Bonjour,
C'est vraiment l'esprit des détentes:

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Le carré  est de coté 37.09076655271 et l'angle BMC =135°    (3/4)

Bonjour et merci d'animer
Je trouve le même résultat que dpi, mais je pense que ma méthode est trop compliquée.
Je complète un peu sa réponse :

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Valeur exacte du carré du côté du carré :
1025 + 8312

Bonjour,

Bien. Le mieux est cependant un bref exposé de la méthode utilisée

Bonsoir,

Une méthode :

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La rotation de 90° de centre C qui amène D en B amène M en N. ( rotation du segment DM). On a alors les longueurs des 3 côtés du triangle BNM et l'on vérifie (Pythagore) qu'il est rectangle en M.
L'angle CMN vaut évidemment 45°.

C'est nettement mieux que ma méthode calculatoire !
J'avais vu qu'une relation permettait de trouver des résultats simples. Mais je ne voyais pas comment l'exploiter subtilement

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33²= 31²+28²
Je suis partie avec 3 inconnues : le côté a du carré et les distances du point M aux côtés CB et CD.
A partir de 3 équations, on élimine les distances et on obtient une équation bicarrée de degré 4 pour a.
Elle donne a² = 1025 8312.
J'ai choisi la plus grande des 2 valeurs et utilisé Al Kashi dans le triangle BCM.
Laborieux...

Bonjour
C'est vrai qu'au premier abord on est tenté de calculer le côté du carré puis l'angle en question (calculs laborieux). Si les 3 nombres avaient été quelconques c'est ce qu'il fallait faire probablement. D'où l'astuce de vham qui donne immédiatement le résultat. Encore fallait-il imaginer ce problème, c'est-à-dire ces 3 nombres particuliers dans ce carré.
Ces 3 nombres sont de la forme : a=2x²+1_b=2x²-1_c=2x
Dans ce problème x=4. La distance d au 4e sommet du carré est d²=a²+b²-c². Le côté du carré est : L²=b²+c²+bcV2
Remarque : la présence de racine de 2 fait qu'on ne peut avoir un côté du carré entier.
Notons que, hors ce problème, avec a, b & c entiers on ne peut avoir simultanément le côté du carré et la distance au 4e sommet entiers.

Bonjour,

Les distances données dans l'énoncé facilitent les calculs* ,mais la rotation de  vham
permet une réponse rapide et élégante grâce au joli triangle isocèle et
rectangle  MCN.

*Je garde en mémoire mon bidule pour toutes donnés quelconques ....

Bonjour,
Merci derny pour la généralisation
Je propose un petit prolongement :
Quelle est la valeur de l'angle BMC avec les mêmes données mais M extérieur au carré ?

Bonjour,
Voilà une belle variante:

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Je trouve BMC=40° avec un coté de 24.105

Je n'ai pas calculé le côté du carré, mais je pense qu'on trouve aussi quelque chose de très simple pour l'angle.

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3/4 ou /4 selon que M est sur le cercle circonscrit du carré ou pas.

Bonjour,

M1 extérieur au carré

bonjour,

il n'y a que les deux solutions de la figure de vham
une avec le point à l'extérieur du plus petit carré (mais pas sur son cercle circonscrit !) et l'autre avec le point à l'intérieur du grand carré

d'ailleurs l'équation bicarrée donne (ici) 4 solutions mais 2 sont forcément <0 (et opposées respectivement aux deux autres) donc à rejeter pour des longueurs.

Bonjour,

Mes souvenirs sont un peu vagues, mais j'avais admiré la solution d'un problème posé en olympiades vers 2000-2005....

Bonjour,
J'avais mal paramétré mon bidule qui m'avait servi pour la version d'origine basée sur 3 Al  Kashi:

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En corrigeant je trouve  un angle DMC de 24°95 qui vérifie la bonne réponse.

Bonjour,
D'accord mathafou
Mon erreur est d'avoir considéré que mes inconnues étaient des distances, alors qu'elles peuvent être négatives.
On peut quand même à faire intervenir le cercle circonscrit :
Dans les 2 cas (M à l'intérieur ou à l'extérieur du carré), M est sur le symétrique du cercle circonscrit par rapport au côté BC.
Un peu capillotracté

@dpi,
Je n'avais pas vu ton message.
pour l'angle BMC, vham a donné la réponse sur sa figure : = 45°

va pour le symétrique du cercle circonscrit
(et on est dans le cas particulier de ces données numériques là, bien entendu)

dpi : 3 al Kashi :
nul besoin d'autant d'al Kashi que ça, si on veut le faire calulatoire un seul suffit pour trouver l'angle demandé
le reste des calculs n'utiliserait que Pythagore

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Soit t le côté du carré et x,y les coordonnées de P
a,b,c connus, d et t inconnus

(1) a² = x² + (t-y)²
(2) b² = x² + y²
(3) c² = (t-x)² + y²
(4) d² = (t-x)² + (t-y)²
en ajoutant a² et c² d'une part, b² et d² d'autre part on obtient :
a² + c² = x² + (t-y)² + (t-x)² + y²
b² + d² = x² + y² + (t-x)² + (t-y)² et donc :

a² + c² = b² + d²

Nota. cette relation est valable pour n'importe quel rectangle ABCD

Calcul du côté du carré
En retranchant (3) - (2) on obtient c² - b² = t² - 2tx soit :
x = (t² - c² + b²)/2t
De même en retranchant (1) - (2) : y = (t² - a² + b²)/2t
En portant x et y dans (2) :
(t² - c² + b²)² + (t² - a² + b²)² = 4b²t² et l'équation bicarrée :

2t^4 - 2(a²+c²)t^2 + (b² - c²)² + (b² - a²)² = 0

où d'autres formes équivalentes de la même équation.

Je propose une démonstration un peu calculatoire, mais sans calculer le côté a du carré, pour trouver l'angle BMC.
Que M soit à l'intérieur ou à l'extérieur du carré.

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x et y sont les coordonnées de M dans le repère .
CM² = (x + a/2)² + (y - a/2)²
BM² = (x + a/2)² + (y + a/2)²
DM² = (x + 3a/2)² + (y - a/2)²
BM² + 2CM² = DM² donne x² + y² = a²/2 .
Le point M est sur le cercle circonscrit du carré BCEF.
S'il est à l'intérieur du carré ABCD alors l'angle BMC a pour mesure 3/4 , sinon /4 .

>Sylvieg
Joli
Pour mémoire,je donnais l'autre angle aigu....

Bonjour
Comme pour le triangle équilatéral une seule formule donne le côté du carré en fonction des 4 distances que le point soit à l'intérieur ou à l'extérieur.
Après cela donnez les côtés des carrés dont le point à l'intérieur est à :
48  367  529  384 des sommets & à
275  419  730  658 des sommets.
Pourquoi ces valeurs ? Vous comprendrez quand vous aurez trouvé les côtés de ces 2 carrés.

Pas besoin de calcul finalement pour démontrer que M est sur le cercle de ma figure

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L'ensemble des points M qui vérifient l'égalité BM² + 2CM² = DM² est le cercle de centre O barycentre de ((B,1), (C,2), (D,-1)) qui passe par le point C .

48, 367, 529, 384

il y a trop de données

en effet tout point dans un rectangle (à plus forte raison un carré) à distances a,b,c,d des sommets satisfait à a² + c² = b² + d²

529² + 48² = 367² + 384²

ce qui permet de déterminer des points à distances entières à la pelle par la recherche des nombres se décomposant en somme de deux carrés d'au moins deux façons différentes.
Fermat, théorème de Noël (du 25 décembre) au Père Mersenne
(avec |a-c| < b√2 < a+c)

ceci dit le calcul du côté du carré ne me passionne pas plus que ça ...
je suis intrigué mais je verrais plus tard. (à faire les calculs numériques)

Bien sûr il est aisé de trouver quantité de couples égaux de carré. Mais comme dit, l'intérêt n'est pas là.

Oui mathafou c'est ce qu'il fallait remarquer. Ce sont ceux qui sont parmi les plus proches d'un nombre entier.

Bonjour
Comme pour les triangles, j'avais, à l'époque arrêté assez vite mon programme. Il y a donc des cas où on est encore "plus proche" d'un nombre entier.
J'avais lu, je ne sais plus où, que, malgré les apparences de simplicité, on était pas arrivé à prouver que l'on ne pouvait pas avoir simultanément le côté du carré et les 4 distances aux sommets entiers. Ce serait donc toujours une conjecture.

Comme pour le triangle équilatéral je donne enfin la formule donnant le côté du carré en fonction des distances aux 4 sommets.

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On a le signe "-" quand le point P est extérieur au cercle circonscrit au carré

là aussi ça ne suffit pas (de choisir le signe +) pour que P soit intérieur au carré lui-même ...