8X8=64X2=128
il y a 128 chemins possibles

La Tour ne pouvant aller à chaque coup que d'une case vers le haut ou vers la droite arrivera en h8 en 7 coups vers le haut + 7 coups vers la droite = 14 coups au total.
Le nombre de chemins est défini par le nombre de possibilités de placer les 7 coups vers le haut (par exemple) parmi les 14, soit C(14,7)=3432 coups au total pour arriver en h8.
Par contre aucune idée concernant l'indice.!!!

bonsoir, il s'agit d'un réseau carré et j'applique la formule (n+p)!/n!*p! avec n et p = 7

je trouve 3432

l'indice : le triangle de pascal

merci pour l'énigme

Pour répondre, je me suis souvenue de ce topic est ce de l'analyse combinatoire  

Bonsoir,

Ma réponse : il existe 3432 chemins.

Pour le démontrer, on peut par exemple dénombrer le nombre de mots de 16 lettres, contenant 8 fois la lettre H et 8 fois la lettre D (pour Haut et Droite). On tombe sur une formule du type (2n)!/(n!n!). Ce sont les nombres qu'on trouve au milieu de chaque ligne contenant un nombre impair de nombres du triangle de Pascal.

(re)Bonjour,
Il y a 14 mouvements à effectuer, la question étant "Où placer les 7 mouvements vers le haut ?"
Il y a C(14,7) façons de répondre à cette question : ma réponse est donc 3432. En revanche, je ne comprends pas l'indice.

PS : Merci à Minkus d'avoir pour une fois pensé aux gens diurnes en ne postant pas une (ou des) énigmes à miniuit...

Il faut effectuer 14 deplacements dont 7 à droite et 7 en haut.
On cherche parmi les 14 deplacement ceux qui seront à droite. On a C(14 7 ) donc 14!/(7!*7!)=3432.

On verifie que pour 4 cases, 2 deplacements 2!/(1!*1!)=2
3 déplacements: 4!/(2!*2!)=6

Solution: 3432

Bonsoir,

l'indice était peut-être un peu gros, non ?

Effectivement les déplacements sont régis par le triangle de Pascal...

Voici en image le nombre de chemins différents pour chaque case :



(l'image est pas terrible... mais bon)

La réponse attendue est donc le coefficient central de la 14ème ligne du triangle de Pascal =.

Merci pour l'énigme.

Il faut 7 billets comme cela pour arriver au bout

Bonsoir Minkus,

Le nombre de permutations avec répétitions de 14 éléments
( haut(h): se  répétant 7 fois
  droite(d): se répétant 7 fois)
est 14!/7!/7! = 3*8*11*13 = .

Merci Minkus pour la leçon de programmation

Quant à l'indice, je suppose que le billet est un Molière:

Bonsoir
un chemin possible est (hhhvvvhhhvvvhv) formé de 7h et de 7v
il s'agit du nombre de permutations avec répétition  de 14 objets dont h se répète 7 fois et v 7 fois  =>
=14!/(7!*7!) = 3.8.11.13 = 3432
A+

bonsoir à tous
je trouve 3432

Sur ses 14 déplacement élémentaires, il faut placer 7 mouvements verticaux.

Il existe donc chemins distincts.

il y a trois mille quatre cent trente-deux (3432) chemins
la tour répartit ses sept déplacements horizontaux sur huit rangées, ce qui peut être traduit par des nombres de huit chiffres dont la somme est sept; les chiffres différents de zéro donnent les configurations suivantes, avec pour chacune le nombre de déplacements (nombres différents); ici un nombre peut commencer par des zéros
7 8
61 56
52 56
43 56
421 336
331 168
223 168
115 168
1114 280
2221 280
1132 840
11113 280
11122 560
111112 168
1111111 8
total : 3432

indice 3432 = 33 (le malade imaginaire) x 104 (salle liégeoise de spectacles culturels)

salut,

héhé, ca me rappelle étrangement ce topic auquel j'avais répondu : reseau carre

Alors, pour aller de la case (a,1) que je pourrais noter (1,1) à la case (n,n), il faut 2(n-1) déplacements. Par déplacement, j'entends une montée ou un déplacement transverse par la droite.

Parmi ces 2(n-1) déplacements, il faut effectuer (n-1) montées et (n-1) déplacements transverses.
On remarque que si on fixe "les moments où l'on monte", alors les mouvements transerses sont aussi fixés.

On a donc alors chemins possibles.

Ce qui donne bien pour n=3, chemins, soit 6 chemins.

Donc pour aller à la case (h,8), il faut chemins possibles

Ptitjean

Bonjour à tous !

Pour aller de la case a1 à la case h8, il faut faire une permutation du chemin DDDDDDDHHHHHHH (D pour droite, H pour haut).
Il y en a donc (14!)/((7!)(7!)), c'est à dire 3432.

Merci pour l'énigme.

Bonjour, et merci pour cette énigme

Ma réponse est 3432 possiblités.

en effet, il faut 7 déplacements vers le haut et 7 déplacements vers le bas.

Compte tenu des permutations possibles, la solution est

                                             14!
Nombre de possibilités =  -----------
                                             7!7!

@ plus, Chaudrack

bonjour,

voilà comment je raisonne:
je regarde pour chaque étape (etape1 jusqu'en b2, etape2 jusqu'en c3, ...)
le nombre de possibilités en commencant par un déplacement vertical (il suffit de multiplier par 2 ensuite).
Je fais un tableau triangulaire qui indique dans chaque case le nombre de déplacement possibles pour chaque déplacement vertical de 1 / 2 / 3 ... cases selon l'étape.

par exemple pour l'etape 3 (jusque en d4): si je monte en a4 il y a 1 possibilité, si je monte en a3 il y en a 3, et en a2, il y en a 6 (nombre de possibilités de l'étape 2).
j'ai donc (1+3+6)*2 = 20 possibilités pour aller en d4.

Je ne calcule pas toutes les etapes a la main, à l'aide de mon tableau je vois vite que pour chaque ligne:
le 1^er élément est un 1, le dernier est egal au nombre de possibilités de l'étape précédente, et les éléments intermédiaires sont egal à la somme de l'élément de gauche et celui du dessus.

Pour l'étape 7 j'arrive donc à un total de 3432 chemins différents

merci pour l'énigme

_{PS: je ne comprends pas trop l'indice...}

Bonjour,

Effectivement, lorsque l'on calcule manuellement le nombre de chemins pour les premières cases b2, c3, d4,e5... on trouve 2, 6, 20, 70 chemins...
...résulats se trouvant dans le triangle de Pascal !

J'en déduis qu'il y a que la tour peut emprunter pour aller de la case a1 jusqu'à la case h8.

Merci Minkus et à bientôt, KiKo21.

bonjour,
c'est peut-etre aux, mais apparemment, lorsque l'on cherche tout les chemins pour traverser d'un bout à l'autre un carré de n cases de côte, on les trouve comme ceci: nx(n-1)x(n-2)......x1
là y'a 8 cases de coté, donc: 8x7x6x5x4x3x2x1=40320
il y a donc 40320 chemins possibles pour traverser l'échiquier en diagonale... pour l'indice jevois pas trop, la qualité est moyenne donc... mais c'est peut-etre le numéro du billet...

Re-bonjour,

Eh ben ce sera un beau poisson !!!!
Mauvaise lecture dans le triangle de Pascal !!!!

vitesse et précipitation : un ligne trop tôt !!! 1716 au lieu de chemins possibles.

Change de lunettes KiKo21 !!

8 chemins differents

la tour peut emprinter deux chemins différents pour aller de la case a1 et la case h8:
a1,a2,a3,a4;a5,a6,a7,a8,b8,c8,d8,e8,f8,g8,h8
a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8

Bonsoir

Je trouve chemins différents soit

Merci pour l'énigme

Il y a 3432 chemins différents.
C'est la somme des carrés des termes de la 8éme ligne du triangle de Pascal

140

Bonjour,

Il s'agit ici de prendre en fait 7 fois la case vers la droite parmi 14 déplacements (ou la case vers le haut, c'est pareil )
Soit A(14,7)/7! = 14!/7!(14-7)!=3432
J'ai beau chercher je ne vois pas le rapport avec Molière...En 1632 il y a bien la mort de sa mère (un 3 avril?)
J'aurai pu me tromper d'un facteur 2 (même si j'ai des gros doutes là dessus) mais en 1716 il était mort et enterré depuis un moment...
Bon, ben j'attends curieusement alors

Bonjour,

Il y a 56 chemins possibles: 2*(1+2+3+4+5+6+7)

gloubi
-

Je dirais 43 458

3432 (modulo erreurs de calcul comme dirait mon prof)

Pour trouver la solution de problèmes du même type, il faut remarquer que le nombre de façons d'aller sur une case est égal à la somme du nombre de façons d'aller à la case de gauche et du nombre de façons d'aller à la case du dessous.
La formule de récurrence étant établie, il ne reste plus qu'à faire les calculs.

Salut! Un chemin pour passer de la case a1 à la case h8 est composé de 14 déplacements!

Je trouve donc que le nombre de chemins possibles est :
N = 2+4+6+8+10+12+14+14+12+10+8+6+4+2 = 112 chemins possibles

@+

500

Le nombre de chemins pour atteindre une case située sur la diagonale principale descendante est égal au coefficient du binôme correspondant: 1 pour a8 et h1, 7 pour b7 et g2, 21 pour c6 et f3, 35 pour d5 et e4.
Tout chemin pour aller de a1 à h8 passe par une case de la diagonale, et par symétrie, il y a autant de chemins pour aller de a& à une case de la diagonale que pour aller de cette case à h8.
Le nombre de chemins pour aller de a1 à h8 est donc égal à
2(1^2+7^2+21^2+35^2)=3432

l'indice doit faire référence au célèbre triangle de Molière...

Quelquesoit le parcours, il y a 7 coups vers la droite et 7 coups vers le haut
Le problème revient à placer 7 coups vers la droite sur 14 coups
C(7,14)=3432

3432 revient à faire C(7,14)

Bonjour,

je trouve 1458.

Je ne suis pas sur de ma réponse, loin de là, mais je tente tout de même, c'est le jeu
Sur H8, il y a 64 cases mis en jeu, soit 8*8 cases ;
On trouve d'apres la formule que j'ai trouvé :
2ⁿ-2 où n est la longueur du carré constituant notre plateau,
Ainsi, si le point de destination est H8, la longueur de ce carré est 8 soit
2⁸-2 = 256-2 = 254.
Ma réponse est donc 254 ...

salut,
il y a 960800 chemins.

Merci pour l'énigme.

Bonsoir !

Pour cette énigme j'espère ne pas faire d'erreur et ne pas oublier de combinaisons possibles (je trouve toujours les problèmes de dénombrement un peu délicats)

je propose donc 1+7+28+84+210+462+924+1716=3432 chemins possibles pour aller de a1 à h8

A mon humble avis je dirai 2^7....

Bonjour a tous!

Après avoir fait un semblant d'arbre, je trouve 3432 chemins (sans conviction! )

Merci pour cette énigme!

Pour aller de la case a1 à la case h8 la tour peut emprunter 40320 chemins differents

Rigolo.
Il y a 14 déplacements à faire au total (7 à droite, 7 vers le haut).
Le tout est de choisir quand faire les déplacements vers la droite sur le total (choix de 7 sur 14): la solution est donc C⁷₁₄=14!/(7!*7!)
Pour voir, j'essaye de la calculer sans calculatrice ni tableur

14*13*12*11*10*9*8 / (7*6*5*4*3*2) = 2*13*2*11*2*3 = 143*8*3 = 1144*3 = 3432

Je pense qu'il y a 3432 itinéraires possibles, soit la combinatoire de 7 et de 14.

il faut faire 7 parmi 14 ie 3432
merci !

bonjour,

en utilisant les propriétés du triangle de Pascal, je trouve  3432 chemins différents.

Bonjour,

J'ai propose cette enigme a mes collegues dans le cadre de mon concours et plusieurs non matheux ont reussi a trouver. C'etait sans doute la plus difficile parmi celles que je leur ai proposees depuis le debut de l'annee.

Voici la correction que j'en ai donne.

Une résolution simple de ce problème passait par les deux remarques suivantes.

Remarque 1 : Pour arriver sur une case, on ne peut venir que de la case immédiatement à gauche ou de la case juste en dessous.

Remarque 2 : Un chemin venant de la case de gauche est obligatoirement différent d'un chemin venant de la case du dessous.

On en déduit le principe suivant :

« Le nombre de chemins arrivant sur une case est égal à la somme des chemins passant par la case juste à gauche et de ceux passant par la case en dessous. »

Par exemple, le nombre de chemins pour arriver en C3 est 6 car il y a trois chemins différents pour arriver par la case C2 et trois autres par la case B3.

En partant de la cause A1 en bas à gauche et en procédant à des itérations successives de ce principe, on peut compléter l'échiquier entier.

On obtient alors la grille ci-dessous.

1 8 36 120 330 792 1716 3432
1 7 28 84 210 462 924 1716
1 6 21 56 126 252 462 792
1 5 15 35 70 126 210 330
1 4 10 20 35 56 84 120
1 3 6 10 15 21 28 36
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1

On peut y remarquer une belle symétrie.

Voici une autre façon de voir le problème :

Pour rallier la case H8, 14 mouvements sont nécessaires : 7 vers le haut et 7 vers la droite. Si l'on note H et D de tels mouvements alors un chemin possible peut être représenté par un mot de 14 lettres tels que H H H H H H H D D D D D D D ou H D H D H D H D H D H D H D par exemple. Le dénombrement de ces « anagrammes » très utile dans le calcul des probabilités et qui se fait assez facilement avec de petits nombres a été formalisé par Blaise Pascal. C'est d'ailleurs son nom que porte aujourd'hui le fameux « triangle » que l'on peut voir dans la grille encadré par tous les 1, même si les Chinois l'avaient découvert bien avant lui. Ses applications sont nombreuses. Ainsi le nombre 3432 solution de l'énigme est aussi le nombre de groupes différents de 7 personnes qu'il est possible de former en choisissant parmi 14 personnes.

Pour l'indice je n'ai pas voulu mettre un "Pascal" alors je vous ai mis ce tres joli "Moliere".

Mais c'est vrai que certains ici n'ont connu que les euros ou les Marie-Curie

minkus

Il restait encore la solution de calculer à la main:
Sur les bords haut et droit: 1 possibilité.
Et à chaque case (i,j) on compte (i+1,j)+(i,j+1)