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Décomposition dans l'anneau gaussien Z[i]
Bonjour,
Je souhaite décomposer 11-7i en facteurs premiers dans Z[i].
Pour cela j'utilise l'application norme N qui me donne
N(11-7i) = 170 = 17*5*2 <- ces trois nombres sont premiers, or on sait que dans l'anneau gaussien, si la norme d'un élément est premier alors cet élément est irréductible.
J'essaye alors de trouver 3 éléments de Z[i] tel que leur norme soit respectivement 17,5 et 2.
Cependant le choix est vaste... Comment faire pour trouver la bonne décomposition sans me ramener à devoir vérifier tous les cas ?
Ben quand meme resoudre x²+y²=1,5 ou 17, ce devrait pas etre tres long quand meme, ca se fait de tete.
La décomposition ne doit-elle pas être unique ?
Je trouve :
11-7i = a*b*c
avec a = (1+/- 4i) ou a = (4 +/-i)
b = (1 +/- i)
c = (1 +/- 2i) ou c = (2 +/- i)
Dans un exemple plus compliqué, cela pourrait s'avérer long de tout vérifier non ?
Il y a en effet des mathodes plus sophistiquées que l'on peut utiliser pour trouver les décompositions en (ideaux) premiers... mais cela depend de ce que tu connais.
Dans tous les cas pour Z[i], résoudre x²+y²=1 n'implique que de tester un nombre fini de cas.
Tout dépénd de ce que tu veux faire, dans des cas simples, cette méthode de force brute (eventuellement assisté par un ordi fonctionne)
Si je te demande de factoriser 1189165489491891916189989848949843187976434148984564237
en nombres premiers, il y a fort à parier que tu aies du mal. Ca veut pas dire que fondamentalement tu sais pas le faire, c'est un peu pareil ici.
Excusez-moi, je ne sais pas ce que cela signifie
Ben la décomposition en produits d'élements irreductibles est unique à la multiplication par des inversibles pres.
Par exemple dans Z tu as 6=3*2 mais aussi 6=-3*-2
C'est pareil dans Z[i] ou dans tout anneau factoriel, tu as 4+i=i(1-4i) et i est un inversible de Z[i] etc... les solutions que tu trouves sont à chaque fois la meme à un inversible pres.
Tu vois bien que si a²+b²=1, et x²+y²=n, alors (a+ib)(x+iy) a ausisi pour norme n.
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