euuuhhhh  

Mais, mais si, ne va pas me décourager les troupes tout de suite
Tout le monde peut vraiment répondre pour les premières valeurs de (enfin à supposer qu'on connait les symboles somme et produit c'est vrai)

Ex : on cherche les décompositions pour sous forme d'addition avec des entiers positifs et strictement croissants, il y en a deux uniquement :
ce qui donne pour produit
ce qui donne pour produit
Donc la première décomposition est celle qui maximise le produit et on vient de répondre pour

A vous

C'était pas un signe de découragement, c'était un indice

Bonjour Vassilia

si j'ai bien compris le probleme pour par exemple n = 6
on peut former la somme 4+2 = 6   et le produit qui est maximal avec 4*2=8 ?  c'est bien ca ?

l'idée serait donc de pouvoir ecrire toutes  les "partitions d'un entier"  et retenir celle qui maximise le produit

Et bien le moins que l'on puisse dire c'est que ton indice ne divulgache (spoil pour les anglophones) pas trop la question ty50847, même moi, je vois difficilement où tu veux en venir.

Voilà c'est ça flight, tu viens de résoudre le cas .
Bien joué, il n'y a plus qu'à continuer...

Désolée faute de frappe dans ton pseudo ty59847

Tu ne vois pas où je veux en venir ?

Je crois me souvenir de cet exercice, mais peut-être que je me trompe.  Et je n'ai fait aucun calcul pour vérifier, c'est juste un vieux souvenir.
Mais à l'époque, j'avais pensé à une suite pour cet exercice, alors je te la propose.

A partir d'un nombre décimal, avec maximum 2 chiffres après la virgule  (exemple 23,45 ou 5,67  ou ...) trouver comment décomposer ce nombre en somme de plusieurs décimaux, également avec 2 chiffres après la virgule, de telle sorte que le produit de ces nombres soit maximum.

Pareil avec des nombres avec 3 chiffres après la virgule, ou plus ...

En fait, après réflexion, mon indice n'est intéressant que pour ces variantes, il est sans intérêt pour la version que tu proposes.

Bonjour,

on notera que la condition d'inégalité stricte sur les a_i
définit une partition en sommants inégaux

pour un n donné, le nombre q(n) de telles partitions à examiner est donné pae la suite A000009 de l'OEIS (encyclopedie des suites)
à partir de n = 0 :
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, etc

ainsi q(6) = 4 :
6 = 6
6 = 5+1
6 = 4+2
6 = 3+2+1
la "meilleure" au sens de l'exo est bien 4+2
mais il fallait examiner les autres pour en être sur

pour n = 7, q(n) = 5
7
6+1
5+2
4+3
4+2+1
la meilleure étant 4+3 avec 4*3 = 12

aller plus loin ainsi (hors théorie) va nécessiter d'avoir un programme qui engendre les partions en sommants inégaux d'un entier

on trouve facilement (tout fait) un programme qui génère les partitions (tout court) d'un entier
donc avec n=6 :
6 = 6
6 = 5+1
6 = 4+2
6 = 4+1+1
6 = 3+3
etc (11 partitions au lieu de 4)
le maximum étant cette fois avec 6 = 3+3 qui donne le produit 3*3 = 9

modifier ce programme tout fait pour qu'il ne garder que celles en sommants inégaux semble une perte d'efficacité.
mais bon ...
cela donne pour n = 12 :
[1, 2, 3, 6], produit = 36
[1, 2, 4, 5], produit = 40
[1, 2, 9], produit = 18
[1, 3, 8], produit = 24
[1, 4, 7], produit = 28
[1, 5, 6], produit = 30
[1, 11], produit = 11
[2, 3, 7], produit = 42
[2, 4, 6], produit = 48
[2, 10], produit = 20
[3, 4, 5], produit = 60 ****
[3, 9], produit = 27
[4, 8], produit = 32
[5, 7], produit = 35
[12] produit = 12
(q(12) = 15 comme il se doit cf OEIS)

le maximum est donc 3*4*5 = 60

on commence à voir se dégager une règle pour éliminer d'office certaines partitions "inintéressantes"

Ohh, je viens de relire la décomposition proposée pour 6, et je vois qu'on veut une série de nombre tous différents 2 à 2 ...
J'ai tout faux. L'exercice auquel je pensais permettait d'utiliser plein de fois le même nombre si utile.

Il est précisé que a1<a2<a3<....

Moyennant un programme.. Sinon. je ne vois pas comment faire autrement 😊😊😊

Très bonne idée de faire un programme comme mathafou pour trouver la meilleure décomposition mais ensuite le but est de donner une réponse explicite pour tout .

Même nos spécialistes en programmation de ce forum (et d'ailleurs) vont finir par être bien embêtés si devient trop grand.

A partir d'un entier n, je commence par chercher quel est l'entier i tel que
Cet entier est  i= PartieEntière( racine(2n) -1 )  ... ou quelque chose du genre.
Ensuite , partant de ce nombre , j'ai 2 cas.
Soit la somme donne exactement , et c'est fini.
Soit la somme donne un nombre strictement inférieur à n.
Dans ce cas, je calcule
Et la solution est la liste (2,3,4, 5 ... i, i+1 ),   en excluant de cette liste le nombre D.

Exemple pour 10000, la solution est la somme de tous les nombres de 2 à 141, en excluant le nombre 10.

Tu n'es pas loin du tout ty59847 c'est presque ça mais tu vas avoir un problème si , essayons pour


Donc je calcule
Arf catastrophe, je ne peux pas enlever qui n'est pas dans la liste

PS : il restera éventuellement à faire la démonstration que c'est bien ta décomposition qui donne le max

Bien vu. Dans ce cas, ce n'est pas (i+1) qu'on va choisir comme plus grand terme, mais (i+2) ; et on retire donc le 2.

Une démonstration.
-Lemme 1-
Le nombre 1 est un poids mort ; toute série qui contiendrait le nombre 1 est forcément optimisable, en remplaçant par exemple le couple par   où est le plus grand terme de la liste, et donc on a l'assurance de ne pas générer de doublon en insérant

-Lemme 2-
On a toujours intérêt à remplacer un nombre p par le couple avec

-Lemme 3-
Si a<b<c<d et ad=bc, on a toujours intérêt à remplacer (a,d) par (b,c)

Avec tous ces résultats intermédiaires , on sait quoi ...
On veut avoir le plus de nombres possibles dans notre liste, et donc des nombres le plus petit possible (hormis 1)

Faudrait formaliser tout ça, mais on a toutes les pièces du puzzle.

On peut jouer ensuite en se posant quelques questions.
Décomp(4)=(4) ; prod(4)=4
Decomp(5)=(2,3) ; prod(5)=6
Decomp(6)=(2,4)  : prod (6)=2*4=8
Decomp(7) = (3,4) ; prod(7)=12
Decomp(8) = (3,5) : prod(8)= 15
Decomp(9) = (2,3,4) ; prod(9)=24
Decomp(10)=(2,3,5) ; prod(10)=30
Decomp(11)=(2,4,5) ; prod(11)=40
Decomp(12)=(3,4,5) ; prod(11)=60
Decomp(13)=(3,4,6) ; prod(11)=72
Decomp(14)=(2,3,4,5) ; prod(11)=120

etc..
Je n'ai jamais été très doué pour chercher sur le site de l'OEIS ; on s'attend à y trouver cette suite, mais je ne la vois pas.

La courbe obtenue, elle est grossièrement de type exponentiel. Elle est croissante : même s'il y a des irrégularités, on peut montrer qu'elle est croissante.

Quand on passe de 5 à 7 ou de 7 à 9 ... on fait des multiplications par 2, mais ensuite, ça se tasse, quand on passe de 9 à 11 ou de 11 à 13, ça ralentit.

Peut-on trouver un équivalent , un encadrement, pour n très grand  ?

On a des points qui marchent bien (ici on voit que pour n=9, le résultat 24 est une très belle performance). Les points qui marchent bien, ce sont les points (2+3+4,   2+3+4+5,   2+3+4+5+6 , etc)
Les images de ces points , ce sont tous les

Mais les autres, ceux qui sont vraiment en-dessous du nuage de points, comment les caractériser ... il y a de quoi s'amuser avec cette suite.

>Vassillia

Je ne suis pas familiarisé avec....

Oui c'est ça dpi sauf que tu dois trouver la décomposition qui permet de maximiser le produit et pour 15 on peut faire mieux, à toi de trouver comment.

A ce stade, on peut dire que ty59847 a donné largement plus qu'un indice, il y a tous les éléments y compris pour la démo.
La suite OEIS

avec

2+3+4+6 =15---produit 144

Je me doutais bien que l'OEIS donnerait cette suite, mais ça m'énerve, je suis totalement incapable de trouver quoi que ce soit sur ce site quand j'essaie.
Pour 10000, j'avais fait le calcul avec Excel, et j'avais bien  189814375907617 , mais avec plein de 0 derrière. Pas si mal quand même.

dpi

Pour 15.
2+3+4+5, ça donne 14, plus petit que 14.
J'arrive à décomposer 14 en somme de 4 entiers différents, en excluant 1.
Donc, pour les nombres plus grands que 14, c'est sûr, on va trouver une partition avec une somme de 4 entiers, distincts 2 à 2, et tous plus grands que 1. Et notre gâteau, si on le coupe en 4 parts plutôt qu'en 3, on a la certitude que ce sera mieux. Plus on a de parts, mieux c'est.
Le premier objectif, c'est de faire beaucoup de petites parts, plutôt que quelques grosses parts.
15, c'est 2+3+4+6.
Et c'est ce découpage là qui donne le meilleur score 2x3x4x6=144.
C'est d'ailleurs la seule façon de découper 15 en 4 nombres distincts, différents de 1.

16, on peut le décomposer en 2+3+4+7, mais il y a un peu mieux, 2+3+5+6 donne le meilleur résultat.
Ce sont les 2 seules façons de découper 16 en somme de 4 entiers distincts, différents de 1.

J'ai testé de 15 à 20

 Cliquez pour afficher

15   2+3+4+6       p(15) 144
16    2+3+4+7      p(16) 168
17    2+4+5+6    p( 17) 240
18     2+4+5+7     p(18) 280
19    3+4+5+7      p(19) 420
20    3+4+6+7      p(20)  504

2 et 3 sont de bons débuts pour les petits nombres
Ensuite on a intérêt à densifier vers <n/3

J'ai cherché 30
2+3+4+6+7+8     p(30) 8064  

Merci
J'ai revu mon tableur.

 Cliquez pour afficher

On voit que le nombre de termes et donc de facteurs augmente
par exemple pour n=35
on a  2 +3+4+5+6+7+8--->p(35) 40320

Dpi, le lien donné par Vassilia donne les résultats pour les 10000 premiers entiers , ici :

Merci,

J'étais allé jusqu'à 40
mais au moins ,j'ai la décomposition
A noter que 3 au début permet la bonne valeur dans quelques cas.

 Cliquez pour afficher

.

Et oui, tu as trouvé comment décomposer judicieusement, bien joué dpi !

Il y a les nombres que je vais appeler les nombres 'triangulaires'...
Ce sont les nombres 14, 20, 27, 35 ...
Ce sont les premiers nombres de chaque 'taille'

14 = 2+3+4+5
20 = 2+3+4+5+6
27 = 2+3+4+5+6+7
35 = 2+3+4+5+6+7+8
etc
Je les appelle 'triangulaires', c'est quasiment la même série que les nombres triangulaires classiques. Avec juste une unité de décalage.
Et systématiquement, les 2 nombres qui précèdent ces nombres triangulaires se décomposent sans le nombre 2 (33 et 34 par exemple, on n'utilise pas le 2)
Et ce sont les seuls dans ce cas.

On a donc une logique assez facile à lire sur le tableau :
- quelques nombres quelconques.
- 2 nombres dont la décomposition ne comporte pas de 2
- un nombre triangulaire
Et on repart sur quelques nombres quelconques ...

Et quand je dis quelques nombres quelconques, on peut préciser un peu, le nombre de lignes est connu : c'est 5 lignes de 28 à 32 , 6 lignes de 36 à 41, puis 7 lignes , puis 8 lignes etc etc indéfiniment.

>ty59847
Ta théorie des nombres triangulaires permet d'anticiper quelques
résolutions .
En effet on progresse de raison c+1  pour les chiffres et de raison  n+c+1 pour les nombres,je m'explique :
n=14   2345
n=20    23456             20-14=6
n=27    234567          27-20=7
n=35    2345678        35-27=8
c'est  évident  par construction...
donc:
n=44   n=54  n= 65  n= 77 n= 90 sont triangulaires
et on peut donc facilement trouver leur successeur.

exemple  : n 90 =  2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
avec p(90) =6 227 020 800
n91                      il suffit de remplacer 13 par 14
donc p(91) = 6  706 022 400

Tout à fait.
Ca, et la suite de l'algorithme, c'était dans mon message de mercredi, 13h21.
A corriger avec le message de Vassilia 20 minutes plus tard.

Vassilia   !  ouh ouh , tu m'entends ?
L'indice que je donnais ici, il était hors sujet.
Mais dans la variante que j'ai postée   Décomposition Judicieuse n°2, il est utilisé ... et il va bientôt sortir du bois.

Désolée ty59847, j'ai suivi les énigmes de loin depuis ce week-end à cause d'activités IRL mais tu es bon en teasing, j'ai hâte de voir ça !!!