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Dans un triangle

Posté par
ming
08-11-17 à 23:52

Bonsoir


ABC est un triangle rectangle en C , H le pied de la hauteur issue de C, E un point du segment [CH], F le point de [AE] tel que BF=BC et  G le point de [BE] tel que AG=AC.

Etudier dans un ordre quelconque quand E varie sur [CH]

1) l'ensemble des droites (FG)
2)  l'ensemble des points M intersections des droites (AG) et (BF)

Posté par
dpi
re : Dans un triangle 09-11-17 à 11:40

Bonjour,
Merci d'animer, on s'en occupe

Posté par
lake
re : Dans un triangle 09-11-17 à 12:12

Bonjour,

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Dans un triangle 09-11-17 à 12:41

Bonjour,

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Posté par
lake
re : Dans un triangle 09-11-17 à 12:47

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Dans un triangle 09-11-17 à 13:17

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en tout cas bravo lake pour ces excellentes pistes.

Posté par
veleda
re : Dans un triangle 09-11-17 à 17:25

bonsoir,
il faut aussi étudier le cas où le triangle est rectangle isocèle mais c'est beaucoup  plus facile

Posté par
lake
re : Dans un triangle 09-11-17 à 17:38

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Posté par
lake
re : Dans un triangle 09-11-17 à 17:50

Ah mathafou, je n'avais pas vu ton point U sur tes figures

Posté par
ming
re : Dans un triangle 12-11-17 à 02:02

Bonjour lake et mathafou
Il est facile de démontrer que les centres d'homothéties ou les pôles d'inversions qui échangent les deux cercles orthogonaux sont les pieds des bissectrices de l'angle ACB dans le triangle ACB.
Il est un moins facile de montrer que MF = MG.

Posté par
lake
re : Dans un triangle 12-11-17 à 13:20

Bonjour ming,

  

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Posté par
ming
re : Dans un triangle 14-11-17 à 16:23

Bonjour lake

Je te cite" I le point fixe de la droite FG"
Ce point "fixe" est une conclusion dans cet exercice et non pas une hypothèse.
(cf. l'énoncé ci-dessus)
En somme, tu étudies le problème réciproque:
"sachant que la droite (FG) du faisceau de droites concourantes en I centre d'inversion
des cercles ... montrons que MF =MG ( donc le lieu de M est une partie d'hyperbole) et le lieu de E = (AF)(BG) est un segment de la hauteur (AH) issue de C.

Posté par
lake
re : Dans un triangle 14-11-17 à 18:34

Non ming, pas la réciproque: je considère la question 1) résolue (je crois qu'on en a assez dit et qu'il est acquis que la droite (FG) passe par un point fixe centre d'une inversion qui échange les deux cercles; fais-moi grâce du cercle d'Apollonius et des bissectrices) et je m'en sers pour la question 2).

  Où est le problème ?

Posté par
ming
re : Dans un triangle 14-11-17 à 19:49

bonsoir lake

Je considère que , je te cite :" La droite (FG) passe par un point fixe centre de l'homothétie positive qui envoie le cercle de centre A  et de rayon AC sur le cercle de centre B  et de  rayon  BC" est une affirmation et non une démonstration.
D'ailleurs, mathafou en est conscient puisqu'il a écrit: "reste à démontrer tout ça"
le logiciel employé ne donne pas de démonstration.
Alors, précise ta démonstration.

Posté par
ming
re : Dans un triangle 06-12-17 à 19:30

On désigne par a = BC et b = AC

1) Montrons que GM = FM
J'appelle Q l'intersection de la tangente en F à C2 et de l'axe radical (CD) des cercles orthogonaux C1 et C2.
On démontre que E est l'orthocentre du triangle AQB en remarquant que la polaire de Q par rapport à C2 est (AFE) puis que ( BGE) est la polaire de Q par rapport à C1
On en déduis que (QG) est tangente en G à C1.
Enfin QG=QF GM=FM. (dans les triangles isométriques MFQ ET MGQ) ;
Conclusion si C3 est le cercle de centre Q et de rayon QF, C3 est orhogonal à C1 et C2 et E est le centre radical des 3 cercles( fig 1)

2) | MA - MB | = | a - b | = constante
M H, H est l'hyperbole de foyers A et B passant par C. (fig 2)
Réciproquement si M' H, on construit F', G' et E' correspondants . On trace les tangentes en F' et G' aux deux cercles qui se coupent en Q'puis le cercle C'3 centré en Q' et de rayon Q'F'. Les polaires de E' par rapport à C'1 et C'2 sont les  droites (AQ') et (BQ') et donc
E'   (CD) axe radical de C'1, C'2 par réciprocité pôle et polaire.
(fig 3 bis)
3) l'ensemble des points M est la partie de H limitée aux points C et
K (AB)H

Je vous laisse le soin de montrer que les droites (FG) et (EM) forment deux faisceaux concourants de droites en I et J pieds des bissectrices de l'angle droit en C du triangle rectangle ABC et centres d'homothéties et d'inversions qui échangent C1 et C2.(fig3)

Dans un triangle

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