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Décomposition facteur simple

Posté par
enesusta 16-01-18 à 00:25

Salut !
J'ai un petit problème ^^"
J'ai la fraction rationnelle qui suit : (2X 3 + 10X 2 + X - 4) / ((X-1)(X+2)(X+1)2)

J'ai compris la méthode, où on multiplie les deux membres de l'égalité par le dénominateur, mais je n'arrive pas à mettre en place la formule de base comme dans l'exemple indiqué.
Je ne sais pas lequel des deux est juste ou si les deux sont faux ?
Et dans le cas où c'est la première forme qui est juste, quelle est la méthode pour résoudre c et d ?

Merci d'avance !

** image supprimée **conformément à Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Posté par
Razesre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 00:59

Bonsoir,

Tu as:
\dfrac{2X^{3}+10X^{2}+X-4}{(X-1)(X+2)(X+1)^{2}}=\dfrac{a}{X-1}+\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{cX+d}{(X+1)^{2}}

Multiplions par (X-1)

\dfrac{2X^{3}+10X^{2}+X-4}{(X+2)(X+1)^{2}}=a+(X-1)\left (\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{cX+d}{(X+1)^{2}} \right ); Avec X=1, tu trouveras a

...

Posté par
enesustare : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 01:32

Razes @ 16-01-2018 à 00:59

Bonsoir,

Tu as:
\dfrac{2X^{3}+10X^{2}+X-4}{(X-1)(X+2)(X+1)^{2}}=\dfrac{a}{X-1}+\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{cX+d}{(X+1)^{2}}

Multiplions par (X-1)

\dfrac{2X^{3}+10X^{2}+X-4}{(X+2)(X+1)^{2}}=a+(X-1)\left (\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{cX+d}{(X+1)^{2}} \right ); Avec X=1, tu trouveras a

...


Et donc, c'est la 2è forme qui est juste ? J'ai bien compris la base pour a et b, mais pour c et d ?

Posté par
Pirhore : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 07:36

Bonjour,

Razes: perso j'aurais plutôt posé   ...=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{(x+1)^2}

Posté par
etniopalre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 08:26

F := \dfrac{2X^{3}+10X^{2}+X-4}{(X-1)(X+2)(X+1)^{2}}
On sait qu'il existe un seul  (a,b,c,d) 4  tel que :
F =\dfrac{a}{X-1}+\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{cX+d}{(X+1)^{2}}

..a est trouvable  en considérant (X - 1)F   dans laquelle on remplace X par 0 .
..b est trouvable de la même façon .
..Pour avoir  c et d  
.en remplaçant X par 0 on obtient  :  -a + b/2 + d = 2  d'où d .
.Si on multiplie  par X  et qu'on " fait tendre X vers +  " on obtient   : a + b + c = 2 d'où c  .  

Posté par
etniopalre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 08:32

Si l'introduction de la topologie effarouche ( si par exemple on considère que 1 , 2 , 10 , 4 sont des éléments du corps /19 )   il n'y a qu'à considérer la fraction rationnelle F(1/X) et de trouver son résidu en 0  de 2 façons .

Posté par
Pirhore : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 08:46

bonjour etniopal: quelque chose m'échappe, pourquoi ne peut-on pas utiliser la décomposition que je proposais?

merci d'avance

Posté par
etniopalre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 08:49

Mais tu peux !!

Posté par
Pirhore : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 09:06

quel est l'intérêt d'utiliser l'autre décomposition alors puisque quand il s'agira de trouver une primitive ce sera "moins simple"

Posté par
etniopalre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 10:06

Aucun !
J'ai pris celui proposé par Razes pour trouver son (a,b,c,d) mais avec la même méthode tu pourras trouver ton  (a,b,c,d)  à toi .

Posté par
Pirhore : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 10:40

oui çà je savais

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition facteur simple 16-01-18 à 11:10

Bonjour
si le but est de trouver des primitives, peu importe la forme. Si la question est "décomposer en éléments simples", la forme de Razès comporte une fraction qui n'est ni un élément simple de première espèce (type \dfrac{A}{(X-a)^k} ) ni un élément simple de seconde espèce (type \dfrac{BX+C}{((X^2+bX+c)^k} avec b^2-4c < 0) ...
la seule réponse possible dans ce dernier cas est

Pirho @ 16-01-2018 à 07:36

Bonjour,

Razes: perso j'aurais plutôt posé ...=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{(x+1)^2}


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