Bonjour,
Prêts pour un peu de géométrie ?
Trois étoiles, A302, B47, et C112, occupaient en 1765 les positions A, B, C comme indiqué sur la figure ci-dessous :
Les astronomes ont observé qu'elles s'éloignaient les unes des autres, en restant dans un même plan, et en se déplaçant suivant des trajectoires rectilignes selon les directions indiquées sur le dessin, à une vitesse constante. Ainsi, tous les dix ans, l'étoile A302 parcourt la distance CA, l'étoile B47 la distance AB, l'étoile C112 la distance BC.
Lors de la dernière observation, elles occupaient les sommets A', B', C' d'un triangle d'aire 1027 fois supérieure à l'aire de ABC.
Quelle était l'année de cette dernière observation?
Bonne réflexion.
minkus
Les étoiles se sont éloignées chacune de 18.52 fois leur distance initiale. Elles auront mis 185.2 années. Et donc l'année d'observation est l'année 1950. Merci pour l'énigme !
Bonjour,
un peu de géométrie... cool !
A l'étape 1 le triangle A'B'C' est 7 fois plus grand que le triangle de départ ABC (classique).
Ensuite à l'étape n, on montre que le triangle AnBnCn est 3n(n+1)+1 fois plus grand que celui de départ,
il faut donc résoudre l'équation entière 3n(n+1)+1=1027 qui a pour solution n=18 (n=-19 exclue).
Au bout de 18 itérations (soit 180 années), le triangle formé sera 1027 fois plus grand ce qui nous amène à la date de (le big bang?).
Merci pour cette énigme très sympa.
Bonjour,
sans passer par les calculs, un petit coup de Geogebra montre qu'il faut k=18 cycles de 10 ans, donc :
1765+10*18=1945.
Donc la réponse est en 1945.
En utilisant les produits vectoriels on trouve k=18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18*10=1945.
bonjour Minkus
la dernière observation a eu lieu en 1945 (1765 + 10*18)
soit d le nombre de dizaines d'années entre deux observations
les aires de deux triangles ayant des angles égaux et supplémentaires sont proportionnelles aux produits de leurs côtés limitant ces angles
l'aire de chacun des triangles A'AB, B'BC et C'CA égale d(d+1) l'aire du triangle de ABC
3d(d+1)+1 = 1O27
d(d+1) = 342
d = 18
L'observation a été faite 180 ans plus tard, c'est à dire en 1945
Il est à remarquer que ces étoiles formaient aussi 190 ans avant 1765 un triangle de même surface qu'en 1945 , c'est à dire en 1575.
Même si je sais que ce n'est surement pas ça je vais quand même tenter ma chance!
Je dirai en 2278.
Qui ne tente rien n'a rien...
Encore une jolie énigme!
Comme pour l'énigme "Challenge n°80", on pourrait se ramener, en infligeant à la figure une transformation affine, au cas où le triangle ABC est équilatéral, mais, même dans ce cas simple, le calcul du rapport de similitude entre les triangles ABC et A'B'C' n'est pas immédiat.
Raisonnons donc directement. Le triangle ABC est quelconque.
Soit x le nombre d'années écoulées entre 1765 et la dernière observation.
Posons k=x/10.
distanceAA'=kdistanceAC.
De même BB'=kAB donc AB'=(k+1)AB.
Aire(ABC)=1/2.AB.AC.sin(A) et
Aire(AA'B')=1/2.AA'.AB'.sin(Pi-A).
On en déduit que Aire(AA'B')=k(k+1)Aire(ABC).
Les aires des triangles CA'C' et BB'C' ont aussi cette valeur.
Donc Aire(A'B'C')=(3k(k+1)+1)Aire(ABC).
Donc 3k(k+1)+1=1027.
Donc k(k+1)=342.
L'unique solution k=18 est en évidence.
Donc x=180.
La dernière observation a eu lieu en 1945.
j'obtiens:
(1+3k(k-1))=1027, avec k tel que BC'=kBC; CA'=kCA et AB'=kAB
soit k(k-1)=342, donc k=19
sachant qu'en 1765; k=1
donc en fait, la dernière observation date de 1765+10*(k-1)=1945
bonsoir
L'observation est faite après 180 ans de la date initiale.
Donc la date de l'observation est 1765 + 180 = 1945.
Merci pour l'énigme que je trouve très difficile mais sympa .
bonjour
je dirais que c'est en 1945 que l'aire du nouveau triangle était 1027 fois l'aire du traingle de 1765.
Mathieu
Salut minkus
Sacree enigme!
J'ai du utiliser excel en partant des coordonnees des 3 points, puis en faisant l'equation de (AB), la distance entre (AB) et C, l'aire du triangle et enfin le rapport sur l'aire de depart. Ce rapport ne varie qu'avec le temps, quelles que soient les positions de depart.
Voici le rapport en fonction de l'annee
1765 1
1775 7
1785 19
1795 37
1805 61
1815 91
1825 127
1835 169
1845 217
1855 271
1865 331
1875 397
1885 469
1895 547
1905 631
1915 721
1925 817
1935 919
1945 1027
1955 1141
1965 1261
1975 1387
etc...
Donc en 1945, les etoiles ont fait un triangle 1027 fois plus grand qu'en 1765
P.S. Si quelqu'un est interesse par la feuille Excel, je peux toujours lui envoyer...
Notations : a=BC, b=AC, c=AB. Et soit t le temps écoulé en années depuis 1765.
On a : AA'=bt/10, BB'=ct/10, CC'=at/10 et A'C=b(1+t/10), B'A=c(1+t/10), C'B=a(1+t/10).
L'aire du petit triangle vaut : S=½(bc sin A)
Et je trouve que les trois triangles AA'B', BB'C' et CC'A' ont la même aire, égale à : S×(t/10)×(1+t/10).
On a donc l'équation suivante :
102700=3t(10+t), soit 3t²+30t-102700=0
La solution positive donne : t=5/3√12333185,09 ans.
La réponse serait donc 1765+185=1950
Bonjour,
En posant n le nombre de décennies entre 1765 et l'année de la dernière observation, et après quelques manipulations des formules des aires des triangles A'AB', A'CC' et B'BC', j'arrive à la formule suivante :
Après simplifications, j'arrive à l'équation n² + n - 342 = 0, dont la racine positive est n = 18.
L'année de la dernière observation est donc 1765 + 180 = 1945.
voir https://www.ilemaths.net/sujet-univers-en-expansion-47434.html
ici 1+3n+3n^2=1027 donc n=18 . La dernière observation date de 1765+180=1945
bonjour,
J'ai tenté une résolution graphique sur un triangle quelconque et par déduction,
Je trouve que la surface du triangle sera 1027 fois plus grande en 1945
Ci-joint mon dessin de départ
Merci pour cette énigme
@ plus, Chaudrack
Bonjour,
Soit Tn la date d'observation de l'année 1765+10n
et S l'aire du triangle ABC en 1765.
A la date Tn, l'aire du triangle vaut S'n = S+3n(n+1)S
On cherche S' tel que S'=1027 S
1+3n(n+1) = 1027
n(n+1) = (1027-1)/3
n = 18
Date de l'observation: 1765+18*10 = 1945.
A+
après 1 fois 10 ans l'aire est 7 fois plus grande
après 2 fois 10 ans l'aire est 19 fois plus grande
après 3 fois 10 ans l'aire est 37 fois plus grande
après 4 fois 10 ans l'aire est 61 fois plus grande
après 5 fois 10 ans l'aire est 91 fois plus grande
etc.
après 18 fois 10 ans l'aire est 1027 fois plus grande
c'était donc en 1975
A+
Torio
L'année de l'observation on a BC'=nBC, AB'=nAB et AC'=nAC
Appelons a la distance BC et h sa hauteur du triangle ABC. La surface de ABC est s(ABC)= ah/2
Dans le triangle BB'C' la hauteur est nh et BC'=(n+1)a
s(BB'C')=nh(n+1)a/2=n(n+1)*ah/2=n(n+1) s(ABC)
On peut faire le même raisonnement pour CC'A' et AA'B'
En final S(A'B'C')=(3n(n+1)+1) s(ABC)
On a don 3n²+3n+1=1027 d'où on obtient n=18
Il s'est donc passé 18 fois 10 ans depuis 1765
L'observation a eu lieu en 1945
Bonsoir minkus
Si d désigne le nombre de décennies écoulées depuis la première observation, l'aire du triangle A'B'C' est égale à (3d² + 3d + 1) fois celle de ABC.
Comme 3.18² + 3.18 + 1 = 1027, 18 décennies, ou 180 ans, séparent les deux observations.
La dernière observation a donc eu lieu en 1945.
Cordialement
Frenicle
Bonjour
si j'appelle le rapport entre l'aire en 1765+n et l'aire en 1765, .
(je ne cache pas que j'ai fait confiance à geoplan pour trouver les premiers termes, 7, 19 = 7+2*6, 37 = 19 +3*6, 61 = 37 + 4*6 etc, d'où j'ai conjecturé , et par addition des n formules, le résultat.)
l'équation n'a qu'une solution positive, 18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18=1783
(géoplan toujours a confirmé qu'en 18 étapes, on multiplie l'aire initiale par 1027)
j'aime ce genre d'énigme, pas trop "bouffe-temps"
x : coefficient
. : multiplié
* : multiplié
a : aire
b : base
h : hauteur
^ : puissance
a=(b * h)/2
on augmente de x les dimensions du triangle :
A=(x.b * x.h)/2
A=x^2(b*h)/2
A = a.x^2
x= 1027^0.5 = 32.05
320.5 ans soit en 2045.5????
Soit je me plante, soit ces étoiles n'existent pas, soit vous avez inventé les noms de ces objets célestes.
On a :A(A'B'C') = A(ABC) 1027
Soit : B'h' = B h1027
et 1027 = 13 79
Donc deux hypothèses:
1- Soit B'C' = BC79
et donc 7910 = 790 ce qui nous amène a 2555 !!!
2- Soit B'C' = BC 13
et donc 7910 = 130 ce qui nous amène a 1895
Je dis donc que la dernière observation est en 1895
Bonjour,
Je calcule la surface du triangle après 10k années. ()
Je découpe la surface en 4 triangles comme indiqué sur mon dessin. Le triangle central est ABC de l'an 1765, notre référence. Je calcule la surface du triangle hachuré:
On obtient le même résultat pour les deux triangles et .
La surface totale vaut
Ce rapport vaudra 1027 pour k= 18, donc en l'an 1765+18*10=1945.
Isis
Bonjour,
Considérons le triangle ABC, son aire est 1/2.AB.AC.sin où est l'angle au sommet A.
Après 10n années, le point A est en A1, B en B1 et C en C1.
L'aire du triangle A1AC1 s'écrit 1/2.AA1.AC1.sin or AA1 = n.AB et AC1 = (n+1).AC
L'aire du triangle A1AC1 est donc égale à celle du triangle ABC initial multipliée par n(n+1).
On démontre de la même manière que les triangles C1CB1 et B1BA1 ont une aire égale à n(n+1) fois celle du triangle initial.
L'aire du triangle A1B1C1 est égale à la somme des aires des triangles ABC, A1AC1, C1CB1 et B1BA1.
L'aire du triangle A1B1C1 est donc égale à (1+3n(n+1)) fois l'aire du triangle ABC.
L'équation (1+3n(n+1))=1027 conduit à n=18.
La dernière observation a donc lieu 180 ans après celle de 1765.
L'année de la dernière observation est donc 1945
Voila, merci pour l'énigme.
Bonjour,
Fin de ce mois de novembre !
La réponse était 1945.
Beaucoup de bonnes réponses avec des méthodes très variées. Bravo à tous ceux qui ont trouvé.
Comme le fait remarquer piepalm, cette énigme a déjà été proposé, il y a un bail
Désolé torio et lafol mais le calcul de la date faisait aussi partie du problème. Il faut toujours relire l'énoncé avant de poster sa réponse
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