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DEFI 169 : La bataille des planètes.***

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
08-06-07 à 16:19

Bonjour à tous,

A l'approche de la planète Olog, la flotte intergalactique du Général Bator s'organise. Alors que s'avance au centre l'armada en formation carrée commandée par le Général lui-même, les flottes du Maréchal Humot, sur le flanc gauche, et du Maréchal Hutier sur le flanc droit complètent le tableau, également en formation carrée.

Pour créer le surnombre avec la flotte adverse menée par le Maréchal Tainbank, le Général souhaite regrouper deux des trois flottes mais il hésite encore sur la tactique à adopter. Doit-il joindre sa propre flotte -la moins fournie des trois- à l'une des deux autres afin de conserver la dernière en renfort arrière ou bien doit-il regrouper les flottes de ses deux maréchaux afin qu'il aille ouvrir un véritable boulevard -le fameux boulevard des Maréchaux- au cœur des rangs de l'ennemi ?

Normalement la question ne devrait pas se poser car en vertu de l'Art de la guerre enseigné dans les écoles militaires de la planète Arium, un tel regroupement de deux flottes en formation carrée n'est possible que si la nouvelle flotte ainsi créée peut également s'organiser en formation carrée. Malheureusement, après avoir effectué quelques calculs simples, le Général Bator s'est apercu que quelle que soit sa décision (regroupement Bator-Humot, Bator-Hutier ou Humot-Hutier) la nouvelle flotte obtenue peut à chaque fois se mettre en formation carrée. De plus, il a remarqué que les nombres entiers de vaisseaux composant les trois flottes étaient premiers entre eux et qu'ils étaient les plus petits nombres vérifiant ces propriétés.

De combiens de vaisseaux au total la flotte Ariumite est-elle composée ?



Question subsidiaire 1 :

Avant la bataille, le Général avait remarqué que le regroupement de ses 3 flottes ensemble n'était pas possible car il ne pouvait alors se mettre en formation carrée. Il se demande alors si cela aurait été possible avec d'autres effectifs, c'est-à-dire s'il est possible que les 3 flottes, les 3 regroupements deux à deux et le groupement par 3 soient en formation carrée.

Qu'en pensez-vous ?

Question subsidiaire 2 :

Qui sont ces deux héros de l'espace intergalactique ?

DEFI 169 : La bataille des planètes.

Bonne réflexion.

minkus

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 08-06-07 à 17:57

gagnéLa réponse est :
1936  vaisseaux pour la flotte de Bator
13689 et 57600 vaisseaux pour les deux autres.
Soit un total de 73225 vaisseaux.
Pour la question subsidiaire 1, je pense que ce n'est pas possible..Mais à démontrer..

Posté par
frenicle
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 08-06-07 à 19:33

gagnéBonjour Minkus,

Un petite recherche numérique donne 73225 vaisseaux, dont 44² = 1936 pour la flotte de Bator, 240² = 57600 et 117² = 13689 pour les flottes de Hutier et Humot.

Je serais très intéressé par la réponse à la première question subsidiaire.

Quant à la deuxième, aucune idée, mais ils sont franchement ridicules, ces deux-là !

Cordialement
Frenicle

Posté par
jamo Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 08-06-07 à 19:35

gagnéBonjour,

la flotte est composée de 73225 vaisseaux.

En effet :

73225 = 44² + 117² + 240²

avec :

44² + 117² = 125²

44² + 240² = 244²

117² + 240² = 267²

et 1936 (44²) 13689 (117²) 57600 (240²) sont premiers entre eux.

Question subsidiaire 1

Il n'est pas possible de répondre à cette question, puisque c'est encore une conjecture non démontrée : on en sait pas si la brique parfaite d'Euler existe ou non :


Remarque : j'ai failli ne pas trouver, ayant fait une confusion entre "premiers entre eux" et "premiers entre eux 2 à 2". Je n'ai pas trouvé de solutions telles que les nombres soient premiers entre eux 2 à 2 ... en existe-t-il ??

Posté par Himred (invité)re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 08-06-07 à 23:09

perduIl y a exactement 196729 vaisseaux .

les flottes peuvent avoir les taiiles suivantes :

57600 63504 75625
57600 75625 63504
63504 57600 75625
63504 75625 57600
75625 57600 63504
75625 63504 57600

Question sub #1:
Je pense que c'est possible, mais ne peut le demontrer .

Question sub #2:
Aucune idee

Posté par
Mathieucote
La bataille des planètes. 09-06-07 à 02:46

perduBonjour,
je ne suis pas certain de la signmification de «formation carée», je suppose que cette foramtion nécessite un nombre au carré de vaisseaux (x²)
je pose donc que les 3 flottes sont constituée de a², b² et c² vaisseaux.
on dit que chaque regroupement composé 2 d'entre eux donne un nombre carré
soit a² + b²
     b² + c²
et   c² + a²

puisque les flottes sont premiers entre eux, il ne peut y avoir plus d'un nombre pair (parmi a, b et c)

par contre il n'y a aucun entier de x, y, z, qui vérifient l'équation
(2x+1)² + (2y+1)² = (2z)²
car 4z = √(4y²+4y+2+4x+4x²)
2z = √(y²+y+1/2+x+x²)

il doit donc y avoir un nombre pair par équations... donc au moins deux, ce qui ne respecte pas l'énoncé, je propose donc un problème impossible.


en espérant avoir bine compris l'énigme et ne pas recevoir de beau petit
merci

Posté par
manpower
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 09-06-07 à 09:16

gagnéBonjour,

hier soir je devais avoir les yeux sérieusement collés... car j'aurais répondu problème impossible.
La condition sur les entiers premiers entre eux ne veut bien sûr pas dire premiers entre eux deux à deux (pfff vraiment collés!!)
mais permet juste de resteindre la recherche aux triplets Pythagoricien primitifs (de la forme (m²-n,2mn,m²+n²).
En effet le plus petit triplet vérifiant les conditions imposés est primitif, il s'agit de 117,44,240 obtenu avec m=11 et n=2.

Vérification:
44²+117²=125²
44²+240²=244²
117²+240²=267²

Le général pirate Bator possède 44²=1936 vaisseaux, tandis que ses généraux en ont 117²=13689 et 240²=57600, ce qui nous fait la bagatelle de \red \rm 73225 vaisseaux.

QS1: Je pense que c'est impossible.
QS2: Les héros de "San Ku Kai", c'est la bataiiiilllle!

Merci pour cette énigme, les jeux de mots (j'ai un faible pour le Maréchal Tainbank) et d'entretenir le concours d'énigmes depuis plus d'un an maintenant.

Posté par
jamo Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 09-06-07 à 14:36

gagnéAllez, je réponds à la question subsidiaire en image.

Il ne fallait pas confondre "Sankukai" et "La Bataille des Planètes" !

DEFI 169 : La bataille des planètes.

Posté par
master_och
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 09-06-07 à 18:19

gagnéSalut

Je pensais au début que les flottes constitués de nombres premiers entre eux sont les flottes initiaux c.a.d celles de Bator ,Hutier, et Humot et là j'ai bloqué car tous les possibilités que j'ai essayé jusqu'à 300 000² n'ont pas vérifier cette condition, enfin si ce que je pensais au début est vrai j'aurai certainement le poisson .

Ma réponse donc supposera que les flottes en questions sont celles regroupants un couple de flottes initiaux je trouve alors les résultats suivant:

44² + 117² = 125²
44² + 240² = 240²
117² + 240² = 267²

125,240 et 267 sont bien premiers entre eux et ma réponse sera donc 44² + 117² + 240² = 73225 vaisseaux

Posté par
ben314-2
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 09-06-07 à 23:24

perduC'est embêtant, il y a une ambiguïté dans le sujet.
"De plus, il a remarqué que les nombres entiers de vaisseaux composant les trois flottes étaient premiers entre eux et qu'ils étaient les plus petits nombres vérifiant ces propriétés."
Cela concerne les flottes Bator, Humot, Hutier, ou les flottes Bator Humot, Bator Hutier, Humot Hutier?
Comme dans le premier cas je n'ai pas trouvé, on va dire qu'il s'agit du second cas. Dans ce cas là, je propose 543 049. C'est la première fois que j'utilise des engins informatiques pour traiter les énigmes, mais j'ai un gros doute sur le résultat. C'est bête, je n'ai pas trouvé de jolie manière pour traiter le problème.
Question intermédiaire numéro un: j'ai tenté de trouver un exemple, puis après j'ai tenté de démontrer que c'était pas possible. Dans les deux cas, échec total. On va donc dire que non (de toute manière on a une chance sur deux, hein)
Question intermédiaire numéro 2: pas d'idée.
Tout cela sent le poisson à des kilomètres, mais l'important, c'est de participer, n'est-ce pas?

Posté par Gtmath (invité)re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 10-06-07 à 09:16

perduBonjour et merci pour l'énigme,
D'après moi,cette énigme est impossible car il est impossible de former des flottes en carré sachant que leurs nombres de vaisseaux sont des nombres premier,car on doit,pour des nombre premier n'avoir que la possibiliter de faire "? x 1" ou "1 x ?".Or on dit "en carré" se qui signifie qu'on doit faire obligatoirement "? x 4" ou "4 x ?".Donc c'est impossible.
Bonne jounée.
Gtmath

Posté par
master_och
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 10-06-07 à 16:31

gagnéBonjour

pour la question subsidiaire 1: j'ai du mal à imaginer un général qui est sur le point d'entrer à une guerre pareil et qui laisse tt pour réflechir à un problème mathématique aussi compliqué, il doit être complétement singlé!! , mais bon se sera pas trés surprenant pour moi car j'aurai dû faire la même chose .Ma réponse donc pour cette question sera impossible de vérifier ces conditions avec des flottes intiaux contenant des nombres de vaissaux inferieur à 200000².
pour la 2ème question subsidiaire j'en ai aucune idée.

Merci pour l'énigme que je trouve trés sympa

Posté par
chaudrack
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 11-06-07 à 16:18

gagnébonjour

Je pense que la flotte au complet se compose de 73225 vaisseaux

Exemple:

Flotte du Général Bator :1936 (44²)
Flotte du Maréchal Humot :13689 (117²)
Flotte du Maréchal Hutier :57600 (240²)

Formation possible:

regroupement Bator-Humot : 15625 (125²)
regroupement Bator-Hutier : 59536 (244²)
regroupement Humot-Hutier : 71289 (267²)

De plus, 1936,13689 et 57600 n'ont pas de diviseurs en commun hormis 1.

Pour la question subsidiare, peut-être plus tard

@ plus, Chaudrack

Posté par
lafol Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 11-06-07 à 23:21

gagnéBonjour
la flotte contient 44²+117²+240² vaisseaux

(44²+117²=125², 117²+240²=267² et 44²+240²=244², avec 44², 117² et 240² premiers entre eux dans leur ensemble)

Posté par
lafol Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 11-06-07 à 23:22

gagné13° à répondre sur le défi 13².... si avec ça je ne ramasse pas de poisson...

Posté par
gloubi
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 13-06-07 à 10:56

gagnéBonjour,

La flotte Ariumite est composée de 73225 vaisseaux: 1936 pour le Général Bator, 13689 et 57600 pour ses Maréchaux.

Question subsidiaire 1: je pense que c'est impossible.

Question subsidiaire 2:

A+,
gloubi
-

Posté par
piepalm
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 15-06-07 à 10:13

gagnéC'est là une variante du problème du cuboïde entier (parallèlépipède rectangle dont les cotés et les diagonales sont mesurés par des entiers) Si x, y, z, sont les cotés, une infinité de solutions est donnée par x=a(4b^2-c^2) y=b(4a^2-c^2) z= 4abc , où a, b, c est un triplet pythagoricien a^2+b^2=c^2
On a bien alors y^2+z^2=u^2, z^2+x^2=v^2, x^2+y^2=w^2 avec
u=b(4a^2+c^2) v=a(4b^2+c^2) w=c^3
La solution minimale est obtenue avec a=3, b=4, c=5 soit x=117, b=44 et c=240. Ce qui donne x^2+y^2+z^2=73225 qui est le nombre de vaisseaux cherchés.
Il n'existe pas de cuboïde tel que sa diagonale soit aussi entière, c'est à dire x^2+y^2+z^2 égal au carré d'un entier; mais je ne pense pas qu'il en existe une démonstration; tout au plus peut on démontrer qu'il n'en existe pas dans les solutions de la forme donnée ci-dessus (mais il y en a d'autres: par exemple si x, y z sont solutions, yz, zx, xy également...)

Posté par
lo5707
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 15-06-07 à 17:26

gagnébonjour,

j'ai cru que je ne trouverai jamais...

enfin bon, après quelques jours de recherche,
ma réponse est: 73225 vaisseaux
ça c'est une flotte de chez flotte !

il y a:
une flotte de 1936 (=44²) vaisseaux
une flotte de 13689 (=117²) vaisseaux
une flotte de 57600 (=240²) vaisseaux

et on a:
1936 + 13689 = 125²
1936 + 57600 = 244²
13689 + 57600 = 267²

Ils sont bien premiers entre eux (mais était-ce bien utile de le préciser car ce sont de toutes façons les plus petits je pense)

Pour ce qui est de la question subsidiaire 1, je ne comprends pas très bien mais il me semble que ce n'est pas possible
Et la deuxième, j'en ai aucune idée...


Merci pour cette énigme

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 18-06-07 à 09:37

perduen fait, le général a une flotte holographique pour faire super peur au autres troupes... donc je propose je propose 0 , 9 et 16 tous des carré et 9, 16, 25 sont ausi des carré... de plus il sont premier entre eux, et puis ce sont les plus petits nombre vérifiant cela... pas persuader de ma réponse moi

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 18-06-07 à 09:37

perduj'avais pas fini, la flotte est do nc composée de 25 vaisseaux...

Posté par Wismerhill (invité)C'est la bataille ;o) 20-06-07 à 19:22

gagnéSalut à tous,

La flotte Ariumite est composée de 73225 vaisseaux, avec :

1936 vaisseaux pour le Général Bator C\'est la bataille ;o)

13689 vaisseaux pour le Maréchal Humot C\'est la bataille ;o)

57600 vaisseaux pour le Maréchal Hutier C\'est la bataille ;o)

Question subsidiaire 1 :
Je pense que ce n'est pas possible, je n'ai aucune explication à fournir, j'ai juste fait tourner mon petit programme pendant une douzaine d'heure (exploration de toute les possibilités dans une boucle) et il n'a rien retourné. C'est sur, ça prouve rien mais j'ai pas mieux
Pour compenser j'ai recherché les photos des principaux chefs militaire.

Question subsidiaire 2 :
Alors en rouge on a : Ryu (Staros) et en blanc Ayato (Fantôme ou la mariée )

Je vais peut-être me ramasser un gros poisson mais je me serais bien marrer avec cette énigme.

Merci Minkus
@+
Wis

Posté par Delool (invité)re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 22-06-07 à 16:28

gagnéBonjour,

Grâce à Excel, j'ai trouvé deux triplets, de nombres premiers entre eux, qui peuvent convenir :
(1936,13689,57600) et (57600,63504,75625).

Etant donné qu'on veut les plus petits nombres, il faut choisir le premier triplet, ce qui fait un nombre total de vaisseaux de 73225.

En effet ce nombre se décompose en :
\begin{tabular}{rcl}73225&=&44^2+117^2+240^2\\&=&125^2+240^2\\&=&244^2+117^2\\&=&44^2+267^2\end{tabular}

Posté par
dhalte
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 24-06-07 à 17:40

gagné73225
les cotés des 3 carrés : 44 117 240
non, la somme de 3 carrés parfaits ne peut être un carré parfait
(Une sombre histoire de division par 3 dans les triplets de pythagore)
Les deux super héros sont d'une autre galaxie, ou du moins d'un autre temps, en tout cas j'étais pas né.

Posté par
torio
Défi 196 25-06-07 à 22:12

gagnéSi a,b et c premiers entre eux signifie PGCD(a,b,c) = 1 alors :

Bator 1936 Vaisseaux
Humot 13689 Vaisseaux
Hutier 57600 Vaisseaux
Total des vaisseaux : 73225


A+
Torio

Posté par
xtasx
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 26-06-07 à 17:43

gagnéLa flotte Ariumite est composée d'un total de :
1936+13689+57600 = 73225 vaisseaux.

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 18:22

Salut,

Non non jamo je ne confonds pas la Bataille des planetes avec Sankukai car alors que je n'ai pas le souvenir d'avoir vu un seul episode du premier, je possede en revanche la collection complete en DVD du 2e

Si j'ai choisi la Bataille des planetes comme titre c'est parce que ca sonnait mieux que "C'est la bataille !".

Les deux personnages "franchement ridicules" ( frenicle) etaient donc bien Ryu et Ayato ou plutot Staros et le Fantome puisqu'ils sont en tenue de combat

Concernant l'enigme elle-meme, il s'agissait en effet de la recherche de "boites d'Euler" dont toutes les aretes et les diagionales de face sont des entiers. Celle demandee etait une boite primitive. Et comme le remarquent jamo et manpower, il ne fallait pas confondre "premiers entre eux" et "premiers entre eux 2 a 2"

>Nofutur :

Citation :
Pour la question subsidiaire 1, je pense que ce n'est pas possible..Mais à démontrer..


Au boulot ! C'est une question non encore resolue a l'heure actuelle, meme si la tendance est plutot negative.

minkus

Posté par
master_och
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 19:13

gagnébonjour

En fait j'ai une petite propositon à faire:

il nous arrive souvent de mal comprendre l'énigme à cause d'une petite ambiguité dans l'énoncée (enfin les posteurs d'énigmes sont des êtres humain et il leur arrive de se tromper ...), et puisque il est interdit de discuter les challenges en cours, je me demande s'il sea possible de demander une petite explication au posteur d'énigme là où on trouve un manque de détail(et de cette facon personne à part le posteur d'énigme ne pourra voir la question), si le posteur d'énigme trouve que la question est dans sa place il répond de tel facon à ce que tt le monde puisse voir ce détail, sinon il ne répond pas.

et voilà ce n'est qu'une proposition .

Posté par
infophile
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 19:15

master_och > Il m'est déjà arrivé de faire une remarque sur l'ambigüté d'un énoncé, je pense en particulier à l'énigme des Daltons dont l'énoncé n'était pas clair. Il suffit d'envoyer un mail à minkus

Posté par
master_och
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 19:23

gagnéah ok, je le savais pas merci pour me l'avoir signalé .

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 19:24

Oui il y a eu des precedents Mais il ne faut pas trop s'impatienter pour avoir une reponse car cette boite mail n'est pas celle que j'utilise quotidiennement et je la controle rarement. Ou alors il faut me le dire

Posté par
infophile
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 19:25

minkus > Mais si l'on te prévient dans le topic de l'énigme, notre réponse est validée aussi

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 21:06

perdudommage, j'y croyait a ma réponse

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 21:47

perduplus sérieusement, a part programmer, est-ce qu'il y avait une possibilité de trouver la solution mathématiquement pour un élève de première ?

Posté par
jamo Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 21:51

gagnéUn peu difficile en 1ère !

Il faudrait établir la liste des triplets pythagoriciens, c'est à dire les triplets d'entiers tels que a²+b²=c² (exemple : 3²+4²=5²), puis chercher ceux qui peuvent coller ...

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 22:00

perdurien que ca
ok, c'est pas grave

Posté par
simon92
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 22:02

perduen fait, c'est tellement long que ca devient impossible...

Posté par
jamo Moderateur
re : DEFI 169 : La bataille des planètes.*** 01-07-07 à 22:07

gagnéEn réfléchissant un peu, y a sans doute une méthode d'y arriver "à la main", c'est de l'arithmétique, il faudrait mettre quelques variables ... mais je n'ai pas essayé.

Regarde les réponses qui ont été données, on trouve des choses intéressantes (par exemple piepalm) ...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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