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Niveau 3 *
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DEFI 192 : Le big bang.***

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
25-11-07 à 12:53

Bonjour,

Prêts pour un peu de géométrie ?

DEFI 192 : Le big bang.

Trois étoiles, A302, B47, et C112, occupaient en 1765 les positions A, B, C comme indiqué sur la figure ci-dessous :

DEFI 192 : Le big bang.

Les astronomes ont observé qu'elles s'éloignaient les unes des autres, en restant dans un même plan, et en se déplaçant suivant des trajectoires rectilignes selon les directions indiquées sur le dessin, à une vitesse constante. Ainsi, tous les dix ans, l'étoile A302 parcourt la distance CA, l'étoile B47 la distance AB, l'étoile C112 la distance BC.

Lors de la dernière observation, elles occupaient les sommets A', B', C' d'un triangle d'aire 1027 fois supérieure à l'aire de ABC.

Quelle était l'année de cette dernière observation?

Bonne réflexion.

minkus

Posté par
Nyavlys
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 13:44

perduLes étoiles se sont éloignées chacune de 18.52 fois leur distance initiale. Elles auront mis 185.2 années. Et donc l'année d'observation est l'année 1950. Merci pour l'énigme !

Posté par
manpower
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 13:51

gagnéBonjour,

un peu de géométrie... cool !
A l'étape 1 le triangle A'B'C' est 7 fois plus grand que le triangle de départ ABC (classique).
Ensuite à l'étape n, on montre que le triangle AnBnCn est 3n(n+1)+1 fois plus grand que celui de départ,
il faut donc résoudre l'équation entière 3n(n+1)+1=1027 qui a pour solution n=18 (n=-19 exclue).

Au bout de 18 itérations (soit 180 années), le triangle formé sera 1027 fois plus grand ce qui nous amène à la date de 3$ \red \rm 1945 (le big bang?).

Merci pour cette énigme très sympa.

Posté par
jamo Moderateur
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 14:07

gagnéBonjour,

sans passer par les calculs, un petit coup de Geogebra montre qu'il faut k=18 cycles de 10 ans, donc :

1765+10*18=1945.

Donc la réponse est en 1945.

DEFI 192 : Le big bang.

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 14:25

gagnéEn utilisant les produits vectoriels on trouve k=18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18*10=1945.

Posté par
minitortue14
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 14:28

perdu1868 je pense

Posté par
plumemeteore
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 14:36

gagnébonjour Minkus
la dernière observation a eu lieu en 1945 (1765 + 10*18)
soit d le nombre de dizaines d'années entre deux observations
les aires de deux triangles ayant des angles égaux et supplémentaires sont proportionnelles aux produits de leurs côtés limitant ces angles
l'aire de chacun des triangles A'AB, B'BC et C'CA égale d(d+1) l'aire du triangle de ABC
3d(d+1)+1 = 1O27
d(d+1) = 342
d = 18

Posté par
dhalte
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 15:49

gagnéL'observation a été faite 180 ans plus tard, c'est à dire en 1945

Il est à remarquer que ces étoiles formaient aussi 190 ans avant 1765 un triangle de même surface qu'en 1945 , c'est à dire en 1575.

Posté par
EleSsar0
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 16:00

perduMême si je sais que ce n'est surement pas ça je vais quand même tenter ma chance!
Je dirai en 2278.
Qui ne tente rien n'a rien...

Posté par
rogerd
Le big bang 25-11-07 à 17:50

gagnéEncore une jolie énigme!
Comme pour l'énigme "Challenge n°80", on pourrait se ramener, en infligeant à la figure une transformation affine, au cas où le triangle ABC est équilatéral, mais, même dans ce cas simple, le calcul du rapport de similitude entre les triangles ABC et A'B'C' n'est pas immédiat.
Raisonnons donc directement. Le triangle ABC est quelconque.

Soit x le nombre d'années écoulées entre 1765 et la dernière observation.
Posons k=x/10.
distanceAA'=kdistanceAC.
De même BB'=kAB donc AB'=(k+1)AB.
Aire(ABC)=1/2.AB.AC.sin(A) et
Aire(AA'B')=1/2.AA'.AB'.sin(Pi-A).
On en déduit que Aire(AA'B')=k(k+1)Aire(ABC).
Les aires des triangles CA'C' et BB'C' ont aussi cette valeur.
Donc Aire(A'B'C')=(3k(k+1)+1)Aire(ABC).
Donc 3k(k+1)+1=1027.
Donc k(k+1)=342.
L'unique solution k=18 est en évidence.
Donc x=180.
La dernière observation a eu lieu en 1945.

Posté par
Eric1
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 18:13

gagnéj'obtiens:

(1+3k(k-1))=1027, avec k tel que BC'=kBC; CA'=kCA et AB'=kAB


soit k(k-1)=342, donc k=19


sachant qu'en 1765; k=1

donc en fait, la dernière observation date de 1765+10*(k-1)=1945

Posté par
master_och
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 19:17

gagnébonsoir

L'observation est faite après 180 ans de la date initiale.
Donc la date de l'observation est 1765 + 180 = 1945.

Merci pour l'énigme que je trouve très difficile mais sympa .

Posté par
Livia_C
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 21:08

gagnéBonsoir,
1945
Merçi pour l'énigme.

Posté par
Mathieucote
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 21:44

gagnébonjour
je dirais que c'est en 1945 que l'aire du nouveau triangle était 1027 fois l'aire du traingle de 1765.

Mathieu

Posté par
dami22sui
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 25-11-07 à 23:54

gagnéSalut minkus
Sacree enigme!
J'ai du utiliser excel en partant des coordonnees des 3 points, puis en faisant l'equation de (AB), la distance entre (AB) et C, l'aire du triangle et enfin le rapport sur l'aire de depart. Ce rapport ne varie qu'avec le temps, quelles que soient les positions de depart.
Voici le rapport en fonction de l'annee
1765        1
1775        7
1785        19
1795        37
1805        61
1815        91
1825        127
1835        169
1845        217
1855        271
1865        331
1875        397
1885        469
1895        547
1905        631
1915        721
1925        817
1935        919
1945       1027
1955        1141
1965        1261
1975        1387
etc...
Donc en 1945, les etoiles ont fait un triangle 1027 fois plus grand qu'en 1765


P.S. Si quelqu'un est interesse par la feuille Excel, je peux toujours lui envoyer...

Posté par
jacques1313
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 02:00

perduNotations : a=BC, b=AC, c=AB. Et soit t le temps écoulé en années depuis 1765.
On a : AA'=bt/10, BB'=ct/10, CC'=at/10 et A'C=b(1+t/10), B'A=c(1+t/10), C'B=a(1+t/10).
L'aire du petit triangle vaut : S=½(bc sin A)
Et je trouve que les trois triangles AA'B', BB'C' et CC'A' ont la même aire, égale à : S×(t/10)×(1+t/10).
On a donc l'équation suivante :
102700=3t(10+t), soit 3t²+30t-102700=0
La solution positive donne : t=5/3√12333185,09 ans.
La réponse serait donc 1765+185=1950

Posté par
Flo08
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 10:20

gagnéBonjour,

En posant n le nombre de décennies entre 1765 et l'année de la dernière observation, et après quelques manipulations des formules des aires des triangles A'AB', A'CC' et B'BC', j'arrive à la formule suivante :

\frac{S(A'B'C')}{S(ABC)}=3n^2 + 3n + 1

Après simplifications, j'arrive à l'équation n² + n - 342 = 0, dont la racine positive est n = 18.

L'année de la dernière observation est donc 1765 + 180 = 1945.

Posté par
piepalm
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 11:03

gagnévoir https://www.ilemaths.net/sujet-univers-en-expansion-47434.html
ici 1+3n+3n^2=1027 donc n=18 . La dernière observation date de 1765+180=1945

Posté par
chaudrack
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 11:27

gagnébonjour,

J'ai tenté une résolution graphique sur un triangle quelconque et par déduction,

Je trouve que la surface du triangle sera 1027 fois plus grande en 1945

Ci-joint mon dessin de départ

DEFI 192 : Le big bang.

Merci pour cette énigme

@ plus, Chaudrack

Posté par
gloubi
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 13:10

gagnéBonjour,

Soit Tn la date d'observation de l'année 1765+10n
et S l'aire du triangle ABC en 1765.

A la date Tn, l'aire du triangle vaut S'n = S+3n(n+1)S

On cherche S' tel que S'=1027 S

1+3n(n+1) = 1027
n(n+1) = (1027-1)/3
n = 18

Date de l'observation: 1765+18*10 = 1945.

A+

Posté par
torio
big bang défi 192 26-11-07 à 17:11

perduaprès  1 fois  10 ans l'aire est 7 fois plus grande
après  2 fois  10 ans l'aire est 19 fois plus grande
après  3 fois  10 ans l'aire est 37 fois plus grande
après  4 fois  10 ans l'aire est 61 fois plus grande
après  5 fois  10 ans l'aire est 91 fois plus grande
etc.
après  18 fois  10 ans l'aire est 1027 fois plus grande

c'était donc en 1975

A+
Torio

Posté par
ITMETIC
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 17:28

gagnéL'année de l'observation on a BC'=nBC, AB'=nAB et AC'=nAC

Appelons a la distance BC et h sa hauteur du triangle ABC. La surface de ABC est s(ABC)= ah/2

Dans le triangle BB'C' la hauteur est nh et BC'=(n+1)a
s(BB'C')=nh(n+1)a/2=n(n+1)*ah/2=n(n+1) s(ABC)

On peut faire le même raisonnement pour CC'A' et AA'B'

En final S(A'B'C')=(3n(n+1)+1) s(ABC)

On a don 3n²+3n+1=1027 d'où on obtient n=18

Il s'est donc passé 18 fois 10 ans depuis 1765

L'observation a eu lieu en 1945

Posté par
borneo
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 18:09

gagnéHello,

cette observation a eu lieu en 1945  

Posté par
kiko21
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 26-11-07 à 20:19

gagnéBonsoir,

L'année de cette dernière observation était 5$ \magenta \fbox{\textrm 1945}

Merci et à +, KiKo21.

Posté par
frenicle
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 27-11-07 à 00:00

gagnéBonsoir minkus

Si d désigne le nombre de décennies écoulées depuis la première observation, l'aire du triangle A'B'C' est égale à (3d² + 3d + 1) fois celle de ABC.
Comme 3.18² + 3.18 + 1 = 1027, 18 décennies, ou 180 ans, séparent les deux observations.

La dernière observation a donc eu lieu en 1945.

Cordialement
Frenicle

Posté par
mouss_34
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 27-11-07 à 21:49

perdu\red{}\box{\{je pense sans etre sur que c 2002}}

Posté par
lafol Moderateur
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 28-11-07 à 11:57

perduBonjour

si j'appelle r_n le rapport entre l'aire en 1765+n et l'aire en 1765, r_n=3n^2+3n+1.
(je ne cache pas que j'ai fait confiance à geoplan pour trouver les premiers termes, 7, 19 = 7+2*6, 37 = 19 +3*6, 61 = 37 + 4*6 etc, d'où j'ai conjecturé r_n=r_{n-1}+6n, et par addition des n formules, le résultat.)

l'équation r_n=1027 n'a qu'une solution positive, 18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18=1783

(géoplan toujours a confirmé qu'en 18 étapes, on multiplie l'aire initiale par 1027)

j'aime ce genre d'énigme, pas trop "bouffe-temps"

Posté par duxa (invité)re : DEFI 192 : Le big bang.*** 28-11-07 à 15:22

perdux : coefficient
. : multiplié
* : multiplié
a : aire
b : base
h : hauteur
^ : puissance


a=(b * h)/2
on augmente de x les dimensions du triangle :
A=(x.b * x.h)/2
A=x^2(b*h)/2
A = a.x^2

x= 1027^0.5 = 32.05

320.5 ans soit en 2045.5????
Soit je me plante, soit ces étoiles n'existent pas, soit vous avez inventé les noms de ces objets célestes.

Posté par
franz
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 29-11-07 à 22:26

gagné 4$\red 1945

Posté par
chocwoman
le bing bang 30-11-07 à 17:09

gagnéla dernière observation a eu lieu en 1945

Posté par tbecker (invité)re : DEFI 192 : Le big bang.*** 03-12-07 à 16:35

On a :A(A'B'C') = A(ABC) 1027

Soit : B'h' = B h1027

et 1027 = 13 79

Donc deux hypothèses:

1- Soit B'C' = BC79

et donc 7910 = 790 ce qui nous amène a 2555 !!!

2- Soit B'C' = BC 13
et donc 7910 = 130 ce qui nous amène a 1895

Je dis donc que la dernière observation est en 1895

Posté par lc51 (invité)re : DEFI 192 : Le big bang.*** 06-12-07 à 18:29

perdule dernière observation date de 1785

Posté par
alexandros
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 10-12-07 à 19:54

perdu12035 est la reponse

Posté par
isisstruiss
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 12-12-07 à 12:01

gagnéBonjour,

Je calcule la surface du triangle après 10k années. (k\in\mathbb{N})

Je découpe la surface en 4 triangles comme indiqué sur mon dessin. Le triangle central est ABC de l'an 1765, notre référence. Je calcule la surface du triangle hachuré:
\array{3$A(CC_kA_k)&=&\frac{1}{2}\cdot ka\cdot(k+1)b\cdot\sin(\pi-\gamma)\\&=&k(k+1)\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)\\&=&k(k+1)A(ABC)\\}

On obtient le même résultat pour les deux triangles AA_kB_k et BB_kC_k.

La surface totale vaut
A(A_kB_kC_k)=(3k(k+1)+1)A(ABC)\Longrightarrow\frac{A(A_kB_kC_k)}{A(ABC)}=3k(k+1)+1

Ce rapport vaudra 1027 pour k= 18, donc en l'an 1765+18*10=1945.

Isis

DEFI 192 : Le big bang.

Posté par
davidh
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 13-12-07 à 19:02

gagnéBonjour,

Considérons le triangle ABC, son aire est 1/2.AB.AC.sin est l'angle au sommet A.

Après 10n années, le point A est en A1, B en B1 et C en C1.
L'aire du triangle A1AC1 s'écrit 1/2.AA1.AC1.sin or AA1 = n.AB et AC1 = (n+1).AC
L'aire du triangle A1AC1 est donc égale à celle du triangle ABC initial multipliée par n(n+1).

On démontre de la même manière que les triangles C1CB1 et B1BA1 ont une aire égale à n(n+1) fois celle du triangle initial.

L'aire du triangle A1B1C1 est égale à la somme des aires des triangles ABC, A1AC1, C1CB1 et B1BA1.

L'aire du triangle A1B1C1 est donc égale à (1+3n(n+1)) fois l'aire du triangle ABC.

L'équation (1+3n(n+1))=1027 conduit à n=18.
La dernière observation a donc lieu 180 ans après celle de 1765.
L'année de la dernière observation est donc 1945

Voila, merci pour l'énigme.

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 17-12-07 à 09:39

Bonjour,

Fin de ce mois de novembre !

La réponse était 1945.

Beaucoup de bonnes réponses avec des méthodes très variées. Bravo à tous ceux qui ont trouvé.

Comme le fait remarquer piepalm, cette énigme a déjà été proposé, il y a un bail

Désolé torio et lafol mais le calcul de la date faisait aussi partie du problème. Il faut toujours relire l'énoncé avant de poster sa réponse

Citation :
(géoplan toujours a confirmé qu'en 18 étapes, on multiplie l'aire initiale par 1027)


Et géoplan, il ne fait pas 18*10 ??

duxa :

Citation :
Soit je me plante, soit ces étoiles n'existent pas, soit vous avez inventé les noms de ces objets célestes.


Les 3 mon capitaine !

Enfin pour ceux qui se sont demandés pourquoi j'avais choisi cette image. C'était pour donner un indice, 1945 étant en effet l'année d'Hiroshima. Et comme je venais de revoir le merveilleux "Dr Strangelove"... (Merci Arte pour ce mois Kubrick !)

minkus

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 17-12-07 à 09:40

Bravo à plumemeteore qui obtient un 2e bien mérité

Posté par
borneo
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 17-12-07 à 12:29

gagnéOui, bien mérité  

Posté par
lafol Moderateur
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 17-12-07 à 12:32

perduLe mieux de l'affaire, c'est que c'était en gras .... bien mérité, mon

Posté par
master_och
re : DEFI 192 : Le big bang.*** 17-12-07 à 13:44

gagnéFélicitations plumemeteore !!

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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