Niveau première

de l aide svp

Posté par pitouflo (invité) 12-03-05 à 13:20

Bonjour à tous, pouvez vous m'éclairer sur cet exo:
soit ABCD un rectangle avec AB=3a et AD=a

1)construire le barycentre G (A,-3) (B,1) (D,1) et vérifier que A est le milieu de CG
2)calculer en fonction de a les longueurs AG, BG, et DG
3)Soit M un pt du plan, exprimer -3MA²+MB²+MD² en fonction de a² et MG²
4)déterminer l'ensemble E des pts M du plan tq -3MA²+MB²+MD²=10a²

merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter

Posté par dolphie (invité)re : de l aide svp 12-03-05 à 13:31

Salut,

1. pour la construction:
$-3\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GD}=\vec{0}$
Utilises la relation de Chasles pouyr écrire:
$\vec{GA}=\vec{AB}+\vec{AD}$
ou encore:
$\vec{AG}=-\vec{AB}-\vec{AD}$

et là tu peux le placer...

2. $AG² = ||\vec{AG}||²=\vec{AG}.\vec{AG}$
Or $\vec{AG}.\vec{AG}=(-\vec{AB}-\vec{AD}).(-\vec{AB}-\vec{AD})$
tu développes et tu dis que $\vec{AB}.\vec{AD}=0$ car ABCD rectangle donc (AB) et (AD) perpendiculaires.

ainsi: $\vec{AG}.\vec{AG}=AB²+AD²$
AG² = (3a)²+a² = 10a²
$AG = a\sqrt{10}$

de même:
il faut exprimer $\vec{DG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ :
$\vec{DG}=-\vec{AB}-2\vec{AD}$

et comme tout à l'heure tu calcules la norme de ce vecteur grâce au produit scalaire...

DG² = (3a)²+(2a)² = 13a²
$DG = a\sqrt{13}$

puis BG² = (6a)²+a² = 37a²
$BG = a\sqrt{37}$

Posté par dolphie (invité)re : de l aide svp 12-03-05 à 13:36

3) -3MA²+MB²+MD² = $-3(\vec{MG}+\vec{GA}).(\vec{MG}+\vec{GA})+(\vec{MG}+\vec{GB}).(\vec{MG}+\vec{GB})+(\vec{MG}+\vec{GD}).(\vec{MG}+\vec{GD})$
$-3MA^2+MB^2+MD^2 = -MG^2-3GA^2+GB^2+GD^2+\vec{MG}.(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GD})$
or: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GD}=\vec{0}$ car G bary de A(-3),B(1),D(1).

Donc:
-3MA²+MB²+MD² = -MG²-3GA²+GB²+GD²
GA² = 10a²
GB² = 13a²
GD²= 37a²
-3MA²+MB²+MD² = -MG²-30a²+13a²+37a²
-3MA²+MB²+MD² = -MG²+20a²

Posté par dolphie (invité)re : de l aide svp 12-03-05 à 13:38

4) l'ensemble des points M du plan tels que -3MA²+MB²+MD² = 10a² est l'ensemble des points M du plan tels que -MG²+20a²=10a²
soit encore:
MG² = 10a²

Donc L'ensemble des points M recherché est le cercle de centre G et de rayon $a\sqrt{10}$ =AG.
Donc le cercle de centre G passant par A.

Posté par pitouflo (invité)re : de l aide svp 12-03-05 à 14:20

merci

Posté par dolphie (invité)re : de l aide svp 12-03-05 à 15:25

De rien...si tu as compris

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