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décidabilité et classe C1
Bonjour,
J'ai une petite incompréhension sur ce problème :
f(x) = cos(racine de x)
Cette fonction est elle dérivable en 0 ? De classe C1 en 0 ?
J'ai d'abord étudié la dérivabilité, avec le taux d'accroissement et je trouve : ((cos racine x)-1)/x.
Mon premier problème est que je n'arrive pas à calculer la limite en 0 de ce TA. En effectuant un changement de variable X=racine x, je trouve TA = cos X -1 / X^2, mais je n'arrive pas à calculer cette limite.
Quand je calcule la dérivée, je trouve f'(x) = -1/2 * (sin(racine x)/racine x). Sauf que cette fonction n'est pa définie en 0 d'après moi
Si c'est le cas, alors la fonction n'est pas C1 en 0, mais, j'en doute fort, au vu de la formulation de l'exo.
Donc j'en déduis que je me suis trompé ! Mais, pour déterminer si elle est C1, je suis obligé d'étudier la continuité de f' en 0. Mais comment étudier la continuité en 0 d'une fonction pas définie en 0 ?
Juste pour info, j'ai calculé la limite en 0+ de f' et j'ai trouvé -1/2.
Merci d'avance pour votre aide !
Je précise quand même que j'ai une petite idée pour trouver la limite du TA : il faudrait utiliser l'hospital mais, dans mon établissement, cette année, ils ne veulent pas que l'on utilise ce théorème. Alors je ne vois pas du tout comment faire !
Une fonction peut sembler non définie en un point, mais être prolongeable par continuité en réalité. C'est le cas de la fonction sinus cardinal : sin(x)/x -> 1 quand x tend vers 0.
Au sujet du taux d'accroissement, c'est une bonne idée, si tu n'oublies pas les parenthèses 
Si tu connais le DL de cos en 0, c'est plié, sinon il va falloir ruser un peu.
Par exemple, tu peux montrer que pour tout x, 1-cos(x) = 2sin²(x/2). Ca te ramène à devoir montrer que le sinus cardinal a une limite en 0. Ca aussi c'est très facile
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