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Défi 10 : une inégalité factorielle

Posté par
fusionfroide
23-05-07 à 22:17

Salut

A l'instar de monrow, je peux vous proposer également quelques exos exotiques.

Démontrer que \fbox{4$\forall n > 2, (n!)! >n[(n-1)!]^{n!}}

Bonne réflexion

Posté par
veleda
defi10:une inégalité factorielle 23-05-07 à 22:27

bonsoir,
peut être que je me trompe mais il me semble qu'il y a égalité pour n=2?

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 23-05-07 à 22:39

Salut veleda et merci pour la précision : c'est bien n> 2

Un modo pourrait-il modifier le message initial  ?

Merci

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 23-05-07 à 22:51

merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 23-05-07 à 23:09

Salut fusionfroide

est ce que ce n'est pas (n!)n!>((n-1)!)n! sans le petit n en facteur?

Posté par
Fractal
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 23-05-07 à 23:11

monrow -> ton inégalité est absolument triviale, ce n'est sûrement pas la bonne

Fractal

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 23-05-07 à 23:14

ah non. IL y a une erreur dans ce que j'ai posté

(n!)!>((n-1)!)n!

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 11:35

non l'inégalité du premier message est correcte

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 11:39

fusionfroide>>

 Cliquez pour afficher

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:06

monrow >>

 Cliquez pour afficher

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:08

Je posterai la solution ce soir, car ensuite je devrai quitter l'île quelques jours

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:14

Ok je vais essayer une autre méthode

Pourquoi?

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:15

?

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:16

Je donnerai un indice sous forme de questions dans l'après-midi.

Là je dois y aller et je réfléchi à ton défi

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 24-05-07 à 14:20

OK, donc je le verrai ce soir

Posté par
fusionfroide
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 14:47

Bon je reconnais que ce défi n'a rien à faire sur le forum expresso
Pour me faire pardonner, j'en poste un niveau première terminale

4$(n!)!=(1\times 2\times ... \times [(n-1)!-1])\times \Bigprod_{i=1}^{n-1}S_i\times n! avec pour 4$i=1,...,n-1 :

4$S_i=(i[(n-1)!])(i[(n-1)!]+1)...(i[(n-1)!]+(n-1)!-1)=\Bigprod_{K=0}^{(n-1)!-1} [i[(n-1)!]+K]

Or, si 4$n\ge 3,

*4$1\times ...\times ((n-1)!-1) \ge 1

*pour 4$i \in \{1,...,n-1},S_i est le produit de 4$(n-1)! termes, l'un égal à 4$i(n-1)!, les autres strictement supérieurs à 4$i(n-1)!, donc :

4$S_i > [i(n-1)!]^{(n-1)!}=i^{(n-1)!}(n-1)!^{(n-1)!}

Par suite : 4$(n!)! > n! \Bigprod_{i=1}^{n-1}[i^{(n-1)!}(n-1)^{(n-1)!}]=n!(n-1)!^{(n-1)(n-1)!}(\Bigprod_{i=1}^{n-1}i)^{(n-1)!}

D'où 4$n! >n!(n-1)!^{n!} et on en déduit l'inégalité demandée

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 14:50

(mes yeux!! ). J'ai un autre exo qui ressemble vraiment à celui ci: mais ce qu'il faut démontrer c'est: 4$ (n!)! \le (n-1)!^{n!}

Posté par
Fractal
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 14:53

Est-tu sûr de ton énoncé monrow?
L'inégalité ne semble pas être vérifiée pour les quelques valeurs de n que j'ai testées.

Fractal

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 14:55

Oui Fractal, j'ai vérifié

C'est pour tout n \ge 2

Posté par
Fractal
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 14:57

Pourtant, pour n=3, 4 et 5 ce n'est pas le cas...
Non?

Fractal

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Défi 10 : une inégalité factorielle 27-05-07 à 15:00

Désolé, c'est un signe où j'ai fait l'erreur:

c'est > et pas <=



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