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Deduire sin à partir du cos

Posté par
Garp
19-03-21 à 17:38

Bonjour, je me permets de poster sur ce forum car je trouve un résultat faux malgré le fait que j'ai longtemps cherché l'erreur, sans la trouver.
Voici l'énoncé:
On admet le résultat suivant:
cos(\frac{\pi }{5})=\frac{\sqrt{5}+1}{2}
En déduire la valeur exacte de sin(\frac{\pi }{5}).


J'ai donc posé:
cos^{2}(\frac{\pi }{5}) + sin^{2}(\frac{\pi }{5}) = 1 
 \\ sin^{2}(\frac{\pi }{5}) = 1 - (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2} 
 \\ sin^{2}(\frac{\pi }{5})=1-\frac{3+\sqrt{5}}{2} 
 \\ sin^{2}(\frac{\pi }{5})=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}
 \\  sin(\frac{\pi }{5})=\sqrt{-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
 \\ ou 
 \\ sin(\frac{\pi }{5})=-\sqrt{-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
Mais le contenu de la racine carrée est négatif donc c'est faux. Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aiguiller afin que je puisse trouver mon erreur

Posté par
malou Webmaster
re : Deduire sin à partir du cos 19-03-21 à 17:42

Bonjour
regarde la valeur écrite pour cos(pi/5), elle ne peut être que fausse...

Posté par
Garp
re : Deduire sin à partir du cos 19-03-21 à 17:52

J'avais vérifié avec ma calculette et effectivement je trouvais ça bizarre mais c'est bel et bien la valeur donnée dans l'énoncé, je ne me suis pas tromper en la recopiant.

Posté par
malou Webmaster
re : Deduire sin à partir du cos 19-03-21 à 17:54

c'est cos(\frac{\pi }{5})=\dfrac{\sqrt{5}+1}{{\red{4}}}

Posté par
Garp
re : Deduire sin à partir du cos 19-03-21 à 18:10

malou @ 19-03-2021 à 17:54

c'est cos(\frac{\pi }{5})=\dfrac{\sqrt{5}+1}{{\red{4}}}

J'ai bien compris mais l'énoncé est faux.
Ducoup avec la bonne valeur de cos(pi/5) je trouve:
sin(\frac{\pi }{5})=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}
ce qui est cohérent avec le résultat trouvé sur la calculette

Posté par
malou Webmaster
re : Deduire sin à partir du cos 19-03-21 à 18:13

oui, tu as un énoncé faux, ça arrive...
ta valeur du sinus est OK



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