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décomposition en élément simple

Posté par loulou (invité) 04-09-04 à 16:10

Bonjour
Besoin de quelqu'un pour me resoudre cette primitive avec un maxi de détail

dx / ((x^3) -1)

merci

Posté par Emma (invité)re : décomposition en élément simple 04-09-04 à 16:25

Salut Loulou !

Avant tout, je ne suis pas sûre que l'on parle de "résoudre une primitive"...

Bon, sinon, il s'agit de factoriser le dénominateur de ta fraction \frac{1}{x^3-1} :
x^3-1 s'annule pour x=1, donc est factorisable par (x-1)
Que ce soit en effectuant une division ou en développant (x-1).(ax²+bx+c) et en identifiant les coefficients avec ceux de x3-1, on trouve que x^3-1 = (x-1).(x^2+x+1)

Revenons maintenant à la fraction \frac{1}{x^3-1} : elle va donc s'écrire sous  la forme \frac{...}{x^2+x+1} + \frac{...}{x-1}

Plus précisément, puisque le degré du polynôme au numérateur doit être strictement inférieur à celui du polynôme au dénominateur, il s'agit de trouver a, b, et c tels que :
\frac{1}{x^3-1} = \frac{ax+b}{x^2+x+1} + \frac{c}{x-1}

A toi de jouer : mise au même dénominateur, identification des coefficients du polynôme obtenu au numérateur avec le polynôme constant égal à 1...

Bon courage

@+
Emma [i][/i]



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