Oui, erreur de recopie
J'ai sorti mon savon
Bizarrement, je n'ai pas de photo de n=5
Pour n=7, il y a au moins deux situations stables: une ou deux bulles au centre. Pareil pour n=9, deux ou trois bulles au centre.
Mais il y a de la friction, des imperfections, c'est la vie réelle Du coup les solution optimales est peut-être tout autre
Je suis content de retrouver les solutions pour n=3 et 4
le problème avec les bulles de savon est que la contrainte "aires égales" n'est pas prise en compte et qu'il s'agit juste de "longueur minimale",
longueur du problème = l'aire minimale du film,
l'aire du problème = le volume des bulles
avec une contrainte différente concernant les pressions égales dans les bulles.
on a donc un problème apparenté, mais à priori différent.
il est tout de même compréhensible que les solutions (!) soient semblables,
j'ai tout de même dit une bêtise
"les pressions égales"
si les pressions sont égales le film est plan.
(la pression est liée à la courbure du film)
il n'empêche que les volumes ne sont pas à priori égaux.
J'avais plutôt pensé à des liquides non miscibles en quantités égales même s'il est clair que les réactions physiques aux frontières risquent de perturber les choses . D'un point de vue purement mathématique on peut imaginer des billes en n couleurs , en nombre égal et qui repoussent chaque adversaire de la même façon et attendre de voir se qui se passe . On pourrait aussi simuler avec des gros calculateurs , il faudrait peut-être demander à Chat GPT
Imod
Vous êtes sûrement passés à autre chose mais moi j'ai rêvé de bulles toute la semaine
J'ai écrit un simulateur de bulles. C'est loin d'être parfait mais j'ai déjà quelques résultats:
Le code se disponible ici:
Je n'ai pas implémenté les billes de Imod mais suit parti des dévelopement mathématiques présentés ici. Du coup, pas besoin de gros calculateurs
Pour l'instant il faut construire un modèle puis la simulation s'occupe de trouver l'équilibre... Quand tout va bien
On peut cliquer sur un arc pour y créer une nouvelle bulle.
Il y a deux mécanismes implémentés:
- Chaque noeud est en tension égale pour chacun des 3 arcs s'y rattachant. Du coup, si les 3 arcs ne sont pas en équilibre (angle différent de 120°) le noeud va être attiré vers ce déséquilibre.
- Chaque arc essaie d'égaliser l'aire des bulles de chaque côté. S'il y a une différence, l'arc va se courber vers la bulle de plus grande aire.
Il y a des règles particulières pour les noeuds et arcs sur les bords qui les poussent à retourner vers un cercle unitaire.
La représentation des différents éléments:
Les noeuds:
Chaque noeud a une position représentée par un nombre complexe.
Les arcs:
Chaque arc est représenté par un noeud de départ , un noeud d'arrivée
et l'angle
entre l'arc et sa corde. L'angle est positif dans le sens horaire. Et
L'opposé d'un arc a les noeuds inversés et l'angle opposé. De façon a changer le sens de l'arc mais pas sa trajectoire.
Quelques mesures:
- L'aire d'un arc est donnée par . Le premier terme étant l'aire du secteur
et le deuxième l'aire du triangle
.
- La longueur d'un arc est donnée par
- Le centre de l'arc est donné par
- Le rayon de l'arc est donné par
Cette définition permet d'avoir une continuité pour et de définir des arcs positifs et négatifs. Ce que n'aurait pas permis une définition utilisant le centre de rotation (il part à l'infini pour
).
Quand est petit, il y a quand même des problèmes car
s'annule. Le centre n'est plus défini et le rayon devient infini. On peut tout de même calculer l'aire et la longueur:
-
-
Malheureusement, les cercles complets ne sont pas représentables. A la limite ,on a et
. Mais ça pose des problèmes lors de la simulation.
Les bulles
Chaque bulle est représentées par un ensemble d'arcs ordonnés dans le sens trigonométrique.
Quelque mesures:
- L'aire d'une bulle est donnée par l'aire du polygone formé par les noeuds plus la somme des aires des arcs.
- La longueur d'une bulle est donnée par la somme des longueurs des arcs.
- Le centre d'une bulle est donnée par l'isobarycentre des noeuds.
Une bulle devrait ne devrait pas s'auto-intersecter. Celà ne peut arriver que si certains arcs on une aire négative.
Je n'ai pas implémenté cette contrainte et toute aide est bienvenue
Une bulle est représentable par la liste circulaire de ses noeuds et la liste des angles des arcs entre ces noeuds.
Les mousses
Chaque mousse est définie par un ensemble de bulles tel que:
- Chaque arc a son opposé. Ces deux arcs appartiennent à des bulles différentes.
- Chaque noeud a 3 arcs sortants et 3 arcs rentrants
- Il existe une seule bulle avec une aire négative. Cette bulle entoure toutes les autres. Elle représente le récipient.
Quelque mesures:
- L'aire totale d'une mousse est toujours 0. L'aire négative du récipient étant l'opposée de la somme des aires des autres bulles.
En notant le nombre de noeuds,
le nombre d'arcs et
le nombre de bulles (sans le récipient), on a:
-
-
La simulation
Le but est de simuler le comportement d'une mousse.
Le récipient
Le récipient forme un cercle unitaire.
Donc on a pour tout noeud appartenant au récipient: .
Et pour tout arc appartenant au récipient:
La tension aux noeuds
Pour chaque arc sortant, on a une tension donnée par
Et chaque arc entrant:
On considère que le système est assez visqueux pour que la vitesse de déplacement (et non l'accélération) soit proportionnelle à la tension totale.
Avec , l'intervale de temps entre deux steps. Et
un coefficient de vitesse.
La pression aux arcs
On peut montrer que pour des bulles de quelques centimètres la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la bulle est donnée par avec
le rayon de la bulle et
la tension surfacique.
Il est montré expérimentalement ici que la
pour des bulles de savon. La différence de pression est de l'ordre de 10 Pa à comparer avec 1 atm = 101325 Pa. Le volume des bulles ne change donc pratiquement pas à cause de leur interface. Et on peut considérer qu'elles sont conservées.
C'est encore plus vrai pour des bulles en 2D (coincées entre deux plaques rapprochées):
La force due à la pression est donnée par . La force aux noeuds est donnée par
. On a donc
indépendamment du rayon de l'arc.
A l'équilibre la pression doit être nulle et les aires conservées.
On a . Pour
petit,
.
Avec , l'intervale de temps entre deux steps.
un coefficient de vitesse. Et
l'écart d'aire de la bulle.
On a une pression identique dans tout le récipient. Ce qui donne . Avec
l'aire de la bulle
sous une pression de 1 atm. Et donc
Dans le cas de bulles identiques dans un cercle unitaire celà se simplifie en . Avec
le nombre de bulles (sans le récipient).
Inversion de noeuds
Lorsque deux noeuds rentrent en collision, l'arc entre les deux disparait et est remplacé par un arc perpendiculaire.
La collision peut être détectée par le produit scalaire des vecteurs AB avant et après déplacement pour chaque arc.
Cette inversion est stable, les noeuds qui se rapprochent sont tranformés en noeuds qui s'éloignent.
Les bulles deviennent
Cette inversion n'est pas encore implémentée à l'heure d'écrire ces lignes.
Quel courage !!!
La physique ou la nature fait le travail sans réfléchir et à une vitesse qui nous dépasse . J'essaie toujours de réfléchir à une expérience qui illustrerait le problème et notamment le changement d'état que tu évoques . Il me semble qu'on pourrait comprimer des ballons de baudruche identiques dans un cylindre de rayon extensible . Le problème est original mais assez naturel je serais surpris qu'il n'ait pas déjà été étudié .
Une question tout de même : pourquoi la physique limiterait la longueur de la ligne de contact ? D'ailleurs dans l'expérience que j'évoque la ligne se réduit aux sommets d'un polygone .
Imod
J'ai fait l'expérience en faisant des bulles de savons à l'aide d'une seringue (volume sous 1atm connu).
Puis j'ai mis une plaque dessus.
Le problème de la plaque c'est que le volume total des bulles et du récipient fermé doivent correspondre. Sinon on a des bulles qui s'enfuient lorsqu'on ferme le récipient.
L'idée d'un cylindre de taille variable est pas mal mais me semble difficilement réalisable avec des bulles de savon.
Les ballons de baudruche sont légèrement différents: La tension surfacique change avec l'étirement de la peau. Et la peau va frotter contre les parois supérieure et inférieure au lieu de glisser librement.
La physique minimise les lignes de contact car elle a tendance à minimiser l'énergie du système. Les molécules d'eau ont moins d'énergie potentielle quand elle sont entre elles plutôt qu'à l'interface avec l'air. Il y a cependant des minima locaux.
Je ne vois pas le polygone dont tu parles. C'est le polygone entre le nœuds de mes bulles?
Le sujet de la simulation des bulles à probablement déjà été étudié. Je n'ai cependant pas trouvé de telle simulation. Mais je n'ai pas cherché beaucoup
Est ce que mon calcul de est correct ?
Ça m'arrange bien d'avoir une pression indépendante de l'angle. Mais j'ai un doute.
Je m'attendais à avoir une expression en comme en 3D.
Je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement cependant
Je n'ai aucune compétence pour contrôler ton résultat , peut-être Mathafou ? Pour les ballons , je parlais d'un polygone certainement maladroitement , je voulais signifier qu'il fallait exercer une pression extrême et qu'on peut difficilement imaginer par exemple un point de contact avec trois arcs .
Imod
La simulation (suite)
Contact de deux arcs
Assez similaire à l'inversion de noeuds, le contact de deux arcs produit deux noeuds et un nouvel arc. La bulle initialement entre les deux arcs est scindée en deux.
La détection de ce contact revient au problème d'auto-intersection des bulles. Pour lequel je n'ai pas encore de solution.
Une idée serait pour chaque bulle vérifier les intersections entre les arcs deux à deux. Ce qui se réduirait à une intersection entre cercles puis vérification que ces intersections sont entre les noeuds de l'arc.
Il est à noter que c'est la première fois que le nombre de bulles change!
Il est possible cependant que la bulle scindée en deux soit encore reliée par l'extérieur. C'est le cas pour une bulle incluse dans une autre.
Les bulles deviennent
avec potentiellement la deuxième et la quatrième bulle qui n'en sont qu'une.
On a aussi le cas où une bulle s'auto intersecte et crée une bulle incluse.
Il devient compliqué de suivre tous les cas particulier (Ce n'est pas encore implémenté
).
Actions
Creation de bulles
On peut créer une bulle seule. Une bulle dans un arc. Ou une bulle dans un noeud.
De ces trois bulles, seule la dernière est stable. Les deux autres sont métastable.
La bulle seule, va éventuellement rencontrer un arc et par la transformation de contact d'arcs va donner la bulle dans un arc.
La bulle dans un arc va éventuellement glisser le long de l'arc et rencontrer un noeud. Par l'inversion de noeuds, elle va donner une bulle dans un noeud.
Une bulle seule n'est pas représentable avec des noeuds qui ont 3 arcs entrant et 3 arcs sortant
Pour une bulle dans un arc, devient
Et pour une bulle dans un noeud, devient
Destruction d'une bulle
Une bulle ne peut pas être détruite seule, toutes les bulles adjacentes vont être fusionnées en une seule bulle.
Pour une bulle entourée de n bulles, 2n noeuds disparraissent, (8-2)n arcs disparaissent et n+1-1 bulles disparraissent. Ça devient vite compliqué à suivre
Destruction d'un arc
Lorsqu'un arc est détruit 2 noeuds disparraissent, (10-4) arcs disparraissent et (2-1) bulles disparraissent.
C'est beaucoup plus simple à suivre
Les bulles deviennent
Destruction d'un noeud
Comme pour une bulle, un noeud ne peut pas être détruit seul. Les 3 bulles adjacentes sont fusionnées en une seule.
4 noeuds disparaissent, (18-6) arcs disparaissent et (3-1) bulles disparaissent.
Encore une fois, c'est compliqué.
Cependant la destruction de noeud et de bulle peut être reduite à plusieurs destructions d'arc. Et c'est ce qui se passe en réalité, la mebrane devient fine et fini par lâcher.
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