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Niveau maths spé
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Décomposition en éléments simples

Posté par
Hanna
18-07-09 à 19:54

Bonjour,

Tout d'abord merci beaucup pour votre aide.

Je cherche à décomposer en éléments simples la fraction 1/(x²+a²), avec a réel, dans C.

J'ai donc écrit que 1/(x²+a²)=1/(x-ai)(x+ai)

et j'ai un peu de mal pour la suite.


Merci beaucoup,

Hanna

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 20:03

Si le but est de trouver une primitive, ce n'est pas la bonne manière.

Fais plutôt le changement de variable x = a.t

1/(x²+a²) dx = 1/(a²t²+a²) a dt
1/(x²+a²) dx  = (1/a²) * (1/(1+t²)) dt

S 1/(x²+a²) dx = (1/a²) arctg(t)

S 1/(x²+a²) dx = (1/a²) arctg(x/a)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 20:03

Salut

Oui c'est bien comme ça pour le début

Ensuite tu cherches 3$\fr{A}{x-ai}+\fr{B}{x+ai} je trouve 3$A=-B=\fr{1}{2}

Soit 3$\fr{1}{2(x-ai)}-\fr{1}{2(x+ai)}

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 20:07

J-P je suis pas tout à fait d'accord avec toi ^^

Une primitive de 3$ \fr{1}{a^2+x^2} \ est \ \fr{1}{a}\arctan\(\fr{x}{a}\) et elle fait partie de celle à connaître il me semble ..

Je crois que en fait tu as juste oublié de simplifier à un endroit, ce qui te donne le carré ^^

Posté par
Hanna
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 20:55

Merci pour vos réponses.

tout d'abord, ce n'est pas pour un calcul de primitive, juse une simple décomposition

et puis je ne suis pas très d'accord avec 1/2 et -1/2, parce qu'en vérifiant, il reste ia au numérateur non?

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 21:00

Je sais pas j'ai fais de tête, peut-être qu'il faut inverser..

Ah oui je viens de voir il y a du 3$ai encore

Ben alors 3$\fr{1}{2ai} et 3$-\fr{1}{2ai} semblerait convenir puisque 3$\fr{1}{2}\[\fr{1}{x-ai}-\fr{1}{x+ai\]=\[\fr{ai}{x^2+a^2\]

Posté par
Hanna
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 21:14

oui ca convient, merci beaucoup!

Bonne soirée

Hanna

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 21:20

De rien pour ma part

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 18-07-09 à 21:20

A pardon pour quoi ce soit jolie, multiplie par 3$i en haut et en bas

Posté par
bamboum
complément 19-07-09 à 02:15

C'est juste la decomposition proposée orécedemment !
Par contre il n'y a pas de blême pour la primative.
En effet si on sait ce qu'est le Logarithme d'un nombre complexe on retrouve aisement le resultat avec l'arctangente!
Pour une integration numerique on peut aussi passer par la theorie des residus.

Posté par
olive_68
re : Décomposition en éléments simples 19-07-09 à 02:20

Quelle culture mathématiques !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Décomposition en éléments simples 19-07-09 à 09:25

Tous les chemins mênent à Rome, mais autant prendre le plus direct.

En étant un poil plus attentif :

Si le but est de trouver une primitive, ce n'est pas la bonne manière.

Fais plutôt le changement de variable x = a.t

1/(x²+a²) dx = 1/(a²t²+a²) a dt
1/(x²+a²) dx = (a/a²) * (1/(1+t²)) dt

S 1/(x²+a²) dx = (1/a) arctg(t)

S 1/(x²+a²) dx = (1/a) arctg(x/a)
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