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DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales !*

Posté par
minkus Posteur d'énigmes 04-03-07 à 16:05

Bonjour,

Encore une pour la route !

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales !

"J'ai déjà essayé de payer mes impôts avec le sourire. Ils préfèrent un chèque." Jean Yanne.

La commune de Trigon est un triangle XYZ délimité par trois routes departementales, la d1, la d2, et la d3. Le parc zoologique est un carré ABCD, dont le côté CD est situé sur la d3, dont le sommet A est sur la d1, le sommet B sur la d2, et qui occupe 7/32 de la superficie de Trigon (voir figure, pas forcément juste!).

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales !


Quel est le rapport des distances de XA et XY ?

Bonne reflexion.

minkus

Posté par nobody (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 16:29

(rere)Bonjour,

Je suis obligé de supposer que le triangle XYZ est équilatéral, sans quoi le problème ne serait pas soluble.
Je pense que le rapport demandé est égal au rapport AB/YZ, que l'on peut calculer grâce au rapport des surfaces :
\sqrt{\frac{7\sqrt3}{32sqrt4}} soit environ 0.4353.

Posté par
Nofutur2re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 16:40

gagnéSoit a, le côté du carré, H la hauteur du triangle issue de X et k le rapport cherché,
On a :
YA/YX=a/H=1-k
H=1/(1-k)
YZ=a/k
En faisant le rapport des aires j'obtiens .
2k(1-k)=7/32
k2-k+7/64 =0
delta = 1-28/64 = 1-7/16 = 9/16
0<k<1 donc
k=XA/XY=1/2*(1-3/4)=1/8 ou k=1/2*(1+3/4)=7/8

Posté par nobody (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 16:51

En fait, je pense plutôt qu'il s'agit de 1/8 ou 7/8.

Posté par
jamo Moderateurre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 17:22

gagnéBonjour,

En utilisant Thalès, on trouve que le rapport x=XA/XY est solution de l'équation :

2*x*(1-x)=7/32

D'ou les 2 solutions : 1/8 et 7/8.

Illustration des 2 solutions :

Y1Z1=8 C1D1=1
Aire de A1B1C1D1 = 1
Aire de X1Y1Z1 = 32/7

Y2Z2=8 C2D2=7
Aire de A2B2C2D2 = 49
Aire de X2Y2Z2 = 49*32/7=224

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales

Posté par tigeradnan112 (invité)bonsoir 04-03-07 à 18:08

perdule rapport de xa et xyest7/32

Posté par
piepalmre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 18:28

gagnéSoit t le rapport cherché et H le pied de la hauteur issue de X sur YZ:
t=XA/XY=XB/XZ=HD/HY=HC/HZ=CD/YZ=1-BC/XH
Donc BC=(1-t)XH et CD=tYZ et comme 2BC*CD/XH*YZ=7/32
t(1-t)=7/64 donc t=1/8

Posté par
geo3re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 19:24

gagnéBonsoir
Je pense que c'est 1/8
A+

Posté par
geo3re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 20:14

gagnéRebonsoir
Voici 1 démonstration
7/8 est aussi un réponse possible
soient K et H les  pieds de la hauteur issue de A sur AB et YZ
on a  µ = XA/XY=AB/YZ=XK/XH et  AB =AD et AD = XH-XK   => AD/XH = 1 - XK/XH = 1 - µ  (*)
7/32 = aire carré / aire triangle = (AB².2)/(YZ.XH) =2(AB/YZ).(AB/XH)  et par (*)
7/32 = 2µ.(1-µ)  => 7 =64µ(1-µ) =>64µ²-64µ+7=0 =>
µ = (32+24)/64  ou (32-24)64
µ=1/8 ou 7/8
A+

Posté par
manpowerre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 21:44

gagné(Re)Bonsoir,

A partir d'une homothétie de centre X et de rapport k=XA/XY, on a:
AIre(ABX)/Aire(AXYZ)=k2 et (via Thalès) k=XI/XJ=2Aire(ABX)/(2Aire(ABX)+Aire(ABCD)).

Ce qui conduit à l'équation k2-k+7/64=0, qui admet deux solutions \rm \red k=\frac{1}{8} et \rm \red k=\frac{7}{8}.

Pas de figure pour moi et il y a certainement plus subtil (1 étoile + Trigon ?)...

Merci pour cette énigme.

Posté par
smilre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 04-03-07 à 22:32

gagnéje trouve ici deux valeurs possibles pout le rapport XA/XY, à savoir 1/8 et 7/8

Posté par
plumemeteorere : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 00:24

gagnébonjour
il y a deux solutions : 7/8 et 1/8 (0,875 et 0,125)
soit r ce rapport
xab / xyz = r²
soit xh la hauteur du triangle xyz
ayd / xyh = (1-r²); bcz / xhz = (1-r)²
(ayd+bcz) / (xyh+xhz)= (ayd+bcz) / xyz = (1-r)²
le triangle du haut est le grand triangle * r²
la somme des triangle de gauche et de droite est le grand triangle * (1-r)²
la somme des trois petits triangles est le grand triangle * (r²+(1-r)²
r²+(1-r)² = 25/32
2r²-2r+1 = 25/32
r = 7/8 ou r = 1/8

Posté par
chaudrackre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 09:14

gagnéBonjour,

Par construction, je trouve que le rapport XA/XY = 7/8

Merci pour l'énigme

@ plus, chaudrack

Posté par
caylusre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 10:40

gagnéBonjour Minkus,

3$ \frac{|XA|}{|XY|}=\fbox{\frac{1}{8}}\ ou\ \fbox{\frac{7}{8}}

Posté par
kiko21re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 10:48

gagnéBonjour,

Je trouve comme solution :

5$ \black \textrm \fbox{\frac{XA}{XY}=\frac{7}{8}}

Il existe deux cas particulier :
1) Y et D confondus (triangle rectangle en Y)
2) Z et C confondus (triangle rectangle en Z)
Pour ces deux cas, on a une solution supplémentaire 5$ \black \textrm \fbox{\frac{XA}{XY}=\frac{1}{8}}
Maintenant, est-ce que l'énoncé admet cette possibilité ? Sur la figure, Y est distinct de D et Z est dinstinct de C mais ces deux cas respecte l'énoncé...

Merci Minkus et à bientôt, KiKo21.
DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales
"Fontaine , je ne boirai pas de ton eau" un jour il jura...

Posté par
Livia_Cre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 18:21

gagnéBonjour,
Le rapport  XA/XY=1/8
         ou XA/XY 7/8
Merçi pour l'énigme.

Posté par jouddy (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 18:48

gagnéIl y a 2 possibilités : 1/8 et 7/8

Posté par
Nyavlysre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 05-03-07 à 19:50

gagnéBizarrement (?), je trouve deux solutions : 1/8 et 7/8.

C'est ma réponse!

Posté par
lo5707re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 06-03-07 à 16:03

perdubonjour.

Appelons le coté du carré: x.
La base YZ du triangle: y.
Et la hauteur du triangle en partant de X (XH): z.

L'aire du carré vaut x².
L'aire du triangle vaut \frac{yz}{2}.

On a donc: \frac{7}{32}x^2=\frac{yz}{2} (1).

Dans le triangle, on a les relations suivantes:
\frac{XA}{XY} = \frac{XI}{XH} = \frac{AB}{YZ}
càd \frac{XA}{XY} = \frac{z-x}{z} = \frac{x}{y}

D'après (1) on a \frac{x}{y} = \frac{16z}{7x}
On obtient: 16z² = 7 zx - 7x²
7x² - 7zx + 16z² = 0
x = 49z²-448
s'il y a 1 solution, le discriminant doit être nul.
49z²-448=0 -> z = 3,024 (arrondi)
et x = \frac{7z}{14} = 1,512 (arrondi)

On a donc le rapport \frac{XA}{XY} = \frac{1}{2}

merci pour cette énigme.

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales

Posté par
evaristere : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 06-03-07 à 21:50

gagné0,125 ou 0,875

Posté par
gloubire : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 07-03-07 à 13:11

perduBonjour,

Le rapport des distances de XA et XY est 7.

A+
gloubi

Posté par
Pesikore : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 12-03-07 à 17:51

perduLa rapport c'est le théorème de Thalés je pense.

Dans les triangles XAB et XYZ
Les points X, A, et Y et les points X, B et Z sont alignés dans le même ordre.
(AB)//(YZ)



XA/XY=XB/XZ=AB/YZ



Je suis une bille, mais j'éspère que c'est la bonne réponse

Posté par macyoyo (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 14-03-07 à 06:55

gagnéJe pense qu'il y a deux solutions.
- XA égale un huitième de XY
- XA égale sept huitième de XY

Posté par
infophilere : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 15-03-07 à 13:56

gagnéBonjour

-----

Démonstration

On a 4$ \frac{XA}{XY}=\frac{AB}{YZ}=r avec 4$ r le rapport d'homothétie des triangles 4$ XAB et 4$ XYZ.

Si on note 4$ H le projeté orthogonal de 4$ X sur 4$ [YZ] alors on a également : 4$ \frac{AD}{XH}=\frac{YA}{YX}=\frac{YX-YA}{YX}=1-\frac{YA}{YX}=1-r

Or 4$ AD=AB donc 4$ \frac{AB}{XH}=1-r\Leftright XH=\frac{AB}{1-r}

Mais 4$ \frac{AB}{YZ}=r\Leftright AB=r.YZ d'où 4$ XH=\frac{r.YZ}{1-r}

Par ailleurs il est clair que 4$ Aire(XAB)=r^2.Aire(XYZ)=r^2.S avec 4$ S la surface de la commune de Trigon.

On a aussi 4$ Aire(YAD)=(1-r)^2.Aire(XYZ) et 4$ Aire(BCZ)=(1-r)^2.Aire(XHZ)

Ainsi 4$ Aire(ABCD)=\frac{7}{32}S=Aire(XYZ)-Aire(XAB)-Aire(YAD)-Aire(BCZ)

Soit 4$ \frac{7}{32}S=S-r^2.S-(1-r)^2S

En divisant chaque membre par 4$ S on se ramène à l'équation suivante :

4$ 2r^2-2r+\frac{7}{32}=0

On obtient finalement 4$ \{r_1=\frac{1}{8}\\r_2=\frac{7}{8}

-----

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales

Posté par
freniclere : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 17-03-07 à 08:57

gagnéBonjour,

Prenons pour unité le côté du carré, et soient b = YZ la base et h la hauteur du triangle XYZ issue de X.
Comme l'aire du carré vaut 1, on a bh/2 = 32/7, et comme les triangles XYZ et XAB sont semblables, (h-1)/1 = h/b.
D'où les deux solutions b = 8, h = 8/7 et b = 8/7 et h = 8.

Le rapport cherché XA/XY, (qui est égal à (h-1)/h = 1/b) vaut donc 1/8 dans le premier cas et 7/8 dans le second.

Cordialement
Frénicle

Posté par qscgul (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 18-03-07 à 05:26

gagné1/8 ou 7/8

Posté par Delool (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 22-03-07 à 17:42

gagnéBonjour,

On sait que l'aire de carré est égale à 7/32ème de l'aire du triangle XYZ.
Donc AB\times AD\ =\ \frac{7}{32}\ \frac{XF\times YZ}{2}.
Donc \frac{AB}{YZ}\ =\ \frac{7}{64}\ \frac{XF}{AD}.

Il suffit ensuite d'appliquer le théorème de Thalès.

On trouve alors :
\frac{XA}{XY}\ =\ \frac{7}{64}\ \frac{XY}{XY-XA}.

Si on pose x\ =\ \frac{XA}{XY}, on trouve l'équation suivante :
x^2-x+\frac{7}{64}\ =\ 0.

Celle ci a deux solutions :
1/8 et 7/8 qui sont les rapports possibles de XA et XY.

Posté par Delool (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 22-03-07 à 17:44

gagnéOups, j'ai oublié l'image...

DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales

Posté par tytou5 (invité)possible 25-03-07 à 19:46

perduxa  est  la moitie de xy  et ils forment ensemble  une demi droite

Posté par
davidlabre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 26-03-07 à 04:40

gagnéIl y a deux solutions :

Solution 1 : XA/XY est 1/8.

Solution 2 : XA/XY est 8.

Posté par
lafol Moderateurre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 26-03-07 à 18:58

perduBonjouor, j'avais pourtant décidé de ne pas participer ce mois-ci pour rattraper mon retard de corrections de copies et de repassage
au risque d'un poisson, un truc du genre \frac{XA}{XY}=\frac{1}{8}\sqrt{25-\sqrt{429}}

Posté par
davidlabre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 27-03-07 à 00:09

gagnéBon, je voulais dire 1/8 et 7/8 évidemment...

Posté par
borneore : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 27-03-07 à 00:38

gagnéBonjour,

je trouve XA/XY = 7/8

Merci pour l'énigme  

Posté par
buggyre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 30-03-07 à 19:15

perdu* challenge en cours *

Posté par
matthieu73re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 30-03-07 à 23:25

perduBonsoir
mes réponses est:
\frac{XA}{XY}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{8}
ou
\frac{XA}{XY}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{8}
réponses trouvées par application du théorème de Thalès puis par résolution d'une équation du second degré...

Posté par
dhalteJ'adore Jean Yanne ! 31-03-07 à 01:06

perduEn décomposant le triangle suivant sa hauteur passant par X, on montre aisément que sa base ne varie pas en longueur si X ne varie pas en hauteur. Donc sa surface ne dépend que de la hauteur de X, pas de sa longitude. Prenons alors X aligné avec A et D., Sa surface en fonction de (y), hauteur de X, est (en posant coté du carré = 1) \frac12\frac{y^2}{y-1} et le rapport XA/XN est 1-\frac1y
Sa surface est \frac7{32}, ce qui donne y=\frac{56}7 ou y=\frac87 et le rapport vaut alors 7 ou \frac17

Posté par
rezoonsre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 31-03-07 à 13:25

perdula distance XA est 2 fois moins grande que la distance AY

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 01-04-07 à 13:17

Salut

Il y avait bien 2 solutions 1/8 et 7/8 mais une seule etait demandee.

Je vous laisse commenter les reponses car je suis en retard sur mes corrections...

minkus

Posté par
jamo Moderateurre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 01-04-07 à 13:45

gagnéBonjour,

il aurait pas mérité 2 étoiles celui-ci ??

Posté par mme math (invité)re : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 09-04-07 à 21:59

un huitiéme ou sept huitiéme

Posté par
jamo Moderateurre : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 09-04-07 à 22:01

gagnéBravo mme math !! 1 point de plus !!

Posté par
gloubire : DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales 10-04-07 à 14:15

perduBonjour,

Citation :
Le rapport des distances de XA et XY est 7.

Quelle âne !  

Dans ma tête j'ai toujours pensé XA et "A"Y.

Il doit y avoir un malin génie qui ne voulait pas me voir en tête...

A+,
gloubi
-

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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