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Décomposition de vecteurs dans le plan

Posté par
Lenaaa59
24-09-22 à 15:30

Bonjour,
J'ai un devoir à rendre mardi en spé, mais j'ai raté une semaine de cours et les vecteurs ça n'a jamais vraiment été mon truc donc je galère un peu...
Voici mon énoncé :
SABCD est une pyramide régulière à base ABCD carrée dont tous les côtés sont des triangles isocèles superposables.
Les points I, J, K et L sont définis par :
AI = 1/5AS ; BJ = 2/5BS ; CK = 3/5 CS et DL = 4/5DS (ce sont bien des vecteurs, je ne sais juste pas comment mettre une flèche en haut).
1. Vérifier que IK = 2/5(AS + AB + AD).
2. Décomposer de la même façon les vecteurs IJ et IL dans la base (AS;AB;AD) de l'espace.
3. Existe-t-il un triplet de nombres (a;b;c) =/= (0;0;0) tel que aIJ + bIK + cJL = 0 ?

Je sais que j'en demande beaucoup, mais merci d'avance à ceux qui pourront m'aider !

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 24-09-22 à 15:31

J'ai oublié de mettre la figure qui m'est donnée...

Décomposition de vecteurs dans le plan

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 24-09-22 à 15:49

Bonjour

Quelle décomposition proposez-vous ?  usage de  la relation de Chasles

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 10:28

Avez-vous abandonné ?

On veut une décomposition de \vec{IK}

on regarde à quel point est attaché I dans les définitions
A  donc on va prendre un chemin passant par A

On fait de même avec K on note le point C

on peut donc écrire \vec{IK}=\vec{IA}+\vec{AC}+\vec{CK}

On va donc commencer par remplacer les vecteurs par leur définition et ensuite décomposer les vecteurs en fonction des vecteurs demandés.

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 14:47

Bonjour,
Merci pour votre réponse, désolée je n'avais pas reçu de notification... Je suis de nouveau dessus.
Et donc oui, c'est ce que j'avais trouvé comme décomposition, mais j'avais mis AB + BC pour AC...

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 14:49

J'ai donc comme résultat
IK = -1/5AS + AC + 3/5CS

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 14:53

Pourquoi dans le plan ? Il me semble que c'est une pyramide.

ABCD est un parallélogramme donc \vec{AB}+\vec{AD}=

Avant, on peut décomposer \vec{CS} en passant par A

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 15:54

AB + AD = BD ? ou AB + AD = CB + CD ?
Et CS = CA + AS ?

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 16:02

Vous avez écrit \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

mais comme vous avez un carré \vec{BC}=\vec{AD}

\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD} c'est ausi une définition de la somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme.

\vec{CS}=\vec{CA}+\vec{AS}

maintenant, vous avez tous les vecteurs en fonction de \vec{AB}\ \vec{AD}\  $et  $\ \vec{AS}

en effectuant les additions, vous devez aboutir à la relation demandée

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 16:11

Okey, je vois...
Donc ça fait :
IK = 1/5AS + (AB + AD) + 3/5(CA+AS)
<=> 1/5AS + (AB + AD) + 3/5 (-AC + AS)
<=> 1/5AS + (AB + AD) + 3/5((-AB + -AD) + AS)
<=> 1/5AS + (AB + AD) + (- 3/5 AB) + (- 3/5AD) + 3/5AS
<=> 1/5AS + 3/5AS - 2/5AB - 2/5AB
... J'ai du faire une erreur quelque part non, comme j'obtiens 4/5AS et (-2/5) comme facteur et non 2/5 comme dit dans l'énoncé ?

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 16:25

\vec{IA}=-\dfrac{1}{5}\vec{AS}

Vous n'avez pas tenu compte de ma remarque

 \vec{IK}=\vec{IA}+\vec{AC}+\vec{CK}

 \vec{IK}=\vec{IA}+\vec{AC}+\dfrac{3}{5}\vec{CA}+\dfrac{3}{5}\vec{AS}

\vec{IK}=-\dfrac{1}{5}\vec{AS}+\dfrac{2}{5}(\vec{AB}+\vec{AD})+\dfrac{3}{5}\vec{AS}

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 17:46

Mais je ne comprends pas d'où sort le 3/5CA...

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 25-09-22 à 17:55

par hypothèse \vec{CK}=\dfrac{3}{5}\vec{CS}

or \vec{CS}=\vec{CA}+\vec{AS}

par conséquent \dfrac{3}{5}\vec{CS}=\dfrac{3}{5}\left(\vec{CA}+\vec{AS}\right)=\dfrac{3}{5}\vec{CA}+\dfrac{3}{5}\vec{AS}

Posté par
Lenaaa59
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 26-09-22 à 14:03

Oh d'accord, je vois... Donc effectivement on a bien le résultat de l'énoncé...
Donc pour la question 2 je dois décomposer les deux vecteurs pour avoir un résultat de la même manière... Je vais essayer de faire ça pendant ma pause de 15h à 16h.
Merci pour votre aide !

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 26-09-22 à 14:16

D'accord, je serai présent.

Posté par
hekla
re : Décomposition de vecteurs dans le plan 26-09-22 à 14:23

Question 3 est-ce bien c\vec{JL} ?



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