La vitesse de la fourmi est égale à 22/1 = 22cm/h
Soit m le nombre de minutes suivant 15h.
L'angle fait entre l'horizontale est la petite aiguille est : (360/12)*(m/60)=m/2
L'angle fait entre l'horizontale est la grande aiguille est : 90- (360*m/60)= 90- 6m
Si les aiguilles forment un angle de 60°, on :
m/2+ 90-6m=60
11m/2=30
m = 60/11 minutes = 1/11 heure
A ce moment là, pour que l'angle formé par les 3 fourmis soit équilatéral, la longueur de la petite aiguille devra être égale à
L = 22- (v*t)=22- 22*(1/11)= 20 cm

bonjour, je pense que je vais répondre trop vite, mais qui ne tente rien n'a rien!
alors, tout d'abord un triangle équilatéral à des angles de 60°, donc l'angle entre la petite aiguille et la grande est de 60°! deux cas possible:
-la grande aiguille est avant la petite, si il est 15h06, l'angle sera de 60°, equation horaire (je sais pas si ca existe!) de la grande aiguille: 90°+1/2x
idem de la petite: 6x (en degrès par minute)
donc 90°+1/2x-6x=60°
x= 60/11
l'angle est donc de 60° à environ 5 minutes et 45 secondes...
donc la fourmi aura avancée de 22/11=2cm:petite aiguille égale à 20cm
-si la grande aiguille est devant la petite
6x-1/2x-90°=60°
11/2x=150
x=300/11 soit x=27minute 28secondes environ
donc la fourmi aura fait une marche 5 fois plus longue, elle aura avancée de 10 cm petite aiguille égal à 12 cm

deux solution 12 et 20 cm
simon

bonjour,

En coordonnées polaires.
Je note r(t) la distance du centre (en cm)
Je note (t) l'angle formé depuis que l'aiguille est verticale en haut (en degré)
Le temps est en minute

J'appelle A la mouche au centre, B la mouche sur la grande aiguille et C la dernière mouche
Les coordonnées de A sont (0,0)
Celles de B sont :



Celles de C sont :

avec d la taille de la petite aiguille

On veut que ou
Soit t=60/11 ou t=300/11

On a donc deux choix. Pour que le triangle soit équilatéral, il faut que
Pour t=60/11, on a d=r_B=20 cm
Pour t=300/11, on a d=r_B=12 cm

Je trouve donc deux solutions, mais l'énoncé ne donne qu'une et une seule solution...
Il est vrai qu'une petite aiguille de 20 cm et une grande de 22 est peu courant, mais bon...

Donc je reste sur le fait qu'il existe deux solutions :
12 et 20 cm

Ptitjean

(t en minutes)
Angle entre 12:00 et la grande aiguille
y1=6t
Angle entre 12:00 et la petite aiguille
y2=90+t/2

Pour avoir un triangle equilateral:
y1+60=y2 ou y2+60=y1

y1+60=y2 => 6t+60=90+t/2 => (11/2)t=30 => t1=60/11

y2+60=y1 => 90+t/2+60=6t => (11/2)t=150 => t2=300/11

La troisieme fourmi met 1 heure pour parcourir 20 cm.
Distance entre le centre et la 3° fourmi: 22 (1-t/60)
On a donc: 22 (1-t/60)=d, avec d la disatnce de la petite aiguille.

En t1, on a: d=22(1-1/11)=22*10/11=20 cm (improbable)

En t2, on  a d=22(1-5/11)=22*6/11=12 cm.


[b]Donc la petite aiguille mesure 12 cm.[b]
Ce triangle equilateral à lieu à 15 heures et 27,27 minutes environ.

je trouve deux valeurs possible pour la petite aiguille : 20 cm ou 12 cm

Bonsoir,

pendule et triangle équilatéral... un peu de géométrie et du classique.

Je trouve cependant deux solutions:
une pour t=60/11 (environ 15h05min et 27s) : 20 cm
une autre pour t=300/11 (environ 15h27min16s) : 12 cm.

Conclusion : La petite aiguille peut mesurer au choix ou .
^{ce qui me chagrine c'est}

bonjour
la petite aiguille est longue de vingt centimètres
pour obtenir le triangle équilatéral :
la fourmi doit parcourir plus de la moitié de la grande aiguille, en plus d'une demi-heure; la grande aiguille doit rattraper son retard de 4/12 de tour puis prendre 2/12 de tour (60°) sur la petite aiguille : 6/12 de tour de plus
comme elle fait 11/12 de tour de plus en une heure, elle mettra 6/11 d'heure; la fourmi aura parcouru 12 cm et sera comme l'autre fourmi à 10 cm du centre
la petite aiguille mesure donc 10*2 = 20 cm

Re-bonsoir...
à force de chercher la petite bête, je vois le mal partout !

La citation

Bonsoir Minkus,

Mon prénom n'est pas Bernard mais je trouve votre énigne fourmi-dable.

La vitesse angulaire de la grande aiguille est 0,1°/s,
celle de la petite: 1/120 °/s.
Soit t, le temps écoulé en seconde pour que le tr soit équilatéral.

On a:
c=90-0,1*t (c est l'angle en ° de la grande aiguille avec l'horizontale sens trigono)
b=0-1/120*t (angle de la petite aiguille)

c-b=60=>90-1/10*t-(0-1/120*t)=60=>t=3600/11 (s)
Pendant ce temps, la fourmi C a parcouru 22/3600 * 3600/11=2 (cm: la vitesse radiale de la fourmi est 22/3600 cm/s)
Donc le côté de tr équi est 22-2=20 (cm).

Vu sa célérité, la fourmi a sûrement dû se dire

2 solutions :
12 cm et 20 cm

Bonsoir

La longueur de la petite aiguille est de  20 cm

A+

Bonsoir, j'ai deux solutions possibles :

a) la petite aiguille mesure 20 cm

b) la petite aiguille mesure 12 cm


merci pour l'énigme

Bonsoir

me voilà bien embêtée pour répondre à cette énigme car je trouve deux solutions possibles. Et il n'y a nulle part la petite phrase habituelle :" si plusieurs solutions existent mettez les toutes !"

deuxième point qui m'embête beaucoup : j'ai du considérer la vitesse de la fourmi constante pendant son périble de 22cm alors que ce n'est mentionné nulle part. Sans cette hypothèse je ne vois pas a priori comment résoudre l'énigme.

a part cela je trouve qu'une fourmi qui parcours 22 cm en 1 heure doit être drôlement fatiguée car franchement c'est pas super comme vitesse de pointe pour une fourmi, elle va finir par se faire ratrapper par l'escargot du défi 117.

bon donc avant de poster je met quand même mes deux réponses : 20cm ou 12cm


maintenant d'un point de vu plus pragmatique la solution 12 cm semble tout de même plus plausible pour pouvoir distinguer la petite aiguille et la grande aiguille sur le cadran.


merci pour l'énigme ...et éventuellement merci pour le poisson !

Bonsoir!!

Je trouve deux solutions possibles à ce problème, ce qui m'a d'ailleurs perturbé suite à la lecture de

longueur petite aiguille 20cms

(re)Bonjour,

En supposant qu'il s'agisse bien d'une pendule de 12h et que la fourmi marche à vitesse constante :
je trouve que l'heure où il y a triangle équilatéral est \frac{38}{11} (càd environ 3h et 27min). A cette heure, la fourmi qui marche est à 12 cm du centre : la petite aiguille mesure donc 12 cm.

bonjour à tous, j'ai trouvé 20 cm

Bonjour,
L'angle entre la petite aiguille et la grande aiguille est de 60° lorsqu'il est 15h et 300/11 min.
La fourmi qui avance à 22cm/h a donc parcouru 10 cm.
Comme elles forment un triangle équilatéral, la longueur de la petite aiguille est de (22-10) 12 cm.

Merci pour l'énigme et bonne année 2007 à tous avec plein de bonheur

j'ai trouver que la petite aiguille mesurerait 12 cm.....



mdr

Vraiment elle est dure cette enigme j'ai du mal lol

A la fin faudra que tu explique bien la réponce ^^

Bonjour

désigne l'angle foré par la grande aiguille à 15h (verticale) et la grande aiguille au moment où elle forme avec la petite un angle de 60°
on a:


ou

on suppose que la fourmie avance à vitesse constante:
désigne la longueur de la petite aiguille ainsi:

1h->22cm
->22-x
avec



ou

Bonjour,
C'est 11.

Bonjour,
Je ne suis pas sure du tout mais je dis 14.66. (environ 15 ).



Aicha.

Bonjour,

Bonjour

La petite aiguille mesure soit cm soit cm en ayant supposé la vitesse de la fourmi constante.

Merci pour l'énigme

On exprime les angles fait par les 2 aiguilles en fonction du temps, et on recherche a quel instant cet angle est de 60° (la grande aiguille faisant 360° à l'heure, et la petite aiguille 30° à l'heure).

Une petite équation permet d'affirmer que l'angle est de 60° à un onzième d'heure, temps pendant lequel la fourmi à parcouru 2cm sur la grande aiguille.

Le petite aiguille mesure donc 20cm.

bonjour,

bon moi je trouve 2 solutions ...   
ça sent un peu le poisson parce que d'habitude dans ces cas-là, on peut trouver un petit

Challenge n°167 : trapèzes

Bonjour à tous !

Il y a 2 possibilités : la petite aiguille peut mesurer 12 cm ou 20 cm.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,
Je suis désolé mais je crois que je me suis trompée.
J'aurai du réfléchir un peu + mais bon.
Je ne sais pas si celui ci est bon.
Donc moi je propose 12.
Seulement j'hésite avec 12 et 20 mais je dis 12.
Ma réponse est 12.



Aicha.

Bonjour,

Entre 15 heures et 16 heures, les deux aiguilles forment deux fois un triangle équilatéral:

D'abord à 15h + (60/11) minutes = 15:05:27.2727...
Puis à 15h + (300/11) minutes = 15:27:16.3636...

Dans le premier cas, la fourmi de la grande aiguille a parcouru 60/11*22/60 = 2 cm.
Les fourmis forment alors un triangle équilatéral si la petite aiguille mesure 20 cm.

Dans le deuxième cas, la distance parcourue sur le grande aiguille est 300/11*22/60 = 10 cm.
Les fourmis forment un triangle équilatéral si la petite aiguille mesure 12 cm.

Un seul de ces deux cas se présente, suivant la longueur de la petite aiguille.

D'où ma réponse:

Deux solutions : 20 ou 12 centimètres.

A+,
gloubi
-

Bonjour à tous,
Bon, let us go.
Soit L la longueur de la grande aiguille et l celle de la petite.
On a dès lors la condition suivante:

A 15h00, les aiguilles de l'horloge forme une bas orthogonale. On la prendra désormais comme base de
référence pour tous les calculs qui suivront.
On y définit un RON direct.
On adoptera les conventions suivantes.
La fourmie 0 sera celle au centre, la 1 sera celle sur la petite aiguille, et 2 celle sur la grande.
M_1 représentera le point où se trouvera la fourmi 1, et M_2, celle où se trouvera la 2(On les associe à
des points, pour se simplifier la vie.)
Soit r la fonction qui associe à chaque instant "t" la distance de la fourmi 3 au centre du repère
choisi.(centre du pendule)
On a alors,
(t est exprimé en minutes)
D'où .
On garde ce résultat bien au chaud.
Soit la fonction qui associe à chaque instant "t" la valeur de l'angle
.
Après de fastidieux calcul(), on trouve qu'à tout instant t:

Soit la fonction qui à tout instant associe l'angle

Idem, après de longs et pénibles calculs () on trouve qu'à tout instant t:

Par ailleurs:





Si on suppose que la vitesse de la fourmi est constante au cours de son voyage, alors, il existe deux
possibilités pour « l ».
Soit, ou .
Finalement, on a :


Ayoub.

Ah, je crois que j'avais oublié de préciser ceci:
C'est l'énoncé (enfin, je pense) qui nous empêche de trancher entre ces valeurs, d'autant plus que la vitesse constante n'est qu'une hypothèses qui ne découle pas de l'énoncé.

bonjour

En utilisant excel et un logiciel de géométrie et en ayant simulé l'horloge minute par minute...

Je trouve que la petite  aiguille mesure 12 cm

La dernière fourmi aura alors avancé de 10 cm car sa vitesse est de 11/30 cm/h (chouette des vitesses fractionnnaires maintenant)
(La vitesse angulaire (je sais pas si cela se dit) de la grande aiguille étant de 6°/min alors que celle de la petite est de 0.5°/min)

L'événement a lieu à t=27.27... min, moment ou les 3 fourmis forment un triangle équilatéral...

Bon là je m'emporte : mon raisonnement est certainement faux
J'aurai essayé

Merci pour l'énigme

Salut !

Je trouve 13 arrondi au cm.
J'ai néanmois une petite remarque puisque les fourmis ( ne connaissant pas la taille de la petite aiguille) pouvaient formées deux triangles équilatéraux ! (si je ne me trompe pas !)

Merci Minkus pour l'énigme.

2 solutions sont théoriquement possibles pour la longueur de la petit aiguille 20 cm et 12 cm.
Cependant vu la faible différence de longueur entre le 2 aiguilles dans le 1° cas qui induirait de trop grandes difficultés de lecture de l'heure,   

Salut!

Je trouve que la longueur de la petite aiguille est de 12 cm (ce qui me paraît cohérent)^^

@+

Bonjour à tous,

Longueur de la petite aiguille = 20 cm.

bonjour,
si la vitesse de la fourmis est constante au long du trajet la longueure de l'aiguille serait 12,83 cm.
(un peut près 13 cm).

merci pour l'énigme.

Bonjour...

Alors pour avoir un triangle équilatéral il faut un angle de pi/3
On en trouve un soit après 3600/11 secondes (en gros 5 minutes) soit après 5*3600/11 (environ 27 minutes)
La fourmi, j'ai supposé sa vitesse constante, se sera déplacée respectivement de 2cm et de 10cm, donc la petite aiguille mesure soit 20cm (peu lisible) soit 12cm (plus vraisemblablement)

Sympa celle la tiens...

10 cm

bonjour,
je pense que la petite aiguille mesure 12 cm
merci pour cette énigme bien sympathique

On suppose que la vitesse de la fourmi est constante. Si l est la longueur cherchée, L=22, et t le temps (en heure) écoulé depuis le départ, la position de la fourmi sur l'aiguille est L(1-t) et l'angle orienté entre la petite et la grande aiguille est pi((1-t)/4-5t/3)=pi(3-23t)/12
cet angle vaut -pi/3 pour t=7/23. On en déduit l=L(1-t)=22*16/23=15,3 cm

Il faut que l'angle entre la grande et la petite aiguille fasse 60 degré.
Soient G et P l'angle formé respectivement par la grande et la petit aiguille dans l'heure T (0<T<1)
G=90+30T
P=360T
premier cas
G-P=90+30T-360T=60 soit 330T=30 T = 1/11
la petit aiguille fait
22-22/11=20 cm
deuxième cas
P-G=360T-90-30T=60 soit 330T=150 T=15/33
la petite aiguille fait
22-22 x 15 / 33= 6 cm

CONCLUSION
2 solutions: 20 cm ou 6 cm

20 cm ou 6 cm si la grande est avant la petite ou la petite avant la grande

2 solutions?

121/6 cm ou 17 cm

La petite aiguille mesure 19.86 centimètres.

Je pense que la fourmi qui se déplace sur la grande aiguille atteint le milieu de cette dernière, soit 11 cm, à 15h30 puisqu'elle met 1/2 h pour la traverser complètement (et que l'aiguille mesure 22 cm). A ce moment, la petite aiguille se trouve pile entre le 4 et le 5 de l'horloge et la fourmi qui se trouve à son extrêmité forme problablement un triangle avec les 2 autres fourmis, ce qui signifierait que la petie aiguille mesure 11 cm.
Je n'ai pas eu beaucoup de temps pour réfléchir à cette énigme, étant pressée... Quoi qu'il en soit, à force de parler d'elles, les fourmis ont rejoint mes jambes ! Lol ! Et oui, à force de rester assis devant un ordi., on en a les jambes qui fourmillent !!

la petit aiguille fait 16cm

Aprés calculs je trouve une longueur de 12cm pour la petite aiguille.

merci pour l'énigme et le poisson/smiler

Bonjour,

Comme certains ont fini par le comprendre, triangle unique ne signifie pas pour autant solution unique.

Il y avait bien é solutions, 20 cm et 12 cm, et les deux étaient acceptables. Personnellement je crois avoir déjà vu des horloges avec des aiguilles quasiment de la même taille.

Bien entendu la fourmi avancait toujours a la meme vitesse.