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Décomposition et composantes: unicité

Posté par
Prometheus
01-08-20 à 21:12

Bonjour,

Je cherche à démontrer que tout vecteur X du sous espace vectoriel V s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire de S1,S2,..., Sp , vecteurs constituants une base du sous-vectoriel V.

On sait que X= a1S1 + a2S2 + ... + apSp

Du coup je me disais avec une démonstration par l'absurde:
On peut supposer que X = b1S1 + b2S2 + ... + bpSp
Et du coup j'essaye d'exprimer b1S1 en fonction de a1S1, mais je ne vois pas comment faire.
Quelqu'un a des idées?

Posté par
bbjhakan
re : Décomposition et composantes: unicité 01-08-20 à 21:26

bonsoir
tu peux écrire l'égalité des deux expressions de X et penser à un argument de liberté

Posté par
carpediem
re : Décomposition et composantes: unicité 01-08-20 à 21:29

salut

que ce soit un espace vectoriel ou un sous-espace vectoriel il n'y a aucune différence et je ne vois pas l'intérêt de parler de sous ...

si tu veux l'unicité il suffit de considérer deux décompositions x = \sum_1^n a_ks_k = \sum_1^n b_k s_k et de montrer que \forall k  :  a_k = b_k

...

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