mon TD portant sur les fractions rationnelles.
Cependant cet exercice me pose problème.
Je vous mets l'énoncé ci-dessous:

Soient n* et 1, ... , nK deux à deux distincts.
On pose P(X)= (X-k) et F(X)= 1/P(X)²

Déterminer la DES de F(X) sur K(X)

j'ai tout d'abord remplacé P par son expression dans F.
J'ai compris que l'allure de la décomposition serait sous la forme d'une somme avec l'allure habituelle de la  DES d'une fraction rationnelle à pôles doubles avec deux coefficients dépendants de k.
Je détermine le premier coefficient assez facilement en utilisant la formule du cours 2P(a_k)/Q''(a_k)
Mais je n'arrive pas à déterminer le second coefficient.
J'ai tenté avec la formule (P/Q_2)'(a_k) mais je me suis rendu compte qu'on ne pouvait pas l'appliquer puisque P est au dénominateur.
J'ai ensuite essayé la technique de la limite mais je ça ne m'avance guère.
Enfin, j'ai utilisé un retranchement mais je n'y arrive pas non plus.

Je vous remercie pour vos réponses à venir

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : D.E.S de 1/P(X)² 27-02-24 à 22:47

Bonsoir Arthur935


Une idée :


il n'est pas difficile d'établir que \Large\boxed{\frac{1}{P(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{X-\alpha_k}~~~,~~~a_k=\frac{1}{P'(\alpha_k)}=\frac{1}{\prod_{\ell\neq k}(\alpha_k-\alpha_{\ell})}}

d'où en élevant au carré :

\Large\boxed{\frac{1}{P^2(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k^2}{(X-\alpha_k)^2}~+~\sum_{1\leqslant k\neq\ell\leqslant n}\frac{a_ka_{\ell}}{(X-\alpha_k)(X-\alpha_{\ell})}}

qu'on peut aussi écrire :

\Large\boxed{\frac{1}{P^2(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k^2}{(X-\alpha_k)^2}~+~\sum_{1\leqslant k\neq\ell\leqslant n}\frac{a_ka_{\ell}}{\alpha_k-\alpha_{\ell}}\left[\frac{1}{X-\alpha_k}-\frac{1}{X-\alpha_{\ell}}\right]}

d'où l'on tire la D.E.S cherchée :

\blue\Large\boxed{\frac{1}{P^2(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{X-\alpha_k}~+~\frac{a_k^2}{(X-\alpha_k)^2}~~~,~~~b_k=2a_k\sum_{\ell\neq k}\frac{a_{\ell}}{\alpha_k-\alpha_{\ell}}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : D.E.S de 1/P(X)² 28-02-24 à 23:32

En appliquant cette décomposition au cas particulier \Large\boxed{P(X)=X^n-1~~,~~\mathbb K=\mathbb C} on trouve :


\blue\Large\boxed{\frac{1}{(X^n-1)^2}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\left[\frac{\omega_k^2}{(X-\omega_k)^2}~-~\frac{(n-1)\omega_k}{X-\omega_k}\right]~~~,~~~\omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
malou Webmasterre : D.E.S de 1/P(X)² 03-03-24 à 11:38

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