Salut il y en a  3

Le premier a fait : V F V F V F V F V F V F

Le deuxieme a fait pareil

Logiquement le 3 eme a fait l'inverse .

Si il y en avait plus il aurait pas pu savoir qu'il y en a un identique et si i y en avait moins il aurait pa pu savoir aussi

Merci bien pour l'enigme .



foxgunner

Il ya 377 façons de répondre à un questionnaire de 12 questions sans répondre 2 fois juste d'affilée. Il y a donc au moins 378 participants.
Ou alors il y en avait par exemple 350, et le responsable du test comptait sur la chance , car il n'est pas précisé ici que la déduction de celui-ci est correcte ...

Bonjour

Je pense qu'il y'a 125 possibilités de réponses uniquement en considérant qu'aucun participant n'a répondu juste à deux questions consécutives.

Ma réponse est donc 126 participants au minimum pour être sur d'en avoir 2 identiques.

Bonsoir,

Le nombre minimum de participants était

Merci et à bientôt, KiKo21.

(12\2)!= 720
il y a 720 participants au minimum

Compte tenu qu'il y a 377 manières différentes de répondre, le nombre minimum de participants est égal à 378..

Bonjour,

Je trouve 367 possibilités différentes.
Comme 2 candidats ont répondu de la même façon, il faut qu'il y ait 368 participants.

Merci pour l'énigme.

Le nombre minimum de participants est 2.

salut
je pense que le nombre minimum de participant est:548.
LOTFI

Bonjour, après avoir dénombré 377 réponses possibles, j'en déduis qu'il y avait au moins 378 participants.

Bonsoir, je trouve un minimum de 378 participants.

merci pour l'énigme.

Et je vous donne mon raisonnement. Comme dans les tiroirs, je pense que pour avoir deux questionnaires identiques, il faut un participant de plus que de cas possibles c'est à dire de questionnaires qui n'ont pas deux bonnes réponses consécutives.

Pour les calculer, j'ai mis ça en base 2, avec 1 pour une bonne réponse et 0 pour une mauvaise.

On a 2^12 = 4096 questionnaires différents possibles.

Je cherche les cas favorables, c'est à dire sans deux bonnes réponses consécutives correctes.

Je constate que les deux premiers cas possibles sont tous deux favorables. Puis dans les 2 suivants, il y en a un. Puis dans les 4 suivants, il y en a 2, puis dans les 8 suivants il y en a 3, dans les 16 suivants 5, les 32 suivants 8, les 64 suivants 13, les 128 suivants 21, etc.... et en additionnant tous les cas favorables, j'en trouve 377.

Comme deux questionnaires au moins sont identiques, je rajoute 1 et je trouve 378.
Pas sûre que ce soit juste, d'ailleurs.

le nombre minimum de participants est 378

Bonsoir,

pas si évident ce dénombrement...

Les réponses étant Justes ou Fausses _{(même s'il ne s'agit pas d'un QCM à 2 réponses)},
je dénombre grilles-réponses possibles _{(même s'il y a plusieurs variantes pour les réponses fausses)}.
J'ai maladroitement dénombré au cas par cas...
0 Juste :   1 Grille
1 Juste :  12 Grilles
2 Justes:  55 Grilles ()
3 Justes: 120 Grilles ()
4 Justes: 126 Grilles ...
5 Justes:  56 Grilles
6 Justes:   7 Grilles
7 Justes ou + : 0 Grille _{d'après les tiroirs de Dirichlet}
(mais il doit vraiment y avoir une façon plus astucieuse...)
soit un total de 377 Grilles différentes possibles.

j'en conclus que, pour avoir la certitude que deux candidats ont répondu de la même façon, il devaient être au moins .

Merci pour l'énigme.

Bonjour,
voici ma réponse avec ma méthode de raisonnement archi-longue ! Mille excuses pour toute la place prise, et si ça se trouve peut-être pour queue d'ale...

Les candidats n'ayant donné deux réponses consécutives justes, il s'ensuit les sept cas suivants :

A)
Les candidats ont 0 bonne réponse :

Le nombre de possibilités est donc A = 1

B)
Les candidats ont 1 bonne réponse :

Le nombre de possibilités est donc B = 12

C)
Les candidats ont 2 bonnes réponses :

Il faut choisir 2 possibilités parmi 12 et en retirer les 11 couples de réponses consécutives suivants : (1;2),(2;3),(3;4),(4;5),(5;6),(6;7),(7;8),(8;9),(9;10),(10;11) et (11;12).

Le nombre de possibilités est donc C = 66-11 = 55

D)
Les candidats ont 3 bonnes réponses :

On a par exemple les 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 combinaisons suivantes :
a = 1;3;5...12
b = 1;4;6...12
c = 1;5;7...12
d = 1;6;8...12
e = 1;7;9...12
f = 1;8;10...12
g = 1;9;11 ou 1;9;12
h = 1;10;12

On peut remplacer :
->
le 1 par le 2 dans les groupes b, c, d, e, f, g et h
( 7+6+5+4+3+2+1 = 28 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 3 dans les groupes c, d, e, f, g et h
( 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 4 dans les groupes d, e, f, g et h
( 5+4+3+2+1 = 15 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 5 dans les groupes e, f, g et h
( 4+3+2+1 = 10 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 6 dans les groupes f, g et h
( 3+2+1 = 6 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 7 dans les groupes g et h
( 2+1 = 3 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 8 dans le groupe h
( 1 combinaison supplémentaire )

Le nombre de possibilités est donc D = 36+28+21+15+10+6+3+1 = 120

E)
Les candidats ont 4 bonnes réponses :

*
On a par exemple les 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaisons suivantes :
a = 1;3;5;7...12
b = 1;3;6;8...12
c = 1;3;7;9...12
d = 1;3;8;10...12
e = 1;3;9;11 ou 12
f = 1;3;10;12

On peut remplacer :
**
le 3 par le 4 dans les groupes b, c, d, e, et f
( 5+4+3+2+1 = 15 combinaisons supplémentaires )
***
le 3 par le 5 dans les groupes c, d, e, et f
( 4+3+2+1 = 10 combinaisons supplémentaires )
****
le 3 par le 6 dans les groupes d, e, et f
( 3+2+1 = 6 combinaisons supplémentaires )
*****
le 3 par le 7 dans les groupes d et e
( 2+1 = 3 combinaisons supplémentaires )
******
le 3 par le 8 dans le groupe e
( 1 combinaison supplémentaire )

On peut ensuite remplacer :
->
le 1 par le 2 dans les groupes **, ***, ****, ***** et ******
( 15+10+6+3+1 = 35 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 3 dans les groupes ***, ****, ***** et ******
( 10+6+3+1 = 20 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 4 dans les groupes ****, ***** et ******
( 6+3+1 = 10 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 5 dans les groupes ***** et ******
( 3+1 = 4 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 6 dans le groupe ******
( 1 combinaison supplémentaire )

Le nombre de possibilités est donc E = 21+15+10+6+3+1+35+20+10+4+1 = 126

F)
Les candidats ont 5 bonnes réponses :

*
On a par exemple les ( 4+3+2+1 )+( 3+2+1 )+( 2+1 )+1 = 20 combinaisons suivantes :
a1 = 1;3;5;7;9...12
a2 = 1;3;5;8;10...12
a3 = 1;3;5;9;11 ou 12
a4 = 1;3;5;10;12

b1 = 1;3;6;8;10...12
b2 = 1;3;6;9;11 ou 12
b3 = 1;3;6;10;12

c1 = 1;3;7;9;11 ou 12
c2 = 1;3;7;10;12

d = 1;3;8;10;12

On peut remplacer :
**
le 3 par le 4 dans les groupes b, c et d
( 6+3+1 = 10 combinaisons supplémentaires )
***
le 3 par le 5 dans les groupes c et d
( 3+1 = 4 combinaisons supplémentaires )
****
le 3 par le 6 dans le groupe d
( 1 combinaison supplémentaire )

On peut ensuite remplacer :
->
le 1 par le 2 dans les groupes **, *** et ****
( 10+4+1 = 15 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 3 dans les groupes *** et ****
( 4+1 = 5 combinaisons supplémentaires )
->
le 1 par le 4 dans le groupe ****
( 1 combinaison supplémentaire )

Le nombre de possibilités est donc F = 20+10+4+1+15+5+1 = 56

G)
Les candidats ont 6 bonnes réponses :

Les combinaisons possibles sont les suivantes :
1;3;5;7;9;11
1;3;5;7;9;12
1;3;5;7;10;12
1;3;5;8;10;12
1;3;6;8;10;12
1;4;6;8;10;12
2;4;6;8;10;12

Le nombre de possibilités est donc G = 7

Sachant que le nombre maximal de bonnes réponses ne peut aller au delà de 6 sous peine d'en trouver deux consécutives, le nombre d'agencements possibles des réponses à l'épreuve est A+B+C+D+E+F+G = 1+12+55+120+126+56+7 = 377.
Dès lors, la certitude d'avoir deux feuilles de réponses identiques est atteinte lorsque le nombre de participants est de 378.

il y au minimum 73 candidats

bon ben apparemment, c'est cuit pour ce moi..

encore une erreur...

J'ai recompté, et cette fois-ci, il y a 137 possibilités de réponses, soit 138 candidats au minimum..(j'avais omis les cas à une bonne réponse)

Pas grave, cuit pour cuit

@ plus, Chaudrack

pas 2 réponses consécutives justes ==> 6 réponses justes au plus par candidat.

Notons C(n,p)= n!/[p!*(n-p)!]

le nombre de possibilité d'avoir 6 réponses justes = C(12,6)

le nombre de possibilité d'avoir 5 réponses justes = C(12,5)

le nombre de possibilité d'avoir 4 réponses justes = C(12,4)

le nombre de possibilité d'avoir 3 réponses justes = C(12,3)

le nombre de possibilité d'avoir 2 réponses justes = C(12,2)

le nombre de possibilité d'avoir 1 réponses justes = C(12,1)

Donc le nombre minimum de candidat est donc 1+C(12,6)+C(12,5)+C(12,4)+C(12,3)+C(12,2)+C(12,1)= 1+2772+792+495+220+66+12= 4358 candidats

Bonjour,
378 participants minimum
Merçi pour l'énigme.

Bonjour Minkus

Je pense que le minimum de participants était de 378

Merci pour le défi
Moomin

Si An est le nombre de façons différentes de répondre à un test de n questions sans deux bonnes réponses consécutives, on a, selon que la réponse à la 1ère question est exacte ou non, la relation de récurrence An=A(n-1) +A(n-2)
Comme A1=2 et A2=3, on retrouve la suite de Fibonacci décalée de deux rangs, donc A12=377
Il y avait donc au minimum 378 participants

Bonjour,

Avec une méthode pas très élégante (pour ne pas dire autre chose, n'est-ce pas Borneo ?) et en faisant un peu mouliner Excel, je trouve :

Les réponses ont obligatoirement entre 0 et 6 réponses justes, mais pas plus.
pour 0 réponse(s) juste(s), 1 cas de figure possible
pour 1 réponse(s) juste(s), 12 cas de figure possible
pour 2 réponse(s) juste(s), 55 cas de figure possible
pour 3 réponse(s) juste(s), 120 cas de figure possible
pour 4 réponse(s) juste(s), 126 cas de figure possible
pour 5 réponse(s) juste(s), 56 cas de figure possible
pour 6 réponse(s) juste(s), 7 cas de figure possible

Soit un total de 377 cas possibles.

Puisque, quel que soit la répartition des réponses des candidats, 2 candidats au moins ont répondu exactement de la même façon (juste aux mêmes questions et faux aux mêmes questions), il y a donc au moins 378 candidats.

Merci pour cette énigme.

il y a 16384 possibilités de réponse différentes, 1508 possibilités si on exclut les bonnes réponses consécutives.

La réponse est donc 1509.

Bonjour
Soient n le nombre de questions posées et Nbr le nombre de réponses on a :
n   Nbr
0   1
1   2
2   3 = 2 + 1
3   5 = 3 + 2
4   8 = 5 + 3
=> la suite de Fibonacci F₀=1 , F₁ = 2 et F_n+2 = F_n+1 + F_n pour n0
12  377 = 233 + 144
=> Le nombre minimum de participants = 378
A+

Bonsoir !

Il y avait au minimum 378 participants.

Le dénombrement des réponses possibles au questionnaire fait apparaitre la récurrence d'une suite de Fibonacci : si f(n) est le nombre des grilles de réponses possibles à un questionnaire de n questions, sans avoir deux réponses justes qui se suivent, alors on a la récurrence f(n)=f(n-1)+f(n-2). f(1)=2, f(2)=3, et finalement f(12)=377.

L'application du principe des tiroirs de Dirichlet nous permet d'affirmer que si au moins 378  personnes (=f(12)+1) ont participé à ce test, alors au moins deux d'entre elles ont la même grille de réponses.

A++

je dirai 3 minimum

Bonjour Minkus,

Le nombre minimum de participants est de .
J'ai redécouvert "Filius Bonacci" dans cette énigne. (joli)

Il y a au moins 258 candidats.
Il y a 257 configurations de réponses différentes satisfaisant à l'énoncé.

zéro réponse juste : 1 configuration

une réponse juste : 12 configurations

deux réponses justes : 66 configurations - 11 avec les deux consécutives = 55

trois réponses justes : 220 configruations - 10 avec les trois consécutives - (somme de 1 à 9) avec les deux premières seules consécutives - (somme de 1 à 9) avec les deux dernières seules consécutives = 120

quatre réponses justes : dénombrement brut (0, A et B représentent les réponses 10, 11, 12)
commençant par 1
1357 1358 1359 1350 135A 135B 1368 1369 1360 136A 136B 1379 1370 137A 137B
1380 138A 138B 139A 139B 130B
1468 1469 1460 146A 146B 1479 1470 147A 147B 1480 148A 148B 149A 149B 140B
1579 1570 157A 157B 1580 158A 158B 159A 159B 150B
1680 168A 168B 169A 169B 160B 179A 179B 170B 180B : 56
commençant par 2
la liste ci-dessus décalée de +1, moins les 21 configurations se terminant par B : 35
commençant par 3
la liste ci-dessus décalée de +2,et seulement les configurations se terminant au plus par 0 : 20
commençant par 4 et au-delà
4680 468A 468B 469A 469B 460B 479A 479B 470B 480B 579A 579B 570B 580B 680B : 15
donc pour quatre réponses justes : 56+35+20+15 = 126
(empiriquement, pour chaque début, le nombre de configurations est une somme des premiers nombres triangulaires, ce qui facilite la vérification)

cinq réponses justes :
soient les cinq réponses justes séparées chacune par une réponse fausse : il y a six niches (une au début, une à la fin et quatre séparant les réponses justes) qui forment un choix pour les trois réponses fausses restantes.
elles vont dans la même niche : 6 possibilités
deux vont dans la même niche : 6*5 = 30 possibilités
elles vont dans trois niches différentes : 6*5*4/6 = 20 possibilités
donc 6+30+20 = 56 configurations

six réponses justes
suivant le modèle avec cinq réponses, il y a sept niches pour une seule réponse fausse restante : 7 configurations.

récapitulatif des configurations : 1+12+55+126+56+7 = 257 configurations.

Bonjour,

J'ai dénombré 377 façons différentes de répondre aux 12 questions, tout en n'ayant jamais 2 réponses consécutives correctes.

Si mon dénombrement, lui, est correct, pour être sûr que 2 candidats répondent exactement de la même façon il faut donc qu'il y ait au moins

378 candidats.

Salut à tous !

Sans grande conviction, je réponds : 369.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Il y a 377 questionnaires différents sans deux bonnes réponses consécutives.
Deux questionnaires au moins ont des réponses identiques si le nombre de participants et supérieur ou égal à 378.

A+,
globi

Bonjour, après un dénombrement, ma foi quelque peu fastidieux, j'arrive à un nombre minimum de participants de 378. (en espérant ne pas en avoir trop oublié...)

Fractal

salut,
ma réponse:267 participants min

car :
0 réponses justes: 1 possibilité
1 réponse juste: 12 possibilité
2 réponses justes: 55 possibilités
3 réponses justes: 120 possibilités
4 réponses justes: 56 possibilités
5 réponses justes: 20 possibilités
6 réponses justes: 2 possibilités
+ de 7 réponses: impossible

nbre de participants min pour être sur qu'il y ait 2 candidats ayant exactement les mm réponses: somme de ttes les combinaisons de réponses justes possibles +1.

Bon, je ne susi absolument pas sur, mais je pose
n=12 questions
k*(n+1)=? ce que je recherche

J'ai k+1=2~k=1

D'où 1*12+1=13

Ce qui m'amène à dire que le nombre de participants était d'au minimum de 13 joyeux compères.

il y a au minimum 188 participants.

Petit programme java qui crée la liste de toutes les combinaisons de 12 réponses possibles en respectant la contrainte de ne pas avoir deux réponses justes consécutives :


import java.util.ArrayList;
class Defi25 {
    public static ArrayList feuillesDeTest = new ArrayList();
    
    public static void main(String[] args) {
        reponse("", "J", false);    //1ère réponse juste
        reponse("", "F", false);    //1ère réponse fausse
        System.out.println("nombre maximum de réponses différentes : " + feuillesDeTest.size());
    }
    
    public static void reponse(String reponsesPrecedentes, String cetteQuestion, boolean precedenteJuste) {
        if ((!precedenteJuste)  ||  (precedenteJuste && cetteQuestion.equals("F"))) {
            String listeReponses = reponsesPrecedentes + cetteQuestion;
            if (listeReponses.length() == 12)  feuillesDeTest.add(listeReponses);
            else {
                reponse(listeReponses, "J", cetteQuestion.equals("J"));
                reponse(listeReponses, "F", cetteQuestion.equals("J"));
            }
        }
    }
}

//Le programme affiche :
nombre maximum de réponses différentes : 377

Conclusion : le nombre minimum de participants au test était de 378.

il faut 376 candidats minimum.

Bonsoir,

Je trouve que le nombre minimum de participants est 378.
En effet, si 2 participants ont répondu de la même façon, c'est que le nombre de participants est au moins égal au nombre de combinaisons de réponses répondant à la condition énoncée. Je trouve que ce nombre de combinaisons est 377, donc le nombre minimum de candidats est 378.

Merci pour le défi.

Bonjour a tous.

Voila une petite demonstration.

Il s'agissait de denombrer les suites de 12 lettres J(uste) ou F(aux) qui ne possedent pas deux J consecutifs.

Si on appelle Sn une telle suite avec n <= 12.

Si la premiere lettre est F alors toute suite de n-1 lettres respectant la condition convient apres ce F. Il y en a S_n-1

Si la premiere lettre est J, alors la 2e est F et pour les lettres restantes toute suite de n-2 lettres convient. Il y en a S_n-2.

On a donc la relation bien connue S_n = S_n-1 + S_n-2  due a Leonard de Pise (Fibonnacci).

Etant donne que S₁ = 2 (J et F) et S₂ = 3 (JF, FJ et FF) on obtient en ajoutant de proche en proche S₁₂ = 377.

Bravo a Piepalm, Geo3, Torpedo, Caylus et peut-etre d'autres qui ne l'ont pas dit pour avoir trouver cette methode que je trouvais elegante.

En vertu du principe de Dirichlet, il y avait donc au moins 378 participants.

minkus

Et dire que je me suis embêté à les compter presque une par une....

Mais pour la première fois je suis dans les 25 meilleurs aux énigmes!!!
Youpi !!

Fractal

Bonjour. Moi, je n'ai pas la méthode élégante , mais j'aimerais bien comprendre ce que j'ai fait. Donc je vous poste mes tableaux. Si quelqu'un a fait comme moi, et veut bien m'expliquer ce que j'ai observé ? Trouver, c'est bien. Comprendre, c'est mieux

  

Bravo Fractal. Jette un oeil au profil des gens du palmarès, tu verras que tu es un oiseau rare.

Dis Borneo, la derniere colonne tu viens de la rajouter ? parce que c'est ca la suite de Fibo

Non, pas du tout. Sans cette dernière colonne, je n'aurais pas trouvé. J'ai remarqué qu'on obtenait la case du dessous en additionnant les deux du haut, et zou !
Mais je voudrais comprendre pourquoi.

Que tu mettes des 0 et des 1 ou des J et des F ca ne change rien bien sur. Ensuite l'explication que tu demandes est dans ma correction je crois.

Bonjour,

Une autre approche, s'appuyant sur des résultats de dénombrement...

Propriété 1. Le nombre d'Applications Strictement Croissantes de |[1,p]| dans |[1,n]| est :


Démonstration. Evident. Il suffit de choisir les images de 1, ..., p dans |[1,n]|.

Propriété 2. Le nombre d'Applications Strictement Croissantes Sans Image Consécutive de |[1,p]| dans |[1,n]| est égale au nombre de p-Combinaisons Sans Elément Consécutif d'éléments de |[1,n]|, c'est-à-dire encore au nombre de parties de |[1,n]| contenant p éléments, dont aucune paire consécutive. Ces grandeurs sont égales à :


Démonstration. Elle repose sur une bijection entre les ASCSIC de |[1,p]| dans |[1,n]| et les ASC de |[1,p]| dans |[1,n-p+1]| :


Propriété 3. Le nombre de Parties Sans Element Consécutif de |[1,n]| est égal à :


Conclusion pour le défi.
Enumérer les réponses possibles au questionnaire (une "réponse" se caractérisant par telle question juste, telle question fausse) sans 2 réponses justes consécutives revient à choisir les réponses justes dans |[1,12]| avec la règle de non-consécutivité.
Le nombre de réponses possibles est donc :


Pour que le responsable du test fasse cette conclusion, il faut donc que le test ait impliqué au moins 378 participants.

Remarque. En comparant avec la solution de minkus, on peut donc exprimer le n-ième nombre de Fibonacci par une somme de combinaisons.

Sauf erreur.

Nicolas

T'as LaTeX-ifié à fond, Nicolas !

J'en connais un qui va être content...

Estelle