La plus petite valeur de N qui donne à la fin un multiple de 2006 est 1003.

Merci pour ce retour d'énigmes, en rafale par 3 s'il vous plaît !

Bonjour, à moins qu'il y ait quelque chose que je n'aie pas compris, la réponse est évidente : à la deuxième ligne il ne reste plus que les nombres impairs, le dernier nombre sera donc impair.
Ce n'est donc pas un multiple de 2006... sauf si N=0 (il n'est pas précisé qu'il devait être non nul)
La solution est donc N = 0.

Fractal

Le premier nombre de la k-ième ligne est égal à k*2^(k-1)
Pour que ce nombre soit un multiple de 2006=2*17*59, il faut donc que N soit égal à 1003 (le nombre vaut alors 1003*2^1002, qui est de l'ordre de  4*10^104 si je ne me suis pas trompé)

j'ai reproduit le système sous excel, et apparemment il n'y aucune solution

La plus petite valeur possible de N est N=1003.

salut,

D'après mes pseudo calculs, la somme final vaudrait :


qui serait alors divisible par 2006=2*17*59 pour N=59 (premier résultat)

Ptitjean

Bonjour
J'appelle u_0 =0 (début de la ligne de départ)
u_1=1 (début de la première ligne calculée,
u_2=4 (début de la deuxième ...) etc.
Dans la ligne de départ, on ajoute 1 pour passer d'un terme au suivant.
Dans la première, on a des nombres du style k+(k+1)=2k+1 : suite arithmétique de raison 2.
Dans la deuxième ligne, on a des (2k+1)+(2(k+1)+1)=4k + ... : arithmétique de raison 4 =2^2,
Hypothèse de réc. : dans la ligne n, on a des écarts de 2^n entre deux termes consécutifs (vérifié si n = 1 ou 2). à la (n+1)ème, on aura des termes du style (2^n k+...)+(2^n (k+1)+...) = 2*2^n k+... : arithmétique de raison 2^{n+1}. Ceci permet de calculer en fonction de :
le terme suivant est , donc .
Conjecture : (en regardant les triangles obtenus pour N=1 à 5) : . vérifié pour n=1 à 5.
hérédité : .
Donc, en partant de 0 à N, le nombre ultime sera .
il sera multiple de 2006=2*1003 à condition que N soit multiple de 1003.

Bonsoir Minkus,

2006N={0,2006,...}
Zéro est bien un multiple de 2006.
La plus petite valeur possible de N est

Au cas, où N serait supposé non nul alors
N=1003
car [N*2^(N-1)=k.2006; or 2006=2*17*59=> N=1003]

N = 1003

Bonjour,

La plus petite valeur de N est 0 ; on trouve comme dernier chiffre 0 et on a bien 0=0*2006.

La plus petite valeur de N non nul que je trouve est N=1003.

bonjour
la réponse minimum est 1003
pour un départ de 0 à N le résultat final est la somme des nombres de 0 à N chacun étant multiplié par le luimême+1ième nombre de la Nième ligne du triangle de Pascal
cette ligne étant symétrique, le résultat final est 2^N * (moyenne de 0 et de N) = 2^(N-1)*(0+N)
pour qu'il soit divisible par 2006, N doit se charger des facteurs de1003; il doit donc être un multiple de 1003

Bonsoir,

En observant que le premier nombre de chaque ligne (a fortiori de la dernière) est donné (pour la ligne n) par , le problème se ramène à la recherche d'un entier n tel que est multiple de 2006, soit encore entier, i.e. est entier.
Or 1003=17x59, donc le quotient précédent n'est entier que si n est un multiple de 1003.
Le processus comportant autant de lignes que de nombres, la plus petite valeur  de N est .

Merci pour l'énigme.

On peut montrer par récurrence que le dernier nombre, en fonction de n, s'écrit : . Il vient que la plus petite valeur que doit prendre n pour que ce dernier nombre soit un multiple de 2006 est : 1003.

Bonjour
Le 1er  élément de la n^ème ligne est donné par   n.2^(n-1)
=> n.2^(n-1)  = k.2006  = 2.k.17.59
=> n.2^(n-2)  =  k.1003
=> n = 1003
A+

Bonjour,

Sur la dernière ligne, on obtient  N*2^(N-1) qui doit être égal à 59*17*2*k, avec k entier.

D'où la réponse (parachutée...): N mini = 59*17 = 1003.

A+,
gloubi

bonjour
à tout hasard, je propose N = 1003

Bonjour,

en essayant avec les premières valeurs de N, j'arrive à trouver que le dernier nombre est
Il faut donc trouver une valeur de N pour que
Là, j'ai "abandonné" les maths pour me tourner vers Excel où j'ai trouvé une valeur minimale de N = 37

merci pour l'énigme

Bonjour,

on cherche N tel que N.2^(N-1) = k.2006 avec k
réduit à N.2^(N-2) = k.1003

Bien sûr, si k = 0 alors N=0 ...

Sinon on trouve la plus petite valeur pour k=2¹⁰⁰¹

Merci et à bientôt, KiKo21.

Bonjour,
le dernier nombre seul dans la derniere ligne est donne par :

la decompositon en facteurs premiers de 2006 est : 2*17*59
Reste donc a minimiser dans l'ensemble des entiers naturels. On choisit donc n=17*59=1003

La reponse est donc n=1003

Merci
@+

N=34 d'après excel...:poisson??

Si l'on part sur la base 0 1 2 3 , le résultats au sommet sera 12, soit
3*2²

Si l'on part sur la base 0 1 2 3 4, le résultat au sommet sera 32, soit
4*2³

Et ainsi de suite....

Or il faut un multiple de 2006 et que le résultat soit de la forme

N*2^N-1

2006/2 = 1003 qui n'est pas paire et ne peut-être divisé en puissance de 2, donc il faudra le prendre comme base.

DONC le nombre N recherché est 1003

Dis j'ai juste, dis ???

Cordialement

Bonjour,
donc il faut résoudre
Le minimum de l'ensemble des solutions de cette équation est : N=17*59=1003

Bonne journée et à bientot...

On appelle le résultat du procédé appliqué à 0,1...,N.
On montre que
Sachant que ou 1003 et 2 sont premiers entre eux.
On en déduit que la plus petite valeur de N est 1003.
En effet
Et si N<1003 , on aurait et le lemme de Gauss assure ce qui est impossible vu que 1<N<1003.
La réponse est donc N=1003 et

Bonjour,

Après réflexion et pas mal de tatonnements j'ai trouvé que le nombre de la dernière ligne est de la forme 2^N-1.N
Or 2006=59*17*2
Pour que ce nombre soit un multiple de 2006, il faut que N soit un multiple de 59*17 (N>2)
Le plus petit des multiples est obtenu pour N=59*17=1003.

J'espere que je ne suis pas allé à la pêche aujourd'hui

Bonjour et merci pour cette énigme passionnante

Si on considère Uo le résultat obtenu avec N=0, U1 le résultat obtenu avec N=1, etc, etc...

On appercoit la suite 0,1,4,12,...

On trouve alors (ça parait simple mais j'ai galéré grave) le lien Un = n x 2^n-1

dans cette configuration, il faut donc trouver n tel que Un soit multiple de 2006, c'est à dire tel que

n x 2^n-1 = k x 2006 avec k entier naturel, ou encore
n x 2^n-2 = k x 1003

1003 étant la multiplication de deux nombres entiers 17 et 59, on arretera la notre simplification.

tout ça pour dire que je ne vois pas d'autres solution que de prendre k=1 (car k=0 indiquerait que 0 est un multiple de 2006 mais ce serait quelque peu trivial) pour obtenir un multiple de 2006, donc n doit être un multiple de 1003.

[b]La réponse à l'énigme est donc n=1003, avec comme dernier nombre 1003 x 2¹⁰⁰²[/b

Merci pour l'énigme,

@ plus, Chaudrack

Je dirais 40, sans grande certitude...

Ca va faire mal à la moyenne ca...

Bonsoir, je trouve que le nombre qui reste seul = n*2^(n-1)

si je veux que ce nombre soit multiple de 2006 (=2*17*59) alors il faut que n soit multiple de 17*59 = 1003

la plus petite valeur de n est donc 1003

Merci pour l'énigme  

Bonjour

on peux vérifier que le nombre obtenue à la dernière ligne  est  

donc si la plus petite valeur possible pour est

N = 59.

bonjour aller je me lance de toute facon mon résultat sera juste complètement faux donc je dirais N=37

Bonjour à tous,

A grand âge avec petit bagage, la sagesse commande de s'abstenir devant un "3 étoiles".

C'est vrai, mais quand-même, tout ce papier noirci...

C'est Noël , je me lance et je dis:

La plus petite valeur de N demandée pourrait être .

Dans ce cas, le nombre seul de la dernière ligne aurait une valeur astronomique que je ne puis représenter que par un produit de 2 nombres: , mes calculatrices n'ayant pas la capacité voulue pour effectuer le calcul. Puisque est multiple de 2, le produit est assurément un multiple de 2006, demandé par l'énoncé.

Morale de l'histoire:
Pour ta punition,
Tu mangeras du poisson.

bonjour minkus,

à l'aide d'un programme info , je trouve 1003.

j'ai hâte de voir la démo mathématique..

D.

Bonsoir (ou plutôt bonne nuit).

La plus petite valeur de N est 1003.

Si j'ai le temps je joindrais la démo dans la journée de demain.

_{Dommage que j'ai râté la première énigme du moins...}

Merci pour l'énigme !

Bonjour

J'ai trouvé 5 minutes pour joindre la méthode

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Démonstration

On considère une suite de nombres entiers consécutifs de à que l'on dispose sur une ligne :

Première ligne :

On écrit alors sur la deuxième ligne les sommes des nombres du dessus pris 2 à 2 :

Deuxième ligne :

Nous avons en réalité additionner de la sorte :

Deuxième ligne :

On peut également réécrire cette ligne comme ceci :

Deuxième ligne :

On remarque alors que la somme en rouge est le double de la somme des entiers de 1 à n. On peut donc exprimer la somme de la deuxième ligne en fonction de la première. En effet si l'on double la somme de la première ligne on obtient :

(Première ligne)+(Première ligne) :

Il faut cependant retirer les extrêmes pour que les sommes soient identiques. Prenons un exemple pour :

Première ligne :

Ensuite j'écris la deuxième ligne ainsi que le double de la première ligne l'une au dessus de l'autre pour visualiser le principe :




Pour que les deux lignes soient identiques, il faut retirer le et le du double de la première ligne.

Si on note la somme de la première ligne et celle de la deuxième ligne, avec on a donc :



On vérifie avec notre exemple que cette relation fonctionne bien.

Toutefois en réitérant le procédé, on s'aperçoit qu'il faut retirer le double des extrêmes de la ligne précédente.

En effet en reprenant notre exemple à la deuxième ligne :

Deuxième ligne : . Ici les extrèmes que l'on devra retirer seront et , c'est à dire en reprenant les éléments de la première ligne et donc on aura :



On va alors pour comprendre le procédé calculer la somme des lignes suivantes :





On remarque alors un motif pour les coefficient devant et :



On peut donc exprimer le coefficient en fonction de où est le nombre tours. La somme recherchée se trouve en (on le vérifie aisément avec un exemple). On a donc :

.

Soit finalement en notant la somme finale où il ne reste plus qu'un nombre, on aboutit à la formule explicite :



Et ainsi en factorisant :



On souhaite alors que ce nombre soit multiple de

On cherche donc une valeur de telle que c'est à dire telle que

On en conclut que la plus petite valeur possible est .

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Y'en a pas N-1+N=2N-1 2N est pair donc 2N-1 est impair or les multiples de 2006 sont pair donc le nombre de ladernière ligne ne peut être un multiple de 2006voila

BONJOUR

0 1 2 3 4 5 .... N
1 3 5 7 ..... (N-1 + N)

SOIT
apres developpement
2n-1        
4(n-1)        
4(2n-3)      
16(n-2)
16(2n-5)
64(n-3).............(4^n/2)*(n/2)
64(2n-7)............(4^n/2)*n
pour n=35    on a un premier chiffre multiple de 2006

n=40

2005

2005

La plus petite valeur de N doit être égale à...0!

j'ai exprimé d'abord les termes de la diagonale qui forme une suite: Un+1=2*Un+ 2^n

or 2006=2*17*59

or je me suis rendu compte que tout les termes de la diagonale s'ecrivent une certaine puissance de 2 fois une seule autre puissance,
si cette propriété s'avere vraie alors il sera impossible de trouver un multiple de 2006 sur la diagonale.

Bonjour et bonne annee a tous.

La reponse etait bien 1003 et je ne saurais mieux l'expliquer qu'Infophile que je remercie beaucoup pour sa demonstration tres detaillee.

Merci egalement a lo5707 dont l'image etait mieux choisie que la mienne. J'aurais du y penser avec un titre pareil, moi qui aime bcp Escher .

>Atomium : 1004 ? Si tu es pret a jurer sur les tables de la FAQ de l'ile que ton 4 aurait du etre un 3 alors je suis pret a te redonner le sourire en ce debut d'annee

En revanche, je n'ai pas accepte la reponse N=0 car ce n'est pas Noel tous les jours et puis -tentative de justification un peu grossiere- il etait ecrit

Jolie démo, Kévin. J'ai eu la flemme de la poster, mais la mienne était plus "free style"

à Minkus: une grand merci pour la proposition, mais je ne puis l'accepter; ce n'était pas une faute de frappe.
Quant à la punition, entre nous soit dit, j'ai donné le poisson au chat....

Bonjour,

je ne sais pas si c'est moi qui comprend mal,
mais d'après les différentes réponses il a l'air de se confirmer que le chiffre
de la dernière ligne est bien de la forme

Or, avec N = 37, on obtient
non???

N-1 pardon

Bonjour lo5707

Le resultat que tu annonces est impossible !

En effet 2006 = 2 * 17 * 59 et 2³⁶ n'a que des facteurs 2.

Attention aux calculatrices n'affichant que 9 ou 10 chiffres !

Voila ce que donne la calculatrice du PC :  1267507796,2273180458624127617149 !!!

Ah, ok
je m'incline donc...
merci pour l'explication