Niveau Licence Maths 1e ann

Décomposition en valeurs singulières

Posté par
Ennydra 19-11-17 à 18:35

Bonsoir

Calculer une décomposition en valeurs singulières de la matrice :

$A = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1\\ -1 & \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$

Je suis perdue !
J'ai appris que pour une matrice $A_{mn}$ , une décomposition en valeurs singulières s'écrivait : $U_{mm} S_{mn} V_{nn}^T$ avec :

Les colonnes de $U_{mm}$ sont les vecteurs propres orthogonaux de $AA^T$ .
Les colonnes de $V_{nn}$ sont les vecteurs propres orthogonaux de $A^T A$ .
La diagonale de $S_{mn}$ comporte les racines carrées des valeurs propres de U ou V.
Par colonne, l'ordre est toujours croissant, avec la valeur propre 0 en dernier.

Cette technique a toujours fonctionné, sauf là.

$AA^T = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ . Les valeurs propres de cette matrice sont 4 (multiplicité 2) et les vecteurs propres associés sont donc (1,0) et (0,1). Ils sont déjà orthogonaux.

Je note donc $U_{mm} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Ensuite $A^T A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Les valeurs propres sont 4 (multiplicité 2) et 0.
Les vecteurs propres qui leur sont associés sont : (1,0,1), (0,1,0) et (1,0,-1).
Orthogonalisés : $(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$ , $(0,1,0)$ et $(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})$ .

Je note donc $V_{nn} = V_{nn}^T = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$ et $S_{mn} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Or $A_{mn} \neq U_{mm} S_{mn} V^T_{nn}$ .
C'est pas étonnant puisque 4 est valeur propre double... Qu'est-ce qui cloche ? Je ne comprends pas comment faire cet exercice.

Merci d'avance pour toute aide

Posté par re : Décomposition en valeurs singulières 19-11-17 à 23:37

up !

Posté par re : Décomposition en valeurs singulières 20-11-17 à 13:05

Bonjour Ennydra.

Dans un tel cas, il vaut mieux aller au plus simple : tu cherches une matrice $X\in \mathcal O_3(\R)=(x_{i,j})_{i,j}$ telle que :

$I_2\begin{pmatrix}2 &0 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2x_{1,1} &2x_{1,2} &2x_{1,3} \\2x_{2,1} &2x_{2,2} &2x_{2,3} \end{pmatrix}=A = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1\\ -1 & \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$ .

Après calculs, il n'en vient qu'une : $X =\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}1 &\sqrt 2 &1\\ -1&\sqrt 2& -1\\ \sqrt 2&0 &-\sqrt 2\end{pmatrix} \\$

Posté par re : Décomposition en valeurs singulières 20-11-17 à 15:04

Bonjour jsvdb

Je vais retenir ceci, merci !

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