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de la différence entre INTERVALLE et SEGMENT
Bonjour à tous 
Je fais suite à ce fil 
Caractérisation des intervalles de R pour préciser la différence entre la notion de segment et celle d'intervalle.
je me place exclusivement dans le cadre d'ensemble ordonné (pas de notion affine à priori, ni vectorielle ou autre)
Tout d'abord, rappelons quelques définition dans un cadre général :
Soit un ensemble ordonné et
deux éléments de E vérifiant
.
On appelle INTERVALLE fermé d'origine a et d'extrémité b, l'ensemble noté et défini par :
Puis, via un jeu sur les inégalités large et stricte, on peut définir les intervalles .
On définit de même les intervalles particuliers suivants :
Avec le même jeu sur les inégalités stricte ou large.
Enfin l'espace ordonné tout entier sera noté comme un l'intervalle
Avant de poursuivre, on remarque que cette définition impose que les bornes de l'intervalle soient des éléments de l'ensemble E.
Ce qui génère une petite difficulté avec la notion de borne supérieure.
Par exemple, l'ensemble ne peut pas être mis sous la forme d'un intervalle puisqu'il faudrait pour cela qu'un objet noté
fût un rationnel qui nous le permît.
Aussi, pour s'approcher de la notion d'intervalle, on a développé celle de segment.
Soit un ensemble ordonné et
deux éléments de E vérifiant
.
On appelle SEGMENT de E toute partie S de E vérifiant la condition suivante :
Il apparaît alors que l'ensemble B défini ci-dessus est un segment de .
Petit exercice : montrer que tout intervalle d'un ensemble ordonné E est un segment de E.
Bonjour jsvdb
Il y a des ouvrages qui donnent comme définition : "un segment de est un intervalle fermé et borné."
Or si je prends ta définition d'un segment de :
vérifie cette propriété.
Peux-tu l'expliquer?
Bonjour mousse42.
Il y a des ouvrages qui donnent comme définition : "un segment de
Je vois pas bien l'intérêt de donner un second nom a un objet qui en possède déjà un.
D'autant que je suis précisément en train d'expliquer qu'il y a une distinction.
Or si je prends ta définition d'un segment de
dans
Je me suis placé dans le cadre plus général des ensembles ordonnés, sans plus d'hypothèses.
salut
merci jsvdb ... même si je pense que c'est jouer sur les définitions et comme je l'ai dit dans l'autre fil tu introduis bien des objets --> et <-- qui ne sont pas de éléments de E et qui pourtant apparaissent dans un type d'intervalle (les non bornés)
pour moi l'ensemble B est un intervalle de Q ... de même que dans N l'ensemble [15/2, 25/2] est tout autant un intervalle ... 
mousse42 alors jette ton bouquin ...
la définition d'un segment peut tout à fait être prise pour la définition d'un intervalle ...
sauf que les élèves ne sachant plus faire de math et ne comprenant rien au français ils sont incapables de manipuler/comprendre cette définition ...
jsvdb, carpediem Vous parlez d'un ouvrage préfacé par Alain Connes quand même. Peut-être que c'est une définition provisoire (c'est le tout en un pour la licence Niveau 1)
Et combien de fois on voit cette proposition rédigée comme ceci :
"Toute fonction continue sur un segment non vide est continue et atteint ses bornes"
"Toute fonction continue sur un segment non vide est continue bornée et atteint ses bornes"
bien évidemment, c'est une coquille
salut carpediem.
tu introduis bien des objets --> et <-- qui ne sont pas de éléments de E et qui pourtant apparaissent dans un type d'intervalle
Les flèches ne sont pas des objets mathématiques et tu remarqueras que la définition que j'introduis se fait en deux temps.
Tout d'abord avec deux objets a et b qui sont bien des éléments de E.
Puis, avec un seul objet b, la flèche n'étant qu'un simple symbole car on ne sait pas si on peut ou non remplacer ces flèches par un véritable objet mathématique.
Il y a même un troisième temps où on dit que
Dans la notation
Mais comme tu le dis :
les élèves ne sachant plus faire de math et ne comprenant rien au français ils sont incapables de manipuler/comprendre cette définition
alors, oui, on peut l'utiliser en terminale sans vraiment se poser de questions.
Sauf qu'ici, je suis dans la partie supérieure du forum ...
________________
cela dit, grâce à tes remarques de bon sens, j'ai mis pas mal d'eau dans mon vin et je reconnais bien volontiers que certaines notations sont tout à fait acceptables, ne serait-ce que pour ne pas compliquer inutilement le discours.
Alors oui,
Mais on n'oublie pas que ...
Et combien de fois on voit cette proposition rédigée comme ceci : "Toute fonction continue sur un segment non vide est bornée et atteint ses bornes"
Oui, si la définition de segment = intervalle fermé borné, alors on est cohérent.
Mais cf ma remarque finale sur le post au dessus : certaines notations (définitions) sont tout à fait acceptables, ne serait-ce que pour ne pas compliquer inutilement le discours.
Il s'agit de faire des maths, pas de l'épistémologie ou de la masturbation mentale.
Bonjour jsvdb,
je te remercie pour ces précisions. J'ai acheté un livre de topologie qui passe très vite sur les notions et particulièrement celle-ci en début de chapitre 1. Quelle coïncidence que le jour où je commence à lire ce livre et à me poser la question sur la différence segment/intervalle, tu écrives sur ce sujet.
Bonne journée.
de même que dans N l'ensemble [15/2, 25/2] est tout autant un intervalle ...
Bah évidemment puisqu'on peut l'écrire plus avantageusement [8;12] et que 8 et 12 sont des entiers naturels.
Bonsoir.
Je suis admiratif devant le travail de clarification de jsvdb.
Je n'ai jamais rencontré les définitions proposées, mais elles me semblent cohérentes et suffisantes.
Je mettrais quand même un bémol : je n'ai jamais vu utiliser la notion d'intervalle en dehors des ensembles et
, où elle ne pose aucun problème.
L'article de Wikipédia semble proposer une idée différente.
Merci verdurin et j'aime beaucoup ceci en début d'article :
un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble compris entre deux valeurs.
Ça légitime les nuances décrites dans ce fil.
en tout cas (et le lien de verdurin le redit tout comme jsvdb) dans tout ensemble totalement ordonné les intervalles existent ...
donc on peut tout autant parler d'intervalles dans Q comme je l'ai fait ... puisqu'il est totalement ordonné ...
par contre j'avoue, je suis coupable : j'ai répondu une grosse con... à mousse42 ... et je m'en excuse ... lu trop rapidement ce qu'il a écrit ... donc sans prendre le temps de penser ce que je lisais ... donc cela conduit quasi inévitablement à dire une con ... 
donc on peut tout autant parler d'intervalles dans Q comme je l'ai fait
qui a dit qu'on ne pouvait pas parler d'intervalle dans
Ça peut donner lieu à de notations qu'on voit rarement.
Qui prétendrait que cet objet est un intervalle : [f,g] où f désigne la fonction "carré" et f la fonction "racine", définies sur [0,1].
Ou bien dans P(IR), l'intervalle avec l'inclusion.
) n'est pas totalement ordonné ...Je t'en prie.
A utiliser quand même avec modération pour ne pas troubler la pédagogie des enseignants qui sont " dans l'système" 
Avec la dernière phrase de mon post initial, on reste tout de même sur sa faim :
Il apparaît alors que l'ensemble B défini ci-dessus est un segment de
Petit exercice : montrer que tout intervalle d'un ensemble ordonné E est un segment de E.
Je donne une rédaction dans le cas où l'intervalle est de la forme ]a,b[.
On souhaite montrer que c'est un segment de E.
Soient donc
Par définition de l'intervalle
Par définition de l'intervalle ]a,b[ on a
Par suite on a bien
Comme
Démonstration analogue pour les autres types d'intervalles.
Exercices :
Dans muni de sa relation de divisibilité en tant qu'ordre, décrire l'intervalle
.
Montrer que l'intersection de deux intervalles n'est pas toujours un intervalle.
Quelle(s) condition(s) (suffisante) faut-il rajouter à l'ordre sur E pour qu'il en soit ainsi ?
je me suis planté, je suis fatigué, je vais dormir.
Voici ma dernière proposition
[1,42]=\{1,2,3,6,7,21,42\}
[5,11]\cap[1,42]=\varnothing
Voici ma dernière proposition
J'ai oublié le 14 dans mon raisonnement d'hier (certainement faux),
Mais j'ai l'impression qu'il y a un truc qui m'échappe. On est bien dans
On utilise la propriété
Et donc je propose
Mais mon problème, en prenant
Je confirme : on est bien dans
Alors oui, ta dernière proposition est exacte puisque l'intervalle [1,42] contiendra évidemment, par définition, les nombres 1 et 42 et entre les deux, tous les nombres que 1 divise et qui divisent 42.
Dans la mesure où , l'intervalle est facile à décrire.
Alors maintenant, remarquons que
tandis que
_______________________
L'objet que tu notes [0,42] n'existe pas puisque la notion d'intervalle requiert dans sa définition que ses bornes soient comparables dans un ordre précis; Il faudrait 0|42 et ce n'est pas le cas.
En revanche, on a bien 42|0 et on peut donc parler de l'intervalle [42,0] ... je vous invite à le décrire en exercice, c'est intéressant !
________________________
ne démontre pas que l'intersection de deux intervalles n'est pas toujours un intervalle puisque l'ensemble vide est un intervalle.
Utiliser pour trouver un contre-exemple n'aboutira pas car cet ensemble réalise la condition suffisante dont je parle le 06-08-19 à 02:02
On s'aperçoit donc que la notion d'intervalle peut même être contre-intuitive.
Cet exemple me permet de montrer que si l'on utilise dans une notation de type
, bah on est un peu dans la mouise.
Salut,
en posant a|b ssi b est un multiple de a on arrive à N=[1;0]. En d'autres termes on peut, dans ce cas, remplacer par 1 et
par 0
Et on ne peut pas décrire [0;42] parce que ce n'est pas un intervalle suivant la définition de jsvdb. En effet 42 n'est pas un multiple de 0.
On s'aperçoit donc que la notion d'intervalle peut même être contre-intuitive.
Cet exemple me permet de montrer que si l'on utilise dans
On s'aperçoit que ta définition d'un intervalle est contre-intuitive.
Je crois que ce n'est pas pour rien que Wikipédia limite les extensions de la notion d'intervalle aux ensembles totalement ordonnés.
Dans le fil à l'origine de cette discussion j'avais proposé de limiter la définition des intervalles aux ensembles totalement ordonnés et aux treillis complets.
Dans ces cas l'intersection de deux intervalles est toujours un intervalle.
On a donc une condition suffisante, mais pas nécessaire, pour que l'intersection de deux intervalles soit toujours un intervalle.
Ceci étant dit il me semble judicieux de limiter les concepts d'intervalle et de segment aux ensembles totalement ordonnés.
Bien sur, je peux avoir tort.
Mais, pour m'en convaincre, il faudrait montrer des cas où la notion d'intervalle est utile dans le cas d'un ensemble ordonné quelconque.
D'ailleurs ce n'est pas la notion d'intervalle qui est contre-intuitive, je dirai même qu'elle est naturelle.
Ce sont plutôt certains exemples qui peuvent l'être.
Mais bon, en terme de contre-intuitif, on a fait nettement pire ...
j'avais proposé de limiter la définition des intervalles aux ensembles totalement ordonnés et aux treillis complets.
Bah oui, mais pour ce fil, c'est justement l'aspect des intervalles qui m'intéresse pas. Il y a suffisamment de littérature à leur sujet pour ne pas en plus en rajouter une couche qui n'apporterait rien.
Cela dit, est-ce-que ce fil apporte vraiment quelque chose ? allez, disons au moins une curiosité sur les intervalles.
je ne suis pas sur d'avoir tout à fait compris :
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} contient les intervalles [1, 2, 6, 42], [1, 3, 6, 42] et [1, 7, 14, 21, 42] ... ou plutôt [1, 7, 14, 42] ou [1, 7, 21, 42] ... 
mais D(42) n'est pas intervalle car on n'a pas 2 | 3 ou 3 | 2 ... entre autre ...
et on peut remarquer que l'intersection des intervalles [1, 2, 6, 14, 42] et [1, 3, 6, 42] est {1, 6, 42} qui n'est pas un intervalle ...
D'accord, mais ça ne change pas vraiment ma question.
Est-ce que cette définition est réutilisée par ailleurs ?
Et en particulier dans le cas d'ensembles ordonnés quelconques ?
Je n'ai chez moi que le tome 1 de Bourbaki. On trouve en effet cette définition, mais elle ne semble pas réutilisée dans ce tome.
Salut cueilleur de jours.
[1, 2, 6, 42] n'est pas un intervalle de ( N, | ) : un intervalle est donné par ses extrémités.
Si on considère l'ensemble {1, 2, 6, 42} ce n'est pas non plus un intervalle de ( N, | ).
Mais l'ensemble des diviseurs de 42 est bien un intervalle au sens de Bourbaki.
Quelque soit x diviseur de 42 on a .
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} n'est pas intervalle car on n'a pas 2 | 3 ou 3 | 2 ... entre autre ...
Les éléments qui sont dans un intervalle se comparent uniquement aux bornes de l'intervalle, il n'y a à priori aucune relations entre les éléments qui ne sont pas les bornes.
Donc, que 2 ne divise pas 3 n'a pas d'importance l'essentiel est que 1 divise 2 et que 2 divise 42. Idem pour 3.
l'intersection des intervalles [1, 2, 6, 14, 42] et [1, 3, 6, 42]
Ce ne sont pas des intervalles. Il manque par exemple un 3 dans le premier et un 2 dans le second.
Dès lors que l'objet qui a vocation à être un intervalle possède 1 et 42 alors nécessairement il contient 2,3,7,14 et 21.
En revanche, on a bien 42|0 et on peut donc parler de l'intervalle [42,0] ... je vous invite à le décrire en exercice, c'est intéressant !
Bonjour,
La notion de segment apparaît dans Bourbaki à la suite des ensembles bien ordonnés, même si la définition exacte est la suivante. Soit un ensemble ordonné. L'on appelle segment de
toute partie
de
telle que l'on ait
La définition donnée par jsvdb, que je salue au passage, ne présente aucun intérêt.
Bonsoir ThierryPoma.
Bonjour,
La notion de segment apparaît dans Bourbaki à la suite des ensembles bien ordonnés, même si la définition exacte est la suivante. Soit
La définition donnée par jsvdb, que je salue au passage, ne présente aucun intérêt.
J'ai un doute sur la définition de « segment ».
Peux tu donner une référence plus précise ( genre tome, chapitre, section ).
Ou corriger la définition que tu as donnée.
Boubaki - Théorie des ensembles - Chapitre III - $2 - 1.Segment d'un ensemble bien ordonné. Définition 2.
En effet.
Donc les segments dans muni de l'ordre usuel sont, suivant la définition, les ensembles de la forme
ou
( l'ordre usuel sur
n'est pas un bon ordre ) en plus il y a une remarque pour exclure
.
Je crois que l'on est pas obligé d'adorer Saint Bourbaki.
Et que cette définition mérite d'être oubliée.
Bonjour,
A noter qu'à la page 9 du tout-en-un Mathématiques L3 - Algèbre aux éditions Pearson, Monsieur François Arnault utilise la même définition pour le concept de segment [initial].
)
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