à mon avis, il n'existe aucune solution rationnelle à cette équation

En résolvant l'équation du second degré en en supposant que est rationnel, sera rationnel ssi la racine du discriminant est une fraction rationnelle :
doit être rationnel.
Avec , il y a une solution au problème de départ ssi .
On cherche donc 4 relatifs tels que : . Or, cela est impossible : essayons de résoudre .
et sont forcément de la même parité (sinon le membre de gauche ne sera pas pair). Faisons la décomposition en facteurs premiers de chacun des membres et observons l'exposant de 2 : l'exposant de 2 du membre de droite est nécessairement impair.
* Si et sont pairs, alors l'exposant de 2 du membre de gauche est pair.
* Si et sont tous 2 impairs, alors un calcul rapide montre que le membre de gauche est de la forme 4*impair : l'exposant de 2 est donc pair.
L'équation n'a donc pas de solution entière et le problème de départ n'a pas de solution.
J'espère que d'autres trouveront plus simple que moi

bonjour Minkdus
la réponse est non
l'expression y²+xy+x²-2 égale zéro quand
y = (-x(x²-4x²+8))/2
si x est rationnel, (8-3x²) doit être aussi rationnel
posons x = a/b (a et b premier entre eux)
8 -3a²/b² doit être un carré de rationnel
(8b²-3a²)/b² doit être un carré de rationnel donc 8b²-3a² doit être un carré parfait
si a est impair, 3a² = 3 modulo 8, 8b²-3a² = 5 modulo 8 et n'est pas un carré : les carrés impairs sont 1 modulo 8
si a est pair, b est impair; 2b³-3(a/2)² doit être un carré; si a/2 est impair, l'expression = (2-3)modulo 8 = 7 modulo 8 et n'est pas un carré; si a est pair, l'expression est un nombre divisible par 2 mais non par 4, donc n'est pas non plus un carré
donc dans tous les cas où x est rationnel, le discriminant de l'équation du deuxième degré en y (y²+xy+x²-2) n'est pas un carré de rationnel et y non plus

Minkus, je te hais !! J'y ai passé mon samedi après midi. (Heureusement, il ne faisait pas beau)... mais quand même, vas y doucement !!! Les fêtes sont encore proches..:)


En résolvant y²+yx+x²-2=0 en y, on s'aperçoit que la solution existe dans ² ssi il existe un couple de solution rationnels (x,Q) à l'équation 8-3x²=Q² (avec x et Q positifs).
Soit x=p₁/q₁ avec p₁ et q₁ positifs et premiers entre eux. et Q= p₂/q₂ ( idem).
L'équation précédente donne :
8(q₁q₂)²=3(p₁q₂)²+(p₂q₁)²   (1)

1er cas : p₁ pair implique q₁ impair , donc par étude de la parité des termes de (1) p₂ pair et donc q₂ impair.
Le premier terme de l'équation est donc un multiple strict de 8, donc p₁ et p₂ ne peuvent pas être multiple de 4 , donc de la forme (4k+2). En développant, on s'apercoit que chaque terme du second (en faisant une petite étude sur la parité de k) est multiple de 16, ce qui est contradictoire.

2ème cas : si p₁ impair et q₂ pair, on a p₂ impair, et q₁ pair par étude de la parité de (1).On a en divisant (1) par q₂², q₂ divise q₁.
On démontre de même que q₁ divise q₂, donc q₁=q₂=q
En remplaçant, on constate que le premier terme de (1) est multiple de 8 et le second multiple strict de 4.
Donc impossible.

3ème cas : si p₁ impair et q₂ impair, on a p₂ et q₁ impairs par étude de la parité de (1).
le premier terme est multiple de 8 et le second multiple strict de 4.
Donc impossible.

Donc en définitive, il n'existe pas de solution dans ², à l'équation proposée.

bonjour,
moi, je dirai non, mais bon... :S
1, c'est possible, avec  l'un egal a 1, l'autre 0
3, idem avec x=1 y=1
mais 2...
donc non
merci pour l'énigme

Bonsoir

Tout d'abord merci minkus pour ce défi je me suis vraiment amusé à chercher . Au départ j'ai perdu mon temps à chercher du côté des coniques, mais c'est bien plus marrant (et faisable) avec l'arithmétique .

-----

Démonstration

On considère l'équation .

Supposons , alors il existe et avec tels que .

L'équation s'écrit alors soit en multipliant par et en regroupant tout dans le même membre on se ramène à :



Calculons le discriminant de ce trinôme du second degré :



Si avec entier alors et ainsi le trinôme admet deux solutions réelles distinctes :



Alors , et étant entiers on en déduirait que et sont rationnels.

Or il s'avère que ne peut pas être un carré. Démontrons cette dernière proposition.

Disjonction des cas :

Si alors . Or donc et donc est multiple de mais pas de . Donc si , n'est pas un carré. En effet si alors ne peut pas être multiple de sinon multiple de .

Si alors et donc . Ainsi n'est pas un carré car un carré n'est congru que à ou à modulo .

En effet

Si alors et de manière similaire on montre que n'est pas un carré.

Tout entier est congru à , ou modulo , ce qui épuise tous les cas et donc il n'existe aucun couple d'entiers avec tels que soit un carré.

Finalement le discriminant n'est donc pas un carré et on en conclut que et sont irrationnels.

On en conclut que si alors et réciproquement.

En somme il n'existe aucun couple qui vérifient l'équation .

-----

Bonsoir,

^{pas si simple cette "petite" équation...}

L'équation n'a pas de solution dans et comme souvent je propose de procéder par l'absurde, en raisonnant sur la parité.

Supposons qu'il existe une solution de la forme (,) où les fractions sont supposées irreductibles.

L'équation x²+xy+y²=2 peut s'écrire (x+y)²=2+xy.

• On a (+)²=2+* soit ₍₁₎  (ad+bc)²=2bd+ac  ₍₂₎
• si a est pair, ₍₂₎ est pair donc ₍₁₎ l'est aussi et bc est pair. Or b n'est pas pair (fraction irréductible) donc c est pair.
                       (par symétrie, on a également c pair => a pair d'où a pair <=> c pair )
  avec a et c pairs, ₍₁₎ est divisible par 4 _{(carré d'un nombre pair)} et ac est divisible par 4,
  donc d'après Gauss 2bd est divisible par 4, i.e. bd est pair
  ce qui implique que b ou d est pair et ce qui contredit encore l'irreductibilité des fractions.
  ainsi a et c sont tous deux impairs.
• a et c étant impairs, ac donc ₍₂₎ est également impair, d'où ad+bc impair
  ce qui impose que b et d sont de parité différente _{(la somme de deux pairs ou deux impairs est paire)}.
  Par symétrie, on peut supposer, par exemple que b est pair et d est impair.
• Enfin, avec la forme de départ, +*+=2 qu'on peut écrire a²d²+abcd+b²c²=2b²d², on a _{(avec a,c,d impair et b pair)}:
  a²d² impair tandis que abcd, b²c² et 2b²d² sont pair _{(multiples de b)}. D'où la contradiction.

Conclusion: L'équation x²+xy+y²=2 .

Merci pour l'exercice et bon courage pour les corrections...

impossible

Bonsoir

En considérant y²  +  xy  + x² - 2 = 0  comme 1 équation du 2ème degré en y  on a 1 delta  = 8-3x² qui devrait être 1 carré parfait si on veut que y soit rationnel  et ensuite trouver alors 1 x rationnel
d'abord  - rac(8/3) < x < rac(8/3)    =>  -1.63  <  x  <  1.63
or le graphe de   8 - 3x² est 1 parabole de Maximum  (0,8) au dessus de ox (car 8-3x²0)
et entre  0 et 8 les seuls carrés parfaits sont  0, 1, 4
pour 0 : 8 - 3x² = 0   ; et x n'est donc pas rationnel
pour 1 : 8 - 3x² = 1  ;   7 = 3x² ;  et  x n'est donc pas rationnel
pour 4 : 8 - 3x² = 4  ;  4 = 3x²   et x  n'est donc pas rationnel
Il n'y aurait donc pas de solution rationnelle dans Q²
Cela m'a l'air si simple que je suis à mon avis bon pour 1 poisson.
*
Pourtant mon explication a l'air de tenir la route
Anfin on verra
A+

Bonjour,

Il n'y a pas de solutions (x,y) dans²
Les rationnels qui s'en approcheraient le plus sont issus de la suite de Fibonacci à l'infini...
Par contre, il existe des solutions dans ² comme

Merci et à bientôt, KiKo21.

Bonjour,

J'ai pas mal réfléchi à cette énigme, et j'ai procéder comme ça:

si je remplace x par une valeur, l'équation originale devient une équation du second degré en fonction de y

Je constate alors que seule la plage [-1;1] permet de trouver des équations en fonction de y telle que leurs discriminant soit supérieur à 0.

L'équation est y² + xy + (x²-2) = 0

On trouve alors que le discriminant sera compris entre 5 et 8. (Merci Excel)

comme dans cette plage, il n'existe aucun carré parfait, les solutions seront toujours du type (-b-)/2a

avec irrationnel comme toutes les racines carrés.

Ma réponse est donc NON, il n'existe aucun couple solution dans ²

@ plus, Chaudrack

PS: dans , un couple solution aurait pu être (-1;((1+5)/2))

Bonjour

cette enigme a un avantage: il suffit de répondre par oui ou par non !

donc 50% de chance d'avoir un smiley (et bien sûr 50% de chance d'avoir un poisson mais je préfére voir le verre à moitié plein)

je n'arrive pas au bout de ma démo car je coince sur une équation diophantienne : 8x²-3y²=z²  

si ça se trouve c'est tout bête mais pour le moment je séche (je me console en me disant que d'autres participants auront certainement une jolie démo à proposer). Les différentes simulations faites avec exel laissent penser qu'il n'y a pas de solutions entière à cette équation mais je n'ai pas réussi à le démontrer (et en plus c'est peut-être faux).

donc je suppose qu'il n'y a pas de couple (x,y) dans Q² qui soit solution de l'équation.

cet exercice revient à chercher les points à coordonnées rationnelles appartenant à une éllipse (que j'ai bien sûr retrouvée). Il me semble avoir déja vu un problème similaire mais je n'arrive pas à remettre la main dessus.

n'ayant pas vraiment le temps de chercher plus j'en reste là (avec quand même une petite pointe de frustration)

voilà donc entre    ou    mon coeur balance !!

Bonjour Minkus,


Pas de solutions rationnelles.

y²+xy+x²=2  => y = 1/2*(-x ± V(8-3x²))

t=8-3x² doit être 1 carré parfait
Pour - rac(8/3) < x < rac(8/3), 0<t<8
Les seuls carrés parfaits sont  0, 1, 4.
pour x=0 : 8 - 3x² = 0  t pas rationnel
pour x=1 : 8 - 3x² = 1  t pas rationnel
pour x=4 : 8 - 3x² = 4  t pas rationnel

non

bonjour,

allons-y pour ma petite démonstration

Supposons qu'il existe un couple de solution dans ², alors posons
et
avec m, n, p, q appartenant à ⁴ et pgcd(p,q)=pgcd(m,n)=1

cela nous donne






3 possibilités se posent à nous :

1/
p, q, m, n sont tous impairs.
Alors (pn+qm)² est pair, 2q²n² est pair et pqmn est impair
Ce qui est clairement impossible.

2/
Seul l'un des facteur est pair.
Quel que soit l'inconnue qui est paire, on a pqmn pair, 2q²n² pair.
Or (pn+qm)² se trouve être impair (somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire, puis la mise au carré conserve la parité)
De nouveau c'est un cas impossible

3/
Deux des facteurs sont pairs.
On remarque qu'il n'est pas possible que 3 des facteurs soient pairs, car ce serait en contradiction avec le fait que pgcd(p,q)=pgcd(m,n)=1.

Par symétrie du problème entre x et y, on déduis trois nouveaux cas d'étude :
     3a/
p et n sont pairs.
alors on a toujours 2q²n² pair ; pqmn est à nouveau pair
Or pn est pair et qm impair donc (pn+qm)² est impair.
Ce qui est de nouveau un cas impossible

     3b/
p et m sont pairs.
Posons alors et avec par exemple,
On a bien sur p1 et m1 impairs, ainsi que et
alors :






On a clairement q²n² impairs et les autres termes sont pairs, d'où une impossibilité.

     3c/
q et n sont pairs.
Posons alors et avec par exemple,
On a bien sur q1 et n1 impairs, ainsi que et
alors :




Par hypothèse, on a , donc



Si r_n>r_q, on a alors le membre de droite pair et celui de gauche impair.
Impossible

Si r_n=r_q, alors :


Le membre de gauche est pair, pq1mn1 est impair, et le dernier terme est pair.
D'où une nouvelle fois, une impossibilité

Conclusion, maintenant tous les cas ont été traités, il est clair qu'il n'existe pas de solutions dans ²

Merci pour ce petit problème

Ptitjean

Bonjour,

Il n'y a pas de solutions dans ² à l' équation x²+xy+y²=2.

Par contre dans ², il y en a une infinité.

Bonjour,

Un petit Delta sur l'équation en x, et nous voilà à chercher si -3y² peut être positif ou nul.
Positif strictement, ça parait bien mal engagé
Nul, oui, bien sûr, si y=0, on a alors x²=2, les seules solutions dans R sont rac(2) et -rac(2), qui ne sont pas dans Q, la réponse est donc NON.

Supposons qu'il existe 1 couple solution, et mettons ces 2 solutions au même dénominateur :

x=a/d et y=b/d (a, b et d sont des entiers).

Alors l'équation devient : a² + ab + b ² = 2d²

Donc : 3ab = 2d² - a² - b² + 2ab = 2d² - (a-b)²

donc : 3ab = ( 2d - a + b)( 2d + a - b)

Donc 3 divise ( 2d - a + b) ou ( 2d + a - b), ce qui est impossible ...

Donc l'équation n'a pas de solution dans Q².

salut tt le monde
on peut ne peut ps trouver  de couples de solutions (x;y) !

Bonsoir, ma réponse est non.

Ma démo :

je prends l'hypothèse que x appartient à et s'écrit a/b avec a et b enters relatifs.

j'ai donc l'équation

a²/b² + ay/b + y² - 2 = 0

y² + a/b * y + (a²/b² - 2) = 0

je trouve un discriminant dont la racine ne pourra pas être un rationnel. Donc y ne sera pas non plus rationnel.

je crois que cela ressemble a l'identité remarquable (a+b)² mais je n' ai pa tro compris la question avec Q2.
pourriez-vous me dire la réponse après le dénouement s'il vous plait cela serait ! Merci d'avance. Yannick

bonjour,

Bon je ne sais pas du tout si ma méthode est correcte mais tant pis je me lance.
_{(certains diront peut-être que c'est petit car on ne demande pas de justification m'enfin bon... )}

Je commence par effectuer un changement de variables (deja la, j'ai un doute):


Ce qui donne:


Il est clair que si
Alors
et donc x et y sont irrationnels

Maintenant si

n'est rationnel que si
càd
càd
Mais dans ces cas-là,
et donc x et y sont irrationnels

Comme je le disais je ne suis pas vraiment convaincu _{je tire sans doute des conclusions assez hatives...} mais je réponds quand meme:
Il n'existe pas de couple (x,y) dans solution de l'équation

merci pour le défi

Bonjour à tous,

ma réponse est non.
Pour la démo, je la posterai après.


Ayoub.

Va pour la démo :
Soit l'équation :


On cherche l'existence ou non de couples solution de (E).
Supposons qu'il existe qu'un couple (x,y) solution de (E).
x et y sont des rationnels, par conséquent, il existe tel que :

avec pgcd(p,q)=pgcd(p',q')=1
D'où :

Par suite on peut écrire que :

et aussi que :


De ces deux égalités, on en tire deux choses :
1 : q|q'²
2 : q'|q²
Deux possibilités : q(resp q') divise q'(resp q) ou q(resp q') ne divise pas q'(resp q). (No comment pour cette phrase, merci.)

Bon, grâce au théorème de Gauss on démontre que en fait :
Soit q(resp q') est égale à 1, soit q(resp q') divise q'(resp q)
Dans le cas où l'un des deux au moins est égale à 1, alors on a : q=q'=1.
Dans le cas où les deux sont différents de 1 alors, on a :
q|q' et q'|q càd que q=q'.
Donc dans tous les cas, on a:
q=q'.
On peut donc re-écrire (E) de cette manière :




Maintenant, raisonnons un peu.
Si q est pair, alors il faut que p et p' soient pairs. Ce qui n'est pas possible à cause de la condition pgcd(p,q)=pgcd(p',q)=1
Donc q est impair.
Maintenant, on montre que la somme "p^2+pp'+p'^2"ne peut être pair que si p et p' le soient.
Donc, il existe , tel que

On re-re-écrit (E). ().




ABSURDE.
Par conséquent, le couple (x,y) n'existe pas.


Ayoub.

P.S: Prière de ne pas fusiller en cas d'ineptie, merci.

j'eté rationnels et j'ai trouvé que l'equation n'admet pas des couples de solutions (x;y) dans ²

Oui

Bonsoir
Je trouve que cela n'est possible ssi l'équation , admet des couples de solutions (x;y)
ce qui est impossible car forcément si a est entier, alors b est irrationnel et l'inverse.
Donc ma réponse est non, l'équation (1) n'admet pas de couples de solutions (x;y) dans ?

Salut!
Cette équation n'a pas de couples de solutions dans ² (démonstration d'une page donc je la mets pas )

@+

bonjour
on a :x²+xy+y²=2
on considère x comme un inconnu et y comme un paramètre, et (x,y) appartiennent à Q².
x²+xy+y²-2=0.
= y²-4y²+8.
    = 8-3y².

donc: x=[-y+(8-3y²)]/2.
  ou: x=[-y-(8-3y²)]/2.
pour que x fait parti de Q il faut que 8-3y² s'écrit sous forme de A²/B².
or cela est impossible.
l'équation n'admet pas de solution dans Q².

merci pour l'énigme.

oui

Au risque de prendre un poisson, ma réponse est non.
Pour être tout à fait honnête, je réponds au feeling ....

Salut,

Je pense que la réponse est NON.

Merci, a+.

réduisons x et y à un dénominateur commun:
x=a/c, y=b/c avec a, b, c premiers entre eux
a^2+ab+b^2=2c^2.
Raisonnons modulo 4
Si a et b sont pairs c est impair: le premier membre vaut 0, tandis que le second vaut 2 (impossible)
Si a ou b est impair, le premier membre est impair, alors que le second est pair (impossible
L'équation proposée n'a pas de solutions rationnelles  

la réponse est non.

1/ on démontre qu'il n'existe aucun x,y entiers tel que
x²+xy+y²=2
x pair y impair (et inversement) => x²+xy+y² impair
x,y impair => x²+xy+y² impair
la seule solution est que x y soient pair, mais alors x²+xy+y² est multiple de 4.

2/ soient x y rationnels, il existe k rationnel tel que x=ky
x²+xy+y²=2 => x²(1+y/x+(y/x)²)=2
on note y/x=p/q, avec p et q respectivement nominateur et dénominateur de la fraction irreductible on obtient
(x/q)²(q²+pq+p²)=2
comme p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux, q²+pq+p² est impair
donc 2 divise (x/q)² => x est entier
par symétrie on démontre que y  est entier
d'après le 1/ pour x y entier, il n'y a pas de solution

Bonjour,

Un "petit" travail sur le discriminant revenait a chercher si le nombre 8q²-3p² pouvait etre un carre. Ensuite un peu d'arihtmetique modulo 3 montrait que c'etait impossible.

Bon finalement le ratio reponses avec demo/ reponses pile ou face n'est pas si faible que ca. L'essentiel est que la plupart ait cherche un peu. ( NF2)

merci minkus pour cette énigme, je crois que je copierai mes démonstration à partir de maintenant (je ne fais pas du pile ou face )
par contre je ne comprends pas les poissons de piepalm et nazzzdaq

En effet smil, deux bugs de fatigue surement. Merci.

Je présentait que non, mais je ne savais pas le démontrer.... J'aurais du tenter

Bonjour,

en effet Eric1, tu aurais du imiter smil qui a su profiter de l'énoncé ne demandant pas de démonstration pour répondre très rapidement.
^{(c'était un "petit" risque à courir)}

A mon avis, exiger une démonstration (cf topic Question a propos des enigmes.) aurait ici été nécessaire...

Et oui, mais c'est trop tard. J'ai bien fait la courbe, et vu comme était posé la question, j'étais à 60% d'assurance...

Merci Minkus.
Mais ce PS est caractéristique. J'ai l'art et la manière de laisser des failles dans mes démos.

Merci pour l'énigme.

Ayoub.

Bonjour,

> Minkus

salut tt le monde
j allai entamer un debat sur la reponse de youpi mais la mienne m a intimidée en fait je croyai avoir poster la reponsen ne peut ps trouver  de couples de solutions (x;y) !mais comme dit le proverbe : il n y a pas d'os dans la langue!

Bonjour Madani,

bonjours caylos
j ai ps bien compris ton intervension je crois que je devai etre un philosophe ou etre a hollywood!