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Niveau 3 *
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De 2 à 8.

Posté par
littleguy
16-11-15 à 14:54

Bonjour,

En cette période compliquée et dramatique, juste un intermède...

Le maire d'une commune  inaugure une superbe piscine et pour cela il organise une compétition entre les deux meilleurs nageurs de la commune.  Comme il veut ménager les susceptibilités  à l'issue de la course, il demande à son secrétaire de mairie de lui préparer des discours spécifiques pour chacune des arrivées possibles. Les deux nageurs pouvant terminer ex-aequo le secrétaire confectionne alors trois discours.

Pour la petite histoire les deux nageurs sont effectivement arrivés ex-aequo et le maire a pu prononcer  le discours idoine.

Encouragé par ce premier essai transformé,  il voit plus grand et décide d'organiser  une compétition  au niveau de la communauté de communes.
Il y a en tout huit communes, et ça tombe bien car la nouvelle piscine comporte huit lignes d'eau.  Le meilleur nageur de chacune des huit communes est invité.

De nouveau et comme il ne veut froisser personne, il demande à son secrétaire de lui préparer des discours :

- Comme vous connaissez tout le monde et que vous savez  bien ce qui peut affecter les uns ou les autres, préparez-moi un discours pour chaque classement possible.
- Mais, monsieur le Maire, ça risque d'être long, il y a huit nageurs et il peut y avoir des ex-aequo !
- Taratata ! Combien de discours pouvez-vous préparer en 1 heure ?
- 5, pas plus.
- Et bien, consacrez 3 heures par journée de travail à la rédaction et ça doit vous suffire, non ?
- C'est que…
- Combien vous faudra-t-il de journées ?
- Euh…

Aidez le secrétaire à répondre précisément au maire.

Posté par
sarriette84
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 15:11

perduBonjour,
Dans la mesure ou il n'y a qu'un seul gagnant par commune et qu'on peut donc imaginer une finale des 8 communes avec 8 nageurs je propose:
17 jour
En effet il y a 255 ordres d'arrivées possibles (somme des combinaison 1 parmis 8 + 2 parmis 8 +...+ 8 parmis 8).
Merci pour cette énigme
Bonne journée
Sarah

Posté par
LeDino
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 15:19

perduBonjour,

Il faudra 17 jours pour rédiger les 255 discours.

Explication :
Chacun des 8 nageurs peut arriver soit premier , soit non premier.
Il y a donc en tout 2 puissance 8 = 256 situations moins une, puisqu'il faut retirer de ce dénombrement le cas où tous seraient non premier.
Il y a donc 255 discours à rédiger, à raison de 3*5=15 discours par jour...

Précision : On considère ici que chaque arrivée distincte requiert une attention particulière.
Une situation ou A et B sont vainqueurs ex-aequo est différente d'une situation où A, B et C sont vainqueurs ex-aequo. Lorsqu'il y aura 6 ou 7 ex-aequo, il faudra être bien informé sur chacun... et faire preuve d'une certaine subtilité de langage ...

Posté par
dpi
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 16:13

perduBonjour,

Des petits calculs pour nos petits neurones...
Les ex-aequos  peuvent aller juqu'à 8
ce qui devrait donner  254 sujets à discours soit
17 journées de travail (3 h/j)

Posté par
mdr_non
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 16:24

perdubonjour : )

merci pour l'énigme : )
17 journées,

Posté par
masab
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 19:04

gagnéBonjour littleguy,

Il faudra au secrétaire de mairie 36389 journées pour préparer les discours !

Merci pour cette énigme combinatoire et hautement calculatoire...

Posté par
Nofutur2
re : De 2 à 8. 16-11-15 à 23:29

perduLe secrétaire de mairie devra préparer 255 discours, soit à raison de 15 discours par jour...17 jours de travail !!

Posté par
Alexique
re : De 2 à 8. 17-11-15 à 00:18

perduBonjour,

je propose le nombre de 49339 discours différents à produire (ce qui prendrait un peu plus de 9 ans à savoir 3289 jours au rythme suggéré par le maire).

Je ne suis pas très habile en combinatoire et en dénombrement donc j'ai raisonné au cas par cas selon le nombre d'ex aequo puis selon le nombre de places différentes que ceux-ci occupent (par exemple 4 exaequos peut vouloir dire 4 à la même place ou bien 2 à une place et 2 à une autre...). Il y a donc 8! possibilités sans ex-aequos, 7x6! avec 2 ex-aequos, 6x5! avec 3 mais à 4, cela se complique par ma remarque ci-dessus. Il y a 5x4! façons de placer le paquet des 4 exaequos à la même place et 5!x4! de placer les deux paquets de 2 exaequos et ainsi de suite...

J'ai plusieurs fois oublié des cas dans mon compte final donc pas impossible que ce soit faux à un chouilla près. J'attends avec impatience les raisonnements avec combinaisons.

Merci pour l'énigme !  

Posté par
rschoon
re : De 2 à 8. 17-11-15 à 09:29

gagnéBonjour à tous.

Je propose : 36389 jours.

Merci pour l'énigme.

Posté par
LittleFox
re : De 2 à 8. 17-11-15 à 11:29

perduLe secrétaire prendra au minimum 17 jours pour préparer tous les discours possibles.

Chaque nageur est soit vainqueur soit vaincu, il y a donc 28=256 arrivées possibles. Mais l'arrivée où tout le monde est vaincu n'est pas valide. Il y a donc 255 discours à préparer.
Le secrétaire prépare moins de 5*3 discours par jour, il lui faudra donc 255/(5*3) = 17 jours au minimum.

Posté par
manitoba
re : De 2 à 8. 17-11-15 à 12:28

gagnéBonjour LittleGuy,

Il faudra 99 années 254 jours c.a.d. 36389 jours de 3 heures de travail à raison de 5 dossiers par heure pour écrire ces 545835 discours.

Posté par
franz
re : De 2 à 8. 18-11-15 à 10:48

gagnéJ'ai trouvé 545835 classements possibles ce qui conduit à 36389 jours à raison de 3heures par jour à 5 discours par heure. Soit près de 100 ans en travaillant 7 jours sur 7. Je comprends la perplexité du secrétaire.
Merci pour l'énigme

Posté par
rijks
re : De 2 à 8. 18-11-15 à 11:12

perduLe pauvre secrétaire devra écrire un discours pour chaque vainqueur, mais les cas d'ex-æquo sont nombreux (les 8 peuvent arriver en même temps !)
La somme des combinaisons : 1 parmi 8 + 2 parmi 8 + ... + 8 parmi 8
J'arrive à un total de 255 discours.
A raison de 5 discours/h ça lui fait 51h de travail. A raison de 3h/ par jour ça donne :
17 journées.
Ce n'est pas plus simple de faire un copier-coller et de changer les noms?

Posté par
LEGMATH
re : De 2 à 8. 18-11-15 à 17:25

perduBonjour,

Il faudra 17 journées de travail afin de rédiger les discours pour chaque classement possible.

Merci.

Posté par
torio
re : De 2 à 8. 18-11-15 à 19:19

perdu33701  journées


545835  arrivées possibles
545835/5/3 = 33701  journées

Posté par
royannais
re : De 2 à 8. 19-11-15 à 07:35

perduBonjour
Sans ex-aequo il y à 40 320 classements possibles, à raison de 15 cas traité par jour il faudra 2688 jours
soit un peu plus de 11 ans si on se base sur 235 jours de travail par an !!!!!

Avec possibilité d'avoir des ex-aequo on obtient 1 036 885 classements possibles donc 96 126 jours
donc environ 294 ans !!!!!!!

Posté par
Portouti
re : De 2 à 8. 20-11-15 à 14:49

perduBonjour,

Je pense qu'il faudra 64011 journées !

Merci pour l'énigme

Posté par
LittleFox
re : De 2 à 8. 23-11-15 à 16:11

perdu
Bon, ce sera un poisson pour moi ^^.
C'est en remarquant que l'énigme vaut 3 étoiles que je me suis rendu compte de mon erreur.

Evidemment, le classement n'est pas déterminé que par les vainqueurs, ce serait vraiment frustrant pour les autres.

Il y a 545835 classement possibles, notre pauvre secrétaire aura besoin d'au moins 36389 jours pour tous les préparer. Presque 100 ans...

Note : le nombre de tel classement est donné par la série des nombres de Fubini : https://oeis.org/A000670

Posté par
Zormuche
re : De 2 à 8. 28-11-15 à 22:20

perduPlus d'une

Posté par
littleguy
re : De 2 à 8. 07-12-15 à 13:53

Bonjour,

Félicitations à ceux qui ont trouvé. Quelques regrets pour LittleFox qui a rectifié sur le tard sa première réponse, et beaucoup pour torio qui a trouvé le nombre de classements mais dont la division par 15 ne donne pas le bon résultat !  Zormuche en revanche n'a pas faux mais sa réponse n'est pas suffisamment précise….

Quelques précisions donc (en espérant ne pas avoir fait de fautes de frappe).

Le maire dit : « préparez-moi un discours pour chaque classement possible ». Il s'agit donc de déterminer d'abord le nombre de classements possibles.

Pour Alexique : j'appelle « paquet » un ensemble de nageurs ayant réalisé le même temps.

A l'arrivée il  peut y avoir :

- Huit paquets (autrement dit pas d'ex-aequo) qui donnent lieu à 8! = 40320 classements possibles.

- Sept paquets (un avec deux éléments et six singletons) : on choisit 2 éléments parmi 8 donc 28 possibilités (et les singletons s'imposent d'eux-mêmes)  qui donnent lieu à 28x7! = 141120 classements possibles.

- Six paquets :
    - Soit un paquet de trois coureurs et cinq singletons : on choisit 3 éléments  parmi 8, 56 possibilités
    - Soit deux paquets de deux coureurs et quatre singletons : on choisit 2 éléments parmi 8, « puis » 2 parmi 6 qui conduisent à 420, qu'il convient de diviser par 2! (car chaque possibilité serait comptée deux fois au lieu d'une), donc 210 cas.

    Donc  266 possibilités qui donnent lieu à 266x6! = 191520 classements possibles.

- Cinq  paquets :
    - Soit un paquet de quatre éléments et quatre singletons :  4 éléments à choisir parmi 8, donc 70 cas.
    - Soit un paquet à trois éléments, un à deux éléments,  trois singletons : 3 parmi 8 puis 2 parmi 5, donc 560 cas.
    - Soit trois paquets de deux éléments et deux singletons : 2 parmi 8, puis 2 parmi 6, puis 2 parmi 4 (le tout à diviser par 3!), donc 420 cas.

    Donc 1050 possibilités qui donnent lieu à 1050x5! = 126000 classements possibles.

- Quatre paquets :
    On conduit un raisonnement identique et on obtient : 56+420+280+840+105, soit 1701 possibilités qui donnent 1701x4! = 40824 classements possibles.

- Trois paquets :
    On procède de même et on obtient  28+168+280+210+280, donc 966 possibilités qui donnent  966x3!  = 5796 classements possibles

- Deux paquets :
     8+28+56+35, donc 127 possibilités qui donnent 127x2! = 254 classements possibles

- Un paquet (tous ex-aequo) :
   1 seul classement possible.

Ce qui donne en tout 545835 classements nécessitant 36389 journées de travail pour le secrétaire !!


Je me suis alors dit que la suite des classements possibles suivant le nombre de concurrents devait certainement être référencée sur oeis.org (méthode « petit-filou » qui m'a  d'ailleurs permis de rectifier deux étourderies dans ma méthode « bourrin » )

Essayons :
Pour un seul concurrent on a 1 classement possible.
Pour deux concurrents,  3 classements.
Pour 3 concurrents, 13 classements.

Et bingo ! Si on entre 1, 3, 13 sur oeis.org et le premier résultat affiché est le bon.  J'ai ainsi découvert alors les ordered Bell numbers ou Fubini numbers que plusieurs d'entre vous ont cités.


Il existe des démonstrations plus subtiles ou élaborées que mon approche brute (Nicolas_75 m'en a proposé, qu'il vous présentera s'il le juge utile).

Merci pour votre participation.

Posté par
dpi
re : De 2 à 8. 13-12-15 à 08:44

perduBonjour,

Beaucoup sont restés trop logiques avec 255 discours .
Nous pensions par exemple que le discours 1 3 5 7 8 exaequos
était valable pour les 5 communes concernées alors qu'il semblerait
qu'il eût fallu 5 discours clonés.

Posté par
littleguy
re : De 2 à 8. 13-12-15 à 13:32

Bonjour dpi,

Je n'ai pas bien saisi ton objection.

Citation :
Nous pensions par exemple que le discours 1 3 5 7 8 exaequos
était valable pour les 5 communes concernées
Veux-tu parler de 5 nageurs (ou communes) ex-aequo ? Si c'est le cas, c'est oui, ces nageurs sont ex-aequo donc pas de problème de susceptibilité.  
Citation :
alors qu'il semblerait
qu'il eût fallu 5 discours clonés.
Ben non.

Pour éviter toute ambiguïté entre chiffres et lettres je vais noter A, B, C, D, E, F, G, H les communes en question.

On part du principe que A, C, E, G, H sont ex-aequo (ton "1 3 5 7 8 exaequos" si c'est bien ce que tu as voulu dire).

Trois situations :

- Les trois autres sont également ex-aequo : {ACGEH}, {BDF}, donc 2 classements possibles
- Les trois autres sont en deux paquets : par exemple {ACGEH}, {BD}, {F}, donc 3*3! = 18 classements possibles.
- Les trois autres arrivent isolément : {ACGEH}, {B}, {D}, {F}, donc 4! = 24 classements classements possibles.

Donc à partir de "A, C, E, G, H sont ex-aequo" on obtient 44 classements (à vérifier).

De toute façon il me semble clair que s'il n'y a pas d'ex-aequo du tout il y a 8! classements possibles donc 8! discours, ce qui dépasse déjà de loin le 255.

Je n'ai pas compris "trop logiques"...

Posté par
dpi
re : De 2 à 8. 14-12-15 à 12:32

perdu>littleguy

Notre logique était de noter toutes les combinaisons possibles pour les premiers
de 1à8 puis e 12 à88 puis de 123 à 678 ,1234 à 5678 ,12345 à 45678,123456 à 345678
1234567 à  2345678 et  enfin 12345678.
Nous avons donc négligé les autres.... second ou autres....
Ceci explique certainement le nombre de poissonnés.

Posté par
littleguy
re : De 2 à 8. 14-12-15 à 17:42

Oui, cela je l'avais bien compris. LittleFox l'a bien expliqué dans sa seconde intervention.

Posté par
castoriginal
re : De 2 à 8. 15-12-15 à 10:01

Bonjour,

je pense que la plupart ont répondu 17 jours pour 255 discours parce qu'on a considéré que les discours s'adressaient essentiellement au gagnant  ou aux gagnants ex-equo.
Or le résultat attendu considérait l'ensemble des classements possibles des 8 nageurs.

La confusion est née du fait que, dans la pratique,l'organisateur fait un discours où chacun globalement est félicité et le vainqueur nommément cité. Les résultats individuels étant repris sur une liste affichée ou distribuée.

Bien à vous

Posté par
Nofutur2
re : De 2 à 8. 15-12-15 à 10:53

perduJe trouve que cette énigme contenait un "joli" piège dans lequel les plus perspicaces d'entre nous ne sont pas tombés..
En effet, il fallait bien lire comme le disait l'énoncé :

Citation :
,......préparez-moi un discours pour chaque classement possible.

Et non "préparez-moi un discours pour chaque vainqueur possible.".
Bravo à ceux qui ont évité l'écueil en analysant l'énoncé au pied de la lettre.... mais aussi qui ont été au bout des calculs "indigestes" sans se planter.
Et encore merci à littleguy pour ses belles énigmes......

Posté par
LeDino
re : De 2 à 8. 15-12-15 à 13:54

perduBonjour,

Je pense exactement comme Nofutur2.

J'ai joué la "gagne" chronométrique et n'ai pas pris le temps et le recul nécessaires. Du coup je me suis jeté sur l'interprétation que je jugeais "réaliste" en refusant l'évidence explicite de l'énoncé (mon subconscient la rejetant probablement comme grotesque dans la vraie vie). Ce que j'aurais dû faire si j'avais un doute d'interprétation, c'est au minimum traiter les deux énoncés. Je ne l'ai pas fait : poisson mérité .

Et bravo à ceux qui ont fait le bon choix et ont mené les calculs à bien.

Posté par
littleguy
re : De 2 à 8. 15-12-15 à 21:10

Juste pour info, je n'ai à aucun moment voulu piéger. Au contraire j'ai imaginé l'histoire des 3 heures et 5 jours justement pour permettre aux participants de se poser des questions si par hasard le nombre obtenu ne donnait pas un multiple de 15, la décomposition de 545835 donne 3*5*36389 (et il y avait de quoi se tromper dans les calculs).

Je n'avais pas du tout prévu l'autre interprétation, pour moi "classements" ne prêtait pas à aucune ambiguïté, dont la décomposition est ...  255 = 3*5*17. Aïe, Aïe, Aïe !

Mon aide s'est transformée en machiavélisme, "à l'insu de mon plein gré"

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 43:09:30.
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