Bon allez je me lance quitte à être ridicule, je dirais 847 guerrières.

il y a 113 fourmis guerrières

Il y a cent douze (112) guerrières.

On peut imaginer le scénario en trois étapes (en désignant une rameuse parmi les travailleuses)
1. le passage des guerrières : deux travailleuses passent, une revient, une guerrière passe, la deuxième travailleuse revient : quatre traversées pour chacune
2. le passage des travailleuses : la rameuse amène une travailleuse de l'autre côté et revient : deux traversées pour chacune
On voit ici que la traversée seule d'une guerrière suivie d'un retour d'une travailleuse n'est pas plus rentable, car la travailleuse devra recommencer à passer au prix des deux traversées économisées ainsi pour une guerrière.
3. Le passage de la rameuse.
S'il y avqit 2006 travailleuses, il y aurait 2005*2 + 1 = 4011 traversées.
Chaque fois qu'on remplace une travailleuse (hormis la rameuse) par une guerrière, on augmente le nombre de traversées de 2 (4-2)
Il faut l'augmenter de 4235-4011 = 224
Il y a donc 224/2 = 112 guerrières.

Les 2006 fourmis veulent passer de la rive A à la rive B du ruisseau. Soit x le nombre de fourmis guerrières. Les 4235 traversées correspondent à 2117 aller-retour (A-R) et à un dernier « aller simple ».
Pour optimiser les traversées, compte tenu du poids de chaque type de fourmis, il est évident que le retour doit être fait par une fourmi travailleuse seule.
Pour faire traverser une fourmi travailleuse, l'A-R est le suivant :
Aller : 2 fourmis travailleuses,  Retour : 1 fourmi travailleuse.
Pour faire traverser une fourmi guerrière, l'A-R est le suivant :
Aller : 1 fourmi guerrière,  Retour : 1 fourmi travailleuse.

La traversée peut donc se décomposer en plusieurs phases :

1ère phase : (2006-x-1) A-R qui permettront à une fourmi travailleuse de faire traverser les (2006-x-1) autres fourmis travailleuses.. Il faudra simplement vérifier que (2006-x-1)>=x pour pouvoir effectuer la seconde phase. Dans le cas contraire, on débuterait la phase 2 jusqu'à ce toutes les fourmis travailleuses soient revenues sur la rive A et on recommencerait à les faire traverser en utilisant la phase 1.
A la fin de la phase 1, il y aura, sur la rive A, 1 fourmi travailleuse et x fourmis guerrières et sur la rive B, (2006-x-1) fourmis travailleuses.

2ème  phase : (x) A-R qui permettront aux x fourmis guerrières de traverser, obligeant x fourmis travailleuses de revenir sur la rive A.
A la fin de la phase 2, il y aura, sur la rive A, (x+1) fourmis travailleuses et, sur la rive B, (2006-x-1-x) fourmis travailleuses et x fourmis guerrières.

3ème phase : (x-1)A-R qui permettront à une fourmi travailleuse de faire traverser (x-1) autres fourmis travailleuses.. A la fin de la phase 3, il y aura 2 fourmis travailleuses sur la rive A, et, sur la rive B, (2006-2x-1+x-1) fourmis travailleuses et x fourmis guerrières.

4ème phase : dernière traversée avec les 2 fourmis travailleuses.

Si on comptabilise le nombre d'A-R complets, on obtient :
(2006-x-1)+(x)+(x-1)=2117
x=2117-2006+2=113
Il y a donc 113 fourmis guerrières.

Nota : je vérifie bien que  (2006-x-1)>=x et donc que la succession des phases indiquée est bien possible.

Bonjour, il y a 113 fourmis guerrières.

Pour faire traverser 1 guerrière, il faut 4 passages, pour une ouvrière il en faut 2, sauf le dernier aller.
Donc 113*4 + 1891*2 +1 = 4235

113 + 1891 + 2 = 2006

Merci pour l'énigme.
Bien sûr, il faut à chaque fois une ouvrière pour ramener la feuille.

Soit t le nombre de fourmis travailleuses et g le nombre de fourmis guerrières, donc t+g=2006.
Pour faire traverser une guerrière, il faut qu'il y ait une travailleuse sur l'autre berge pour ramener la feuille, et qui devra donc retraverser ensuite. De même lorsque deux travailleuses traversent, l'une une doit revenir pour ramener la feuille (sauf à la dernière traversée). Le nombre de traversées dans le sens aller sera donc t+2g-1=2118 ce qui donne g=113

Bonjour,

Si il y a uniquement des petites travailleuses soit 2006, il faut 4009 traversées.
Chaque fois que l'on remplace une petite travailleuse par une guerrière, il faut 2 traversées supplémentaires.
Il y a 4235 traversées soit 226 traversées supplémentaires correspondant à :



Merci et à bientôt, KiKo21.

PS Connaîssez-vous le cri de la fourmi ?
.
.
.
Elle crohonde

Bonjour,
        113 fourmis guerrières
Merçi pour l'énigme

Il y a 2 "couples de traversées" optimaux :
   ALLER         /         RETOUR
A: 1 guerrière  / 1 travailleuse
B: 2 travailleuses / 1 travailleuse

* Pour faire traverser 1 guerrier, on fait B, puis A (soit 4 traversées) :  cela suppose qu'il y ait au moins 2 travailleuses.
* Ensuite, on fait A pour faire traverser les travailleuses restantes (sauf pour les 2 dernières où l'on fait un simple aller) (soit 2 traversées).
Cela fait traversées
Cela donne donc g=113 : il y a donc 113 guerrières (et plus de 2 travailleuses)

On remarque également que les guerrières seules (sans travailleuses) ne pourraient traverser la rivière

Soit T le nombre de fourmis travailleuses, et G le nombre de fourmis guerrières.
On a donc :
T + G = 2006
4235 traversées soit : 2118 allers et 2117 retours.
La meilleure tactique consiste à mettre sur la feuille, systématiquement :
Pour un aller : soit 1 fourmi guerrière soit 2 fourmis travailleuses
Pour un retour : 1 fourmi travailleuse.

On considère en effet (petite ambiguïté de l'énoncé, parce que l'on cherche toujours la petite bête…), qu'il faut toujours au moins une fourmi pour ramener la feuille sur le premier rivage, pour le trajet du retour.

Le passage se fait dans le sens suivant :
1ère phase : mettons G fourmis travailleuses sur le rivage final.
Il faut G allers-retours.
2ème phase : faisons passer toutes les fourmis guerrières, chaque fourmi travailleuse du rivage final faisant revenir la feuille sur le rivage initial.
Il faut à nouveau G allers-retours.
A ce stade, les T fourmis travailleuses sont sur le rivage initial, les G fourmis guerrières sont sur le rivage final.
3ème phase : faisons passer toutes les fourmis travailleuses.
Il faut T-1 allers et T-2 retours.

Donc : 2G + T-1 = 2118
T = 2119 - 2G = 2006 - G
Donc G = 2119-2006 = 113
G = 113 et T = 1893

Je propose 113 fourmis guerrières et 1893 fourmis travailleuses.

Merci pour cette énigme.

Bonjour
Il y a 113 fourmies gérrières et 1893 fourmies travailleuses (juste pour plus d'information)
LE MALHEUREU LOTFI

Bonjour,
Je trouve qu'il y a 113 fourmis guerrières.

Merci pour l'énigme.

Fractal

Salut à tous !

j'ai trouvé 113 fourmis guerrières.

Merci pour l'énigme.

Salut à tous, je trouve 113 fourmis guerrières

Bonjour,

Il y a 113 fourmis guerrières et 1893 travailleuses.

Détail:
Les 1893 travailleuses passent en premier, 2 à l'aller et une au retour: total 2*1893-3 = 3783 traversées.
Puis on a 226 traversées avec une travailleuse au retour et une guerrière à l'aller.
A ce stade, on a 1893-113 = 1780 travailleuses et 113 guerrières à l'arrivée, et 113 travailleuses au point de départ.
Il reste un retour avec une travailleuse, puis 2*114-3 = 225 traversées pour amener tout le monde à bon port.

A+,
gloubi

Bonjour,

Ma réponse est 113 fourmis guerrières et 2006-113 = 1893 fourmis travailleuses.

Sauf erreur de résonnement, je pense que c'est bon.

Merci

Salut à tous,

en considérant qu'il faut 1 fourmi travailleuse pour ramener la feuille au point de départ,
qu'il faut 2 aller-retour pour faire traverser 1 guerrière, et 1 aller-retour pour faire traverser 1 travailleuse, je trouve 113 guerrières.
113*2 = 226 AR reste 1891 AR + 1 traversée pour les 2 dernières travailleuses soit 1893 travailleuses
1893 + 113 = 2006 fourmis

@+

Pour faire passer une travailleuse:
- 2 travailleuses traversent  
- 1 revient  

pour n travailleuses, il faut n*2-3 traversées

Pour faire passer une guerrière;

2 travailleuses traversent
1 revient
1 gueriere traverse
1 travailleuse revient

si on avait 2006 travailleuses, il faudrait  2006*2-3 = 4009  traversées
il faut 4 traversées pour faire passer une guerrière, soit deux fois plus que pour une ouvrière (en ne comptant pas les -3).
x = (4235-4009)/2=113  : il y a 113 guerrières

Bonsoir,

Il faut 1 traversée pour les deux premières travailleuses, puis 2 traversées supplémentaires pour chaque fourmi travailleuse, soit pour n fourmis travailleuses, 2n-3 traversées.
En considérant qu'il n'y a que des fourmis travailleuses, cela fait 2x2006-3=4009 traversées.
Ensuite, la substitution d'une travailleuse par une fourmi guerrière occasionne deux traversées supplémentaires (la séquence 1g-> suivie de 1t<- ).
Pour arriver aux 4235 traversées, il faut donc réaliser 4235-4009=226 traversées de plus, soit 113 subtitutions.

Je dénombre finalement (et 1893 travailleuses).

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Pour faire passer une guerrière sur la rive opposée et ramener la feuille sur la rive de départ, il faut 4 traversées.
Pour faire passer une travailleuse sur la rive opposée et ramener la feuille sur la rive de départ, il faut 2 traversées.

Après avoir fait passer toutes les fourmis, la dernière traversée retour n'est pas utile, donc si on met tout ça en équations, on obtient, avec t : le nombre de travailleuses et g : le nombre de guerrières :

t + g = 2006
2t + 4g - 1 = 4235

ce qui nous donne :

t = 1894
g = 112

Il y a donc 112 fourmis guerrières.

Bonsoir,

Après avoir fait quelques petits dessins je trouve qu'il faut traversées pour faire passer ouvrières (), et traversées pour faire passer guerrières (et cela n'est possible que s'il y a au moins 2 ouvrières). Donc au total traversées. A résoudre le système :

(0)   
(1)
(2)

Finalement il doit y avoir 1893 ouvrières et 113 guerrières.

A++ et merci pour ce défi !

bonjour à tous
(je débute sur ce site)
j'ai trouvé 112 fourmis guerrières.
soit x le nb de fourmis travailleuses et y les guerrières.
x+y=2006
Je fais traverser toutes les travailleuses sauf 1 [2(x-1)]
puis toutes les guerrières [2y] mais à chaque fois il faut qu'une travailleuse ramène la feuille.
Il reste ensuite à faire traverser les 1+y travailleuses, soit 2(1+Y)-1 traversées

on a donc le système
{x+y=2006
{2x+4y-1=4235

soit 112 guerrières et 1894 travailleuses

bonne journée à tous

Bonjour,

Je dirais 112 fourmis guerrières

Skops

Cette feuille va faire traversées avec moultes fourmis à son bord. et à vide ().

Donc, posons le nombre de travailleuses et le nombre de guerrières. Sous contrainte

Ensuite, mettons :

Ce qui fait 1894 fourmis travailleuses et 112 fourmis guerrières.

Mais fallait bien que j'annonce une réponse, étant donné que je patauge depuis déjà un sacré bout de temps...

Bonjour,

voici une des très rares énigmes que minkus n'a pas illustrée par une belle image.

La suivante me plaît bien

Bonjour
Soient G une fourmie guerrière ,T une fourmie travailleuse et x le nombre de G
Il faut 4 traversées pour qu'une G atteigne le rivage opposé
------  2 ---------- ----------- T -------------------------  sauf les 3 dernières pour lesquelles il faut 1 traversée pour 1 T  
=>
4x  + [(2006-3)-x]*2 = 4265 -3  => x = 113
Le nombre de fourmies guerriéres =  
Preuve  ; 4*113 + 1890*2 + 3*1 = 4235
A+

Bonjour Minkus,


Le nombre de "coupiches" guerrières est de .

bonjour,
il y a 230 fourmis guerrieres,
merci cette enigmes était trés simpathique.

Bonjour, je trouve: 112 guerrières.
Merci ppour l'énigme.

salut tout le monde.

je pensse qu'il y a 223 fourmie guériére.

merci pour l'énigme.

massi.

Une telle situation est impossible ! Considérons les deux cas extrêmes...

Si nous avions 2006 travailleuses, sachant qu'elles traversent à deux (pour économie), il y aurait 1003 couples, soit 1002 allers-retours et 1 dernière traversée, soit en fin de compte 2005 traversées.

Si maintenant nous avions 2006 guerrières, elles traverseraient en 2005 allers-retours et une dernière traversée, soit 4011 traversées.

Dans les deux cas, nous n'arrions pas à 4235 traversées.

Bonjour a tous. J'espere que tout le monde a pu repondre.

Voici ma solution :

En faisant passer deux travailleuses, revenir l'une d'entre elles, puis passer une guerriere, on voit qu'il faut 4 traversees pour faire traverser chaque guerriere, la feuille etant ramenee par la 2e travailleuse. Si G est le nb de guerrieres cela fait 4G traversees. A la fin toutes les guerrieres sont passees et toutes les travailleuses sont au depart. Il faut deux traversees pour faire passer chaque travailleuse sauf pour les deux dernieres. Cela donne 2(T-2) + 1 soit 2T - 3. Le nb total de traversees est donc 4G + 2T - 3 et cela donne le systeme :

T + G = 2006
4G + 2T - 3 = 4235

Cela donne G = 113 et T = 1893.

J'aime bien aussi la solution arithmetique proposee par certains.

Certains ont visiblement oublie que la derniere traversee se faisait a deux sans obligation de retour. Cela explique l'erreur dans la 2e equation avec 2t +  1 au lieu de 2(t-1) + 1. Le "+1" correspond a la derniere traversee mais il faut enlever 2 fourmis. (Jugo, aza, et surement d'autres....)

>alpha20020: La feuille ne peut voguer a vide !

>psychotik: S'il y avait 2006 guerrieres, une seule pourrait traverser !

>Manpower : Merci pour ton image. J'avoue avoir cherche sans rien trouver de vraiment interessant. J'aurais du penser a Escher.

>Kiko21 et Chaudrak: En effet, la fourmi cro-onde c'est bien connu

A bientot.

minkus

Bonsoir,

Escher ou Möbius ?

Bonne nuit !

Bonjour,

Ruban de Möbius, et l'illustration est de Escher, n'est ce pas ?

Le ruban de Möbius est bien, le slip de Möbius n'est pas mal non plus, mais un peu moins connu  

Le voici:

Bonjour,

merci Torpedo pour la précision (Escher), je ne sais pas pourquoi j'attribuais le dessin à Werber

Wonderbar "Klein" J-P, mais réservé à ceux qui ont un peu plus de bouteille . Merci pour l'image de curve!

Oui Werber a aussi fait dans la fourmi

Excellent JP !

Comme dit Manpower, on attend le slip de Klein !