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Décomposition en facteurs irréductibles...

Posté par Yaya13 (invité) 19-03-05 à 09:12

Bonjour,

Je bloque sur quelque chose d'assez simple mais l'ayant vu en début d'année je ne me souviens plus exactement comment faire.
Il me faut décomposer en facteurs irréductibles X4+1 dans R[X] et C[X]

J'ai trouvé X4+1 = (X2-i)(X2+i)
Mais après je ne me souviens plus comment faire.
Merci d'avance pur votre aide.

Posté par
franzre : Décomposition en facteurs irréductibles... 19-03-05 à 10:09

sur {\mathbb C}[X]
X^2-i=X^2-e^{i\frac \pi 2} = \(X-e^{i\frac \pi 4}\)\(X+e^{i\frac \pi 4}\)

sur {\mathbb R}[X], on peut soit regrouper les termes conjugués précédents soit remarquer que :

X^4+1 = X^4+2X^2+1 -2X^2 = (X^2+1)^2-\(\sqrt 2 X\)^2 = (X^2-\sqrt 2 X +1)(X^2+\sqrt 2 X +1)

Posté par Yaya13 (invité)re : Décomposition en facteurs irréductibles... 19-03-05 à 11:05

Merci franz pour votre aide.
Mais j'ai encore une petite question. Pour X2+1 je dois faire comment?

Posté par
carrocelre : Décomposition en facteurs irréductibles... 19-03-05 à 13:11

Salut !

Pour X²+1, ce (tt polynome de degre superieur ou egal a 3 est factorisable en polynome de degre inférieurs ou egaux a 2) et justement tu sais que c'est pas le cas de ts le spolynomes de degre 2.

Pour reduire X²+1 ds C[X], tu peux voir assez facilement que i et -i sont racines evidentes de ce polynome donc tu peux le factoriser par X-i et X+i dc X²+1 = (X-i)(X+i)

A plus !!

Posté par
franzre : Décomposition en facteurs irréductibles... 19-03-05 à 17:49

X^2+i=X^2-e^{-i\frac \pi 2}
A toi de conclure.


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