Niveau autre

dé cubique

Posté par liloue30 (invité) 16-01-05 à 16:24

svp j'ai absolument besoin d'aide :

On effectue d lancers successifs au hasard d'un dé cubique non truqué jusqu'à ce que certains evenement soient réalisés.
Pr tt entier i compris entre 1 et 6, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécéssaires pr obtenir le chiffre i pr la premiere fois.  Determiner la loi de Xi
SOit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pr obtenir le chiffre 1 et le chiffre 2.
    QUel est l'ensemble E des valeurs prisess par Y ?
    Montrer que pr tt entier E :
P(Y=k)=P((X1=k)"intersection" (X2<k)) + P ((X1<k)"intersection" (X2=k))
et
P(X1=k)=P((X1=k)"intersection" (X2<k)) + P ((X1=k)"intersection" (X2> ou =k))
En déduire que pr tt entier k de E :
P(Y=k)=2[P((X1=k)- P ((X1=k)"intersection" (X2> ou =k))]

Utiliser l'égalité précédente pr caclculer P(Y=k) pr tt entier k de E

Ca serait vrémen tré gentil de m'aider car la je ne voi pa tro commentfaire
Merci d'avance

Posté par liloue30 (invité)svp sorté moi dun trou noir 18-01-05 à 20:21

je sui parvenue à expliqué le début, mais a partir du momen ou il faut en déduire P(Y=k) je ne sais plu du tt.
Essayé de m'aidé svp
merci bcp

Posté par Dé cubique 19-01-05 à 09:54

Bonjour liloue30,

$X_i$ suit une loi géométrique de paramètre 1/6.
On a donc $P[X_i=k]=\frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{k-1}$ .
Pour ce qui concerne Y, on a
$E=\{n \in N, n\geq 2\}$
(puisqu'il faut au minimum 2 lancers pour obtenir les chiffres 1 et 2.)
De plus, l'évènement Y=k signifie que l'on a obtenu les chiffres 1 et 2 en exactement k lancers. C'est à dire, 1 au kième lancer et 2 dans un lancer précédent ou bien
2 au kième lancer et 1 dans un lancer précédent. En d'autres termes, on a
$[Y=k]= [(X_1=k) \cap (X_2<k)] \cup [(X_2=k) \cap (X_1<k)]$ .
Les évènements $[(X_1=k) \cap (X_2<k)]$ et $[(X_2=k) \cap (X_1<k)]$ étant disjoints, on en déduit que
$P[Y=k]=P[(X_1=k) \cap (X_2<k)]+P[(X_2=k) \cap (X_1<k)]$ .
On remarque également que le problème est symétrique en X1 et X2 et donc que $P[(X_1=k) \cap (X_2<k)]=P[(X_2=k) \cap (X_1<k)].$
L'expression de P[Y=k] devient :
$P[Y=k]=2 P[(X_1=k) \cap (X_2<k)]$ .
De plus, les évènements $[X_2<k]$ et $[X_2 \geq k]$ sont complémentaires. Ceci implique que
$[X_1=k]= ([X_1=k]\cap[X_2<k]) \cup ([X_1=k]\cap[X_2 \geq k]).$ La encore les évènements $([X_1=k]\cap[X_2<k])$
et $([X_1=k]\cap[X_2 \geq k])$ sont disjoints et donc
$P[X_1=k]= P([X_1=k]\cap[X_2<k]) + P([X_1=k]\cap[X_2 \geq k])$ .
De cette dernière expression, on en déduit que
$P([X_1=k]\cap[X_2<k])=P[X_1=k]-P([X_1=k]\cap[X_2 \geq k]$ .
En remplaçant dans l'expression de P[Y] obtenue plus haut, on en conclut que :
$P[Y=k]=2(P[X_1=k]-P([X_1=k]\cap[X_2 \geq k])$ .
Enfin, $P([X_1=k]\cap[X_2 \geq k]=\frac{1}{6}(\frac{4}{6})^{k-1}$
(probabilité $\frac{1}{6}$ d'obtenir 1 au lancer k, fois
la probabilité $(\frac{4}{6})^{k-1}$ d'obtenir 3,4,5 ou 6 pour chacun des k-1 premiers lancers).
Je te laisse conclure.
Bonne Journée.
Dadou

Posté par liloue30 (invité)merci bcp 19-01-05 à 13:34

c vrémen tré gentil de mavoir aidé.merci bcp
bonne jouré

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