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Décomposition en facteurs premiers

Posté par Profil Ramanujan 04-02-20 à 17:46

Bonsoir,

Je ne comprends pas le sens de cette remarque dans mon livre.
Soient (a,b) \in \N^{*} \times \N^{*}. On peut écrire :

a=p_1^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} \times p_r ^{\alpha_r} et b=p_1^{\beta_1} p_2 ^{\beta_2} \times p_r ^{\beta_r}
en utilisant les mêmes nombres premiers.
Il suffit de prendre pour cela les facteurs premiers du produit ab.

C'est quoi le rapport entre a et b ?

Même l'exemple suivant je ne comprends pas le rapport :

70007=7 \times 7 \times 11 \times 13=7^2 \times 11^1 \times 13^1

C'est qui a et b dans l'exemple ?

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 17:48

bonsoir
ben dans l'exemple tu n'as que a on va dire, puisque tu n'as qu'un seul nombre !

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 17:52

et soit b=154 par exemple
et là tu peux appliquer ton truc !

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 17:52

Du coup je n'ai pas compris le sens de la remarque.

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:01

ben écris ta décomposition de b
et ensuite fais ce qu'ils disent

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:04

bonjour

a=12=2231
b=45=3251

a=223150
b=203251

il est parfois pratique , par exemple pour les ppcm et pgcd () de forcer l'apparition des même facteurs premiers dans a et dans b

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:05

b=154=2 \times 7 \times 11

Je n'ai pas compris quoi en faire, quel est le but de cette remarque ?

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:07

matheuxmatou @ 04-02-2020 à 18:04

bonjour

a=12=2231
b=45=3251

a=223150
b=203251

il est parfois pratique , par exemple pour les ppcm et pgcd () de forcer l'apparition des même facteurs premiers dans a et dans b


Ah d'accord merci je viens de comprendre

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:07

matheuxmatou te l'a dit !
pour le a et b que j'ai choisis, tu sais l'écrire ?

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:08

(que 8 échanges ?... on progresse )

fais-le avec l'exemple de Malou

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:23

marrant...quand il s'agit de dire je comprends pas, ou je viens de comprendre, on a une réponse dans la minute qui suit
mais quand on demande une simple application numérique, y a plus personne ...

Posté par
etniopalre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:28

Un peu de chinois pour Ramanunu :

Soient
     1. k   pk la bijection croissante de * sur l'ensemble P des nombres premiers
     2.S l'ensemble des suites s : * *  nulles àpcr(à prtir d'un certain rang)

  Si s est la suite k 0 on pose f(s) = 1
      sinon  soit d(s)   * vérifiant s(d(s)) 0 et s(k) = 0 si k > d(s)  ; on désigne  alors  par f(s)  le produit des nombres   pks(k)  ( 1 k d(s) )
.
Le th de décomposition des nombres entiers > 0 en produit de nombres premiers dit que  f réalise une bijection de S sur * .

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 18:32

etniopal
t'exagères là ....

Posté par
alb12re : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 19:09

salut,
Tant de condescendance de la part de pédagogues laisse pantois...
@Ramanujan Courage !

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 19:10

alb12 faut avoir suivi les saisons précédentes !

Posté par
Ulmierere : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 19:25

En notant p_i le i-ème nombre premier (le premier d'entre eux étant 2), et pour tous n,i\in\N\times\N^\ast, \alpha(n,i) = \max\{k\in\N : p_i^k\mid n\}, on a pour tous a,b\in\N^2 :

ab = \prod_{i=1}^\infty p_i^{\alpha(a,i)+\alpha(b,i)}

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 19:29

alb12 un peu facile effectivement. ...
Ceux qui se sont frottés aux derniers sujets comprendront ...

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en facteurs premiers 04-02-20 à 23:37

et ne pas confondre "condescendance" avec "taquinerie caustique"... sachant que Rama n'est pas un élève de seconde mais quelqu'un qui a eu un bas scientifique et qui a suivi une prépa MP ...

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 12:28

Oui Etnopial et Ulmière vous m'avez assomé.

Rien compris mais bon je suis mon livre et j'essaie de comprendre les notions élémentaires.

Là c'est au dessus de mon niveau.

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 12:30

Après les notations d'Etnopial j'ai toujours du mal. Elles sont bizarres.

Mais je vais commencer à étudier les valuations p-adiques

Posté par
lionel52re : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 12:36

Alors Ramanujan tu as pas fait l'application numérique.

Développement en facteurs communs de 70007 et de 154?
Pgcd des 2 nombres?
Ppcm?

Posté par
Ulmierere : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 12:54

Y'a rien de sorcier dans mon post hein. Tu aurais préféré que j'écrive ab = \prod_{p\in\mathbb{P}} p^{v_p(a)+v_p(b)} ? C'est exactement la même chose

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 16:33

Peut être mais je vais doucement sinon j'assimile aucune notion.

7007= 7 \times 7 \times 11 \times 13
154=2 \times 7 \times 11

PGCD(7007,154)=7 \times 11=77

Donc PPCM(7007,154)=\dfrac{7007 \times 154}{77}=\boxed{14 014}

Posté par
lionel52re : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 16:46

Bon t'as pas complètement compris

7007 = 2^0 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1 \\ 154 = 2^1 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^0

On lit directement le pgcd et le ppcm en prenant le min et le max des puissances

PGCD(7007,154) = 2^0 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^0 = 77 \\ PGCD(7007,154) = 2^1 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1 = 14014

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 16:58

Je l'ai fait intuitivement.

Je suis en train d'étudier des propriétés sur la valuation p-adique pour l'instant comme v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)

Mais je vois la propriété en fin de page à laquelle vous semblez faire référence :

Si a=p_1 ^{\alpha_1} \cdots p_k ^{\alpha_k} et  b=p_1 ^{\beta_1} \cdots p_k ^{\beta_k}
a \wedge b= \prod_{i=1}^k p_i ^{\min(\alpha_i,\beta_i)}

Posté par
XZ19re : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 17:04

Alors  si a= p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}p_3^ {\alpha_3}
et b= p_1^{\beta _1}p_2^{\beta_2} p_4^ {\beta 4}
c'est quoi a\wedge b

Posté par
malou Webmasterre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 17:08

Ramanujan, je te rappelle que jusque aujourd'hui 12h54, on ne répondait qu'à ton 1er questionnement

Citation :
Il suffit de prendre pour cela les facteurs premiers du produit ab.

c'est toi qui a dérivé vers pgcd et ppcm, sans avoir écrit 70007 et 154 comme on le demandait en début de sujet
c'est Lionel qui a pris la peine de l'écrire

Posté par Profil Ramanujanre : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 17:50

XZ19 @ 05-02-2020 à 17:04

Alors  si a= p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}p_3^ {\alpha_3}
et b= p_1^{\beta _1}p_2^{\beta_2} p_4^ {\beta 4}
c'est quoi a\wedge b


a \wedge b=p_1 ^{\min(\alpha_1,\beta_1)} p_2 ^{\min(\alpha_2,\beta_2)} p_3^{\min(\alpha_3,0)} p_4^{\min(\beta_4,0)}  

Ainsi \boxed{a \wedge b= p_1 ^{\min(\alpha_1,\beta_1)} p_2 ^{\min(\alpha_2,\beta_2)} }

Posté par
XZ19re : Décomposition en facteurs premiers 05-02-20 à 19:27

Ok  bien sûr.


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