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Décomposition en éléments simples dans C

Posté par
liloudvb 17-11-21 à 22:11

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant un exercice de décomposition en éléments simples dans C
Je dois décomposer F(X)=\frac{2(X+2)}{(X^2+1)^2}.
J'ai trouvé que la forme à priori était \frac{a}{X-i} + \frac{b}{(X-i)^2}+\frac{c}{X+i}+\frac{d}{(X+i)^2}
et j'ai trouvé b et d avec b = -1 -\frac{1}{2}i et d = -1 +\frac{1}{2}i

Je bloque au moment de trouver a et c
J'ai essayé de passer par la limite de xF(X) mais je trouve a = -c, qui est un résultat contradictoire au résultat donné par le prof sans explications...

Votre aide serait la bienvenue !!
Par avance merci de votre aide,

Posté par
Razesre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:26

Bonsoir,

C'est quoi pour toi la limite de:   XF(X)=X\dfrac{2(X+2)}{(X^2+1)^2}  ?

Posté par
larrechre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:35

Bonsoir,

C'est pourtant correct me semble-t-il.

Tu peux ensuite faire X=0, tu en déduiras facilement a et c.

Posté par
Razesre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:37

larrech @ 17-11-2021 à 22:35

Bonsoir,

C'est pourtant correct me semble-t-il.

Tu peux ensuite faire X=0, tu en déduiras facilement a et c.

Ce n'est pas correct, car:

a+c =\lim_{X\to +\infty}X\dfrac{2(X+2)}{(X^2+1)^2}

Posté par
larrechre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:40

La limite n'est pas 0 ?

Posté par
liloudvbre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:51

Pour moi la limite de XF(X) = 0 car on a un polynôme de degré 4 au dénominateur et de degré 2 au numérateur.
Je trouve donc a + c = 0 et donc a = -c
Et lorsque j'évaluais ensuite pour X=0 je trouvais un nombre réel, alors que la correction proposée par le prof (ci-jointe) donnait a = c = i

Décomposition en éléments simples dans C

Posté par
GBZMre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 22:57

Bonsoir,

La formule de l'image est truffée d'erreurs.

Posté par
liloudvbre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:00

Quelles erreurs précisément ?

Posté par
larrechre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:04

Ce que je peux te dire c'est que si j'injecte ce que tu viens d'écrire dans Wolfram, il me retourne

\dfrac{2x(1-2x)}{(x^2+1)^2}

Par contre, il confirme bien que

\dfrac{2(x+)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-i}{x-i}+\dfrac{-i-2}{2(x-i)^2}+\dfrac{i}{x+i}+\dfrac{i-2}{2(x+i)^2}

Posté par
larrechre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:04

Je m'éclipse.

Posté par
Razesre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:05

Désolé,

Effectivement : a+c =\lim_{X\to +\infty}X\dfrac{2(X+2)}{(X^2+1)^2}=0

Posté par
GBZMre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:05

Il y a deux fois le dénominateur (X-i)^2.  Les numérateurs pour X-i et X+i devraient être conjugués, or ils sont égaux.

Posté par
larrechre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:07

\dfrac{2(x+\red{2})}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-i}{x-i}+\dfrac{-i-2}{2(x-i)^2}+\dfrac{i}{x+i}+\dfrac{i-2}{2(x+i)^2}

Posté par
Razesre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:11

a+c=0
Pour la suite, suit le conseil de larrech

larrech @ 17-11-2021 à 22:35

Tu peux ensuite faire X=0, tu en déduiras facilement a et c.

Posté par
liloudvbre : Décomposition en éléments simples dans C 17-11-21 à 23:11

D'accord donc c'est en fait une erreur de signe dans la correction ! Merci beaucoup !!
Je regarderai demain si je trouve bien les bonnes valeurs pour a et c


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