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Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 14-05-24 à 09:39

Oui, erreur de recopie

L = 4a+4b \approx 4.88997199712512

J'ai sorti mon savon

découpe d\'un disque

Bizarrement, je n'ai pas de photo de n=5
Pour n=7, il y a au moins deux situations stables: une ou deux bulles au centre. Pareil pour n=9, deux ou trois bulles au centre.
Mais il y a de la friction, des imperfections, c'est la vie réelle Du coup les solution optimales est peut-être tout autre

Je suis content de retrouver les solutions pour n=3 et 4

Posté par
mathafou Moderateur
re : découpe d'un disque 14-05-24 à 10:33

le problème avec les bulles de savon est que la contrainte "aires égales" n'est pas prise en compte et qu'il s'agit juste de "longueur minimale",
longueur du problème = l'aire minimale du film,
l'aire du problème = le volume des bulles
avec une contrainte différente concernant les pressions égales dans les bulles.

on a donc un problème apparenté, mais à priori différent.
il est tout de même compréhensible que les solutions (!) soient semblables,

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 14-05-24 à 11:04

En effet

Posté par
mathafou Moderateur
re : découpe d'un disque 14-05-24 à 11:46

j'ai tout de même dit une bêtise

"les pressions égales"
si les pressions sont égales le film est plan.
(la pression est liée à la courbure du film)
il n'empêche que les volumes ne sont pas à priori égaux.

Posté par
Imod
re : découpe d'un disque 14-05-24 à 12:05

J'avais plutôt pensé à des liquides non miscibles en quantités égales même s'il est clair que les réactions physiques aux frontières risquent de perturber les choses . D'un point de vue purement mathématique on peut imaginer des billes en n couleurs , en nombre égal et qui repoussent chaque adversaire de la même façon et attendre de voir se qui se passe .  On pourrait aussi simuler avec des gros calculateurs , il faudrait peut-être demander à Chat GPT

Imod

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 19-05-24 à 15:58

Vous êtes sûrement passés à autre chose mais moi j'ai rêvé de bulles toute la semaine
J'ai écrit un simulateur de bulles. C'est loin d'être parfait mais j'ai déjà quelques résultats:

découpe d\'un disque

Le code se disponible ici:

Je n'ai pas implémenté les billes de Imod mais suit parti des dévelopement mathématiques présentés ici. Du coup, pas besoin de gros calculateurs

Pour l'instant il faut construire un modèle puis la simulation s'occupe de trouver l'équilibre... Quand tout va bien

On peut cliquer sur un arc pour y créer une nouvelle bulle.

Il y a deux mécanismes implémentés:
- Chaque noeud est en tension égale pour chacun des 3 arcs s'y rattachant. Du coup, si les 3 arcs ne sont pas en équilibre (angle différent de 120°) le noeud va être attiré vers ce déséquilibre.
- Chaque arc essaie d'égaliser l'aire  des bulles de chaque côté. S'il y a une différence, l'arc va se courber vers la bulle de plus grande aire.

Il y a des règles particulières pour les noeuds et arcs sur les bords qui les poussent à retourner vers un cercle unitaire.

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 19-05-24 à 18:28


La représentation des différents éléments:

Les noeuds:
Chaque noeud a une position représentée par un nombre complexe.

Les arcs:
découpe d\'un disque
Chaque arc est représenté par un noeud de départ A, un noeud d'arrivée B et l'angle \alpha entre l'arc et sa corde. L'angle est positif dans le sens horaire. Et \alpha \in ]-\pi;\pi[

L'opposé d'un arc a les noeuds inversés et l'angle opposé. De façon a changer le sens de l'arc mais pas sa trajectoire.

Quelques mesures:
- L'aire d'un arc est donnée par s =|AB|²(\frac{\alpha}{sin(\alpha)^2}-\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}) . Le premier terme étant l'aire du secteur ACBet le deuxième l'aire du triangle ABC.
- La longueur d'un arc est donnée par l=|AB|\frac{\alpha}{sin(\alpha)}
- Le centre de l'arc est donné par C=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}
- Le rayon de l'arc est donné par r=\frac{|AB|}{2sin(\alpha)}

Cette définition permet d'avoir une continuité pour \alpha = 0 et de définir des arcs positifs et négatifs. Ce que n'aurait pas permis une définition utilisant le centre de rotation (il part à l'infini pour \alpha = 0).

Quand \alpha est petit, il y a quand même des problèmes car sin(\alpha) s'annule. Le centre n'est plus défini et le rayon devient infini. On peut tout de même calculer l'aire et la longueur:
- s \approx |AB|²\frac{2\alpha}{3}
- l \approx |AB|

Malheureusement, les cercles complets ne sont pas représentables. A la limite ,on a A=B et \alpha = \pm \pi. Mais ça pose des problèmes lors de la simulation.

Les bulles
découpe d\'un disque
Chaque bulle est représentées par un ensemble d'arcs ordonnés dans le sens trigonométrique.

Quelque mesures:
- L'aire d'une bulle est donnée par l'aire du polygone formé par les noeuds plus la somme des aires des arcs.
- La longueur d'une bulle est donnée par la somme des longueurs des arcs.
- Le centre d'une bulle est donnée par l'isobarycentre des noeuds.

Une bulle devrait ne devrait pas s'auto-intersecter. Celà ne peut arriver que si certains arcs on une aire négative.
Je n'ai pas implémenté cette contrainte et toute aide est bienvenue

Une bulle est représentable par la liste circulaire de ses noeuds et la liste des angles des arcs entre ces noeuds.

Les mousses
découpe d\'un disque
Chaque mousse est définie par un ensemble de bulles tel que:
- Chaque arc a son opposé. Ces deux arcs appartiennent à des bulles différentes.
- Chaque noeud a 3 arcs sortants et 3 arcs rentrants
- Il existe une seule bulle avec une aire négative. Cette bulle entoure toutes les autres. Elle représente le récipient.


Quelque mesures:
- L'aire totale d'une mousse est toujours 0. L'aire négative du récipient étant l'opposée de la somme des aires des autres bulles.

En notant n le nombre de noeuds, a le nombre d'arcs et b le nombre de bulles (sans le récipient), on a:
- n=2(b-1)
- a=3n = 6(b-1)

Posté par
mathafou Moderateur
re : découpe d'un disque 19-05-24 à 20:04

super !
(mais pas encore essayé)

cela rejoint un simulateur de réseau de Steiner ( = bulles sans courbure) vu ici :
simulateur
hélas il ne marche que au coup par coup : pour modifier quoi que ce soit on doit refaire tout au début ...

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 20-05-24 à 12:39


La simulation

Le but est de simuler le comportement d'une mousse.


Le récipient

Le récipient forme un cercle unitaire.
Donc on a pour tout noeud appartenant au récipient: \mathbf{A \rightarrow \frac{A}{|A|}}.
Et pour tout arc appartenant au récipient: \mathbf{\alpha \rightarrow sin^{-1}(\frac{|AB|}{2})}

La tension aux noeuds

découpe d\'un disque

Pour chaque arc sortant, on a une tension donnée par F = \frac{B-A}{|AB|}e^{-i\alpha}
Et chaque arc entrant: F = \frac{A-B}{|AB|}e^{i\alpha}

On considère que le système est assez visqueux pour que la vitesse de déplacement (et non l'accélération) soit proportionnelle à la tension totale.

\mathbf{A \rightarrow A + k\Delta t \sum F}

Avec \Delta t, l'intervale de temps entre deux steps. Et k un coefficient de vitesse.


La pression aux arcs

On peut montrer que pour des bulles de quelques centimètres la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la bulle est donnée par P = \frac{4\gamma}{r} avec r le rayon de la bulle et \gamma la tension surfacique.
Il est montré expérimentalement ici que la \gamma \approx 0.023N/m pour des bulles de savon. La différence de pression est de l'ordre de 10 Pa à comparer avec 1 atm = 101325 Pa. Le volume des bulles ne change donc pratiquement pas à cause de leur interface. Et on peut considérer qu'elles sont conservées.

C'est encore plus vrai pour des bulles en 2D (coincées entre deux plaques rapprochées):
découpe d\'un disque
La force due à la pression est donnée par \int_{-\alpha}^{\alpha} P e^{it} dt = 2Psin(\alpha). La force aux noeuds est donnée par 2\gamma sin(\alpha) . On a donc P = \gamma indépendamment du rayon de l'arc.

A l'équilibre la pression doit être nulle et les aires conservées.

On a \frac{\delta s}{\delta \alpha} = 2\frac{1-\alpha\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}}{sin(\alpha)^2} . Pour \alpha petit, \frac{\delta s}{\delta \alpha} \approx \frac{2}{3}.

\mathbf{\alpha \rightarrow \alpha + k\Delta t \frac{\delta \alpha}{\delta s}\Delta s}

Avec \Delta t, l'intervale de temps entre deux steps. k un coefficient de vitesse. Et \Delta s l'écart d'aire de la bulle.

On a une pression identique dans tout le récipient. Ce qui donne \frac{s_i^*}{s_i} = \frac{s^*_{recipient}}{s_{recipient}}. Avec s_i^* l'aire de la bulle i sous une pression de 1 atm. Et donc \Delta s = s^* \frac{s_{recipient}}{s^*_{recipient}} - s

Dans le cas de bulles identiques dans un cercle unitaire celà se simplifie en \Delta s = \frac{\pi}{n} - s. Avec n le nombre de bulles (sans le récipient).


Inversion de noeuds

découpe d\'un disque

Lorsque deux noeuds rentrent en collision, l'arc entre les deux disparait et est remplacé par un arc perpendiculaire.
La collision peut être détectée par le produit scalaire des vecteurs AB avant et après déplacement pour chaque arc.

Cette inversion est stable, les noeuds qui se rapprochent sont tranformés en noeuds qui s'éloignent.

Les bulles \begin{matrix} ..., W, a_{wa}, A, a_{ax}, X, ... \\ ..., X, a_{xa}, A, a_{ab}, B, a_{by}, Y, ... \\ ..., Y, a_{yb}, B, a_{bz}, Z, ... \\ ..., Z, a_{zb}, B, a_{ba}, A, a_{aw}, W, ... \\ \end{matrix} deviennent \begin{matrix} ..., W, a_{wc}, C, a_{cd}, D, a_{dx} X, ... \\ ..., X, a_{xd}, D, a_{dy}, Y, ... \\ ..., Y, a_{yd}, D, a_{dc},C, a_{cz}, Z, ... \\ ..., Z, a_{zc}, C, a_{cw}, W, ... \\ \end{matrix}

Cette inversion n'est pas encore implémentée à l'heure d'écrire ces lignes.

Posté par
Imod
re : découpe d'un disque 20-05-24 à 18:10

Quel courage !!!

La physique ou la nature fait le travail sans réfléchir et à une vitesse qui nous dépasse . J'essaie toujours de réfléchir à une expérience qui illustrerait le problème et notamment le changement d'état que tu évoques . Il me semble qu'on pourrait comprimer des ballons de baudruche identiques dans un cylindre de rayon extensible . Le problème est original mais assez naturel je serais surpris qu'il n'ait pas déjà été étudié .

Une question tout de même : pourquoi la  physique limiterait la longueur de la  ligne de contact ? D'ailleurs dans l'expérience que j'évoque la ligne se réduit aux sommets d'un polygone .

Imod

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 20-05-24 à 21:33


J'ai fait l'expérience en faisant des bulles de savons à l'aide d'une seringue (volume sous 1atm connu).
Puis j'ai mis une plaque dessus.
Le problème de la plaque c'est que le volume total des bulles et du récipient fermé doivent correspondre. Sinon on a des bulles qui s'enfuient lorsqu'on ferme le récipient.
L'idée d'un cylindre de taille variable est pas mal mais me semble difficilement réalisable avec des bulles de savon.

Les ballons de baudruche sont légèrement différents: La tension surfacique change avec l'étirement de la peau. Et la peau va frotter contre les parois supérieure et inférieure au lieu de glisser librement.

La physique minimise les lignes de contact  car elle a tendance à minimiser l'énergie du système. Les molécules d'eau ont moins d'énergie potentielle quand elle sont entre elles plutôt qu'à l'interface avec l'air. Il y a cependant des minima locaux.

Je ne vois pas le polygone dont tu parles. C'est le polygone entre le nœuds de mes bulles?

Le sujet de la simulation des bulles à probablement déjà été étudié. Je n'ai cependant pas trouvé de telle simulation. Mais je n'ai pas cherché beaucoup

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 20-05-24 à 21:40

Est ce que mon calcul de \Delta P=\gamma est correct ?

Ça m'arrange bien d'avoir une pression indépendante de l'angle. Mais j'ai un doute.
Je m'attendais à avoir une expression en 1/r comme en 3D.
Je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement cependant

Posté par
Imod
re : découpe d'un disque 21-05-24 à 22:53

Je n'ai aucune compétence pour contrôler ton résultat , peut-être Mathafou ? Pour les ballons , je parlais d'un polygone certainement maladroitement , je voulais signifier qu'il fallait exercer une pression extrême et qu'on peut difficilement imaginer par exemple un point de contact avec trois arcs .

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : découpe d'un disque 21-05-24 à 23:17

Bonsoir,

ça sort de mon domaine de compétence
voir avec les collègues de l'ile d'à côté ?

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 22-05-24 à 11:12

Je leur ai demandé

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 22-05-24 à 11:41

La simulation (suite)

Contact de deux arcs

découpe d\'un disque

Assez similaire à l'inversion de noeuds, le contact de deux arcs produit deux noeuds et un nouvel arc. La bulle initialement entre les deux arcs est scindée en deux.

La détection de ce contact revient au problème d'auto-intersection des bulles. Pour lequel je n'ai pas encore de solution.
Une idée serait pour chaque bulle vérifier les intersections entre les arcs deux à deux. Ce qui se réduirait à une intersection entre cercles puis vérification que ces intersections sont entre les noeuds de l'arc.

Il est à noter que c'est la première fois que le nombre de bulles change!
Il est possible cependant que la bulle scindée en deux soit encore reliée par l'extérieur. C'est le cas pour une bulle incluse dans une autre.

Les bulles \begin{matrix} ..., W, a_{wx}, X, ... \\ ..., X, a_{xw}, W, ..., Z, a_{zy}, Y, ... \\ ..., Y, a_{yz}, Z, ... \end{matrix} deviennent \begin{matrix} ..., W, a_{wa}, A, a_{ab}, B, a_{bx}, X, ... \\ ..., X, a_{xb}, B, a_{by}, Y, ... \\ ..., Y, a_{yb}, B, a_{ba},A, a_{az}, Z, ... \\ ..., Z, a_{za}, A, a_{aw}, W, ... \\ \end{matrix} avec potentiellement la deuxième et la quatrième bulle qui n'en sont qu'une.

On a aussi le cas où une bulle s'auto intersecte et crée une bulle incluse.

Il devient compliqué de suivre tous les cas particulier (Ce n'est pas encore implémenté ).

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 25-05-24 à 11:14

Actions

Creation de bulles

découpe d\'un disque

On peut créer une bulle seule. Une bulle dans un arc. Ou une bulle dans un noeud.

De ces trois bulles, seule la dernière est stable. Les deux autres sont métastable.

La bulle seule, va éventuellement rencontrer un arc et par la transformation de contact d'arcs va donner la bulle dans un arc.

La bulle dans un arc va éventuellement glisser le long de l'arc et rencontrer un noeud. Par l'inversion de noeuds, elle va donner une bulle dans un noeud.

Une bulle seule n'est pas représentable avec des noeuds qui ont 3 arcs entrant et 3 arcs sortant

Pour une bulle dans un arc, \begin{matrix} ...,X, a_{xy}, Y , ... \\ ...,Y, a_{yx}, X , ... \\ \end{matrix} devient \begin{matrix} ...,X, a_{xa}, A, a_{ab}, B, a_{by}, Y , ... \\ A, a^*_{ba}, B, a^*_{ab} \\...,Y, a_{yb}, B, a_{ba}, A, a_{ax},  X , ... \\ \end{matrix}

Et pour une bulle dans un noeud, \begin{matrix} ...,X, a_{xo}, O, a_{oz}, Z , ... \\ ...,Y, a_{yo}, O, a_{ox}, X , ... \\ ...,Z, a_{zo}, O, a_{oy}, Y , ... \\ \end{matrix} devient \begin{matrix} ...,X, a_{xa}, A, a_{ac}, C, a_{cz}, Z , ... \\ ...,Y, a_{yb}, B, a_{ba},A, a_{ax}, X , ... \\ ...,Z, a_{zc}, C, a_{cb},B, a_{by}, Y , ... \\ A, a_{ab}, B, a_{bc}, C, a_{ca} \end{matrix}

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 25-05-24 à 12:17


Destruction d'une bulle

Une bulle ne peut pas être détruite seule, toutes les bulles adjacentes vont être fusionnées en une seule bulle.

découpe d\'un disque

Pour une bulle entourée de n bulles, 2n noeuds disparraissent, (8-2)n arcs disparaissent et n+1-1 bulles disparraissent. Ça devient vite compliqué à suivre

Destruction d'un arc

découpe d\'un disque

Lorsqu'un arc est détruit 2 noeuds disparraissent, (10-4) arcs disparraissent et (2-1) bulles disparraissent.

C'est beaucoup plus simple à suivre

Les bulles \begin{matrix} ...,W, a_{wa}, A, a_{ax}, X , ... \\ ...,X, a_{xa}, A, a_{ab}, B , a_{by}, Y, ... \\ ...,Y, a_{yb}, B, a_{bz}, Z , ... \\ ...,Z, a_{zb}, B, a_{ba}, A , a_{ax}, X, ... \\ \end{matrix} deviennent \begin{matrix} ...,W, a_{wx}, X , ... \\ ...,X, a_{xw}, W, ... , Z, a_{zy}, Y, ... \\ ...,Y, a_{yz}, Z , ... \\ \end{matrix}

Destruction d'un noeud

Comme pour une bulle, un noeud ne peut pas être détruit seul. Les 3 bulles adjacentes sont fusionnées en une seule.

découpe d\'un disque

4 noeuds disparaissent, (18-6) arcs disparaissent et (3-1) bulles disparaissent.

Encore une fois, c'est compliqué.

Cependant la destruction de noeud et de bulle peut être reduite à plusieurs destructions d'arc. Et c'est ce qui se passe en réalité, la mebrane devient fine et fini par lâcher.

Posté par
LittleFox
re : découpe d'un disque 25-05-24 à 12:22

Déplacement d'un noeud

découpe d\'un disque

L'utilisateur peut vouloir déplacer un noeud ou un arc.
Ça peut être facilement implémenter par une force dans la direction du curseur.

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