Bonjour,

il existe un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.
On peut le prouver assez simplement en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires :

* Soit s "l'abscisse curviligne" de la tortue sur l'île. Je pose s=0 à l'ancien nid et s=1 au nouveau nid.
* Soit t l'heure de la journée,  t0=8h, t1=heure d'arrivée au jour 1, t2=heure d'arrivée au jour 2. (On suppose que t1 > t2 car elle n'a fait aucune pause la 2° journée, mais ca ne change rien au raisonnement).
* Soit s1(t) la fonction qui relie la position de la tortue au temps lors de la 1° journée, idem pour s2(t) pour la 2° journée. On a donc :
s1(t0)=0 , s1(t1)=1 , s2(t0)=1, s2(t2)=0 et s2(t1)=0 (la tortue reste à l'ancien nid jusqu'à t1)

On considère que s1 et s2 sont des fonctions continues sur [t0, t1] (à moins que la tortue n'ait la possibilité de se téléporter !!!). Donc s, définie par s(t)=s1(t)-s2(t), est continue sur [t0, t1]. On a également s(t0) = -1 et s(t1) = 1.

D'après le th. des valeurs intermédiaires, il existe t3 dans ]t0, t1[ tel que s(t3)=0 : il existe t3 tel que s1(t3)=s2(t3).
Il existe donc bien une heure à laquelle la tortue se trouvait au même endroit les 2 jours.

Bonsoir,

Il existe un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.
Il suffit de regarder le dessin joint.
On a représenté en y, la distance séparant le premier nid du deuxième, en abscisse l'heure modulo 24.
J'espère que ceci est suffisant comme explication.

Bonsoir,

Alors là j'avoue que je ne suis pas sûr d'avoir tout compris... ou alors le nombre d'étoiles lui-même est un piège !

Pour répondre à la question, considérons que la tortue possède une soeur jumelle _{(ou un double, un ghost...)}.
A ma gauche, la tortue _{(pas en grande forme)} part du nid initial à 8 heures pétantes pour effectuer le trajet "aller".
A ma droite, sa jumelle _{(ou la même tortue le lendemain)} part du nouveau nid à 8 heures pétantes pour effectuer le trajet "retour".
En réalité, cet aller-retour s'effectue sur deux jours différents, mais si on superpose ces deux jours _{(d'où la jumelle!)} tout semble limpide...

Les chemins ("aller-retour") sont exactement les mêmes _{(ses traces sont encores visibles...)} alors quitte à simplifier on peut assimiler le chemin à une ligne droite, d'où la situation de la figure.

Les "deux" tortues emprunte le même chemin, en sens inverse et partent à la même heure.
Ainsi elles vont nécessairement se croiser! (en notant d la distance entre les deux extrémités, une tortue parcourre une distance x variant de 0 à d, tandis que l'autre une distance d-y variant de d à 0 donc il existe z, compris entre 0 et d, tel que x=d-y (pas nécessairement au milieu...))
Enfin, à l'instant t où elles se croiseront chacune aura marché _{(si on inclus les éventuelles pauses)} pendant la même durée depuis leur départ commun à 8h.
Elles se croiseront donc au même endroit (puisqu'elles se croisent!!) et au même moment..

Conclusion:
pour le chemin du retour, la tortue Paulèfe est passée au même endroit de la plage à la même heure ! (les pauses n'y changeront rien!)
_{Quant à connaître, l'endroit exact ou l'heure, là les données sont insuffisantes (mais ce n'est pas la question} )

Merci pour l'énigme (bien habillée!).
Tortue de mer torture ? Rrrrr

Bonsoir
A l'aller la fonction est une droite croissante ( non stritement croissante) par paliers ( pauses ) et au retour c'est une droite strictement décroissante puique c'est dans le sens inverse sans pause.
Une image vaut mieux qu'un long discours.

Bonsoir,
Je vais proposer une réponse simple, ce qui m'ennuie car il y a 3 étoiles...
OUI cet endroit existe.
Si on imagine deux tortues, quittant respectivement à 8 heures précises chacun des deux nids et se rendant dans l'autre, par le même itinéraire, elles vont nécessairement se croiser au cours de leur périple, c'est à dire se trouver au même endroit à la même heure. On peut donc extrapoler à Paulèfe, qui sur son trajet de retour, se trouvera une fois au même endroit que la veille et à la même heure.
Et voili voila, j'espère que la plage ne sent pas le ...

Merci pour l'énigme

Bonjour, ma réponse est oui.

Imaginons qu'au lieu d'une tortue il y en ait deux, qui feraient les trajets le même jour.
La maman tortue qui va de l'ancien au nouveau nid, en faisant des pauses, et le papa tortue, qui part du nouveau nid et qui va vers l'ancien à toute allure. Ils vont forcément se croiser, c'est à dire être au même endroit et au même moment.

En reprenant l'énoncé, la tortue sera donc à cet endroit de la plage à la même heure les deux jours.

En voilà une qui sera plus facile à corriger que la première... merci pour l'énigme.

Bonjour.
Le temps du retour (nid2 - nid1) est inférieur au temps de l'aller (nid1-nid2).
Les deux départs se font à la^même heure.
Ainsi, il semble évident qu'il existe un endroit de la plage où Paufèle est passée à la même heure les deux jours.
Cet endroit est d'autant plus proche du nid1 que le trajet retour est rapide.
A+

problème impossible

Bonjour et merci pour l'énigme.

Voila ma réponse.

Si je considère l'endroit A comme étant l'endroit où la tortue habitait, et B comme celui dans lequel elle habite aujourd'hui.

Si une personne part de A à 8h en direction de B
Si une autre personne part de B à 8 h en direction de A
Si ces deux personnes empruntent le même chemin,
Elles se croiseront indubitablement.

Il existe donc bel et bien un endroit où ces deux personnent passeront au même moment.

C'est la même reflexion qui m'amène à dire que OUI, il existe un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.

Bonjour,

il existe bien un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.

On peut le justifier graphiquement en superposant les deux déplacements.
J'ai posé D = distance entre les deux nids.
Sur le déplacement du premier jour, les segments verticaux représentent des pauses alors que sur le deuxième jour, c'est la pause à cause du crabe.

Merci et à bientôt, KiKo21.

Je pense que la réponse est OUI.

je n'avais pas vu qu'il fallait jusitifier :

je pense que c'est oui car
soit une tortue X qui le premier jour fait au détail près le parcours que paulefe a fait le deuxième jour; alors le premier jour on aurait paulèfe et X qui parcourent le même chemin l'une dans un sens et l'autre dans l'autre sens et qui démarrent à la même heure il est donc évident que les deux tortues se rencontreront alors l'heure à laquelle elles se rencontreront est l'heure où paulèfe est finalement à un même endroit les 2 jours!  

Représentons graphiquement les parcours aller et retour de la tortue en fonction du temps.
En abscisse, portons la distance du point A(départ) au point B(arrivée) et en ordonnée le temps à partir de 8H (ordonnée 0).

Le trajet aller est représenté par une ligne  brisée continue partant du point A, origine de axes au point (B, T1). T1 temps du parcours aller.
Le trajet retour est représenté par une ligne brisée (avec trois segments) et continue du point (B,0) au point (A,T2). T2 temps du retour.

Ces deux courbes continues se coupent en un point qui correspond à l'endroit de la plage où la tortue est passée à la même heure les deux jours.  

Ma réponse est oui il existe obligatoirement un endroit de la plage ou la tortue est passée.

soit f : t->f(t) la fonction qui représente la distance de la tortue par rapport à son point de départ en fonction du temps lors de la première journée
et g : t->g(t) la fonction qui représente la distance de la tortue par rapport à ce même point de départ en fonction du temps lors de la deuxième journée

appelons d la distance parcourue la première journée et T1 la durée totale du trajet
appelons T2 la durée du trajet lors de la deuxième journée (on imagine bien sûre que T2<T1 grâce aux informations de l'énoncé)

f est une fonction croissante et continue de [0;T1] dans [0,d]
de même g est une fonction décroissante et continue de [0;T2] dans [0;d]

on en conclut que les courbes représentatives de f et g auront obligatoirement un point en commun.

Cela montre bien qu'il existe au moins un endroit de la plage où la tortue passe exactement à la même heure que la veille.

Imaginons une situation fictive ou la tortue Paulefe part en meme temps des deux nids à 8 heures precise.Les deux voyages sont superposés,la tortue fait les deux voyages en meme temps.Les deux tortues marchent d'un nid à l'autre par le meme chemin.Il doit y avoir un point du parcours ou les tortues vont se rencontrer.
on a repondu a la question,il existe bien un endroit qui est occupé par la tortue à la meme heure le jour ou elle quitte son nid et le jour ou elle quitte l'autre nid pour aller chercher son oeuf.
On ne peut savoir ou est cet endroit exactement mais on peut conclure que la tortue doit y etre a la meme heure du jour pendant ses deux voyages separés.
J'espere avoir été assez clair (pas sur).
Belle enigme en tous cas.
Amicalement ireeti.

Bonjour à tous,

J'ai bien réfléchis et après plusieurs simulations, elle passe forcément à un même endroit à la même heure les 2 jours.

J'ai considéré qu'elle était partie le premier jour à 8h et qu'elle est arrivée à minuit.
Bien évidemment, elle a été retardée à cause du caillou à dégager.

Le lendemain matin, ce qui fait que l'énigme est vraie est qu'elle part aussi à 8h.
Quelle que soit l'heure à laquelle elle arrive (par exemple 15h), elle passera à un moment à un endroit où elle passée la veille à la même heure.

D'ailleurs, il n'y a qu'un endroit de la plage qui répond à l'énigme. Des données supplémentaires nous auraient aidés à préciser l'endroit mais la seule chose que l'on peut dire, c'est qu'un tel endroit existe, où qu'il soit.

J'espère avoir été assez clair...

Merci pour l'énigme

Bonjour,

Il existe un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.

Et comme un dessin vaut mieux qu'une longue explication...
(les fonctions du dessin sont continues et monotones)

Bonjour

Réponse proposée :
Comme les fonctions Distance-temps sont des fonctions continues, la croissance de l'une entre l'ancien nid et le nouveau et la décroissance de l'autre entre le nouveau et l'ancien nid entraînera obligatoirement au moins une intersection, puisque ces fonctions ont leur plage d'abscisses dont l'une est comprise dans l'autre.
Si, de plus, l'une, au moins, des fonctions n'est pas strictement monotone, elles peuvent avoir plusieurs intersections.

Vu l'énoncé (malgré, peut-être, le dégagement du caillou à l'aller qui peut laisser à penser le contraire), les fonctions sont monotones et il n'y a qu'un seul point d'intersection =>
A un moment donné, to, la tortue se trouvera au même endroit Do.

Comme disait NB, Un bon croquis valant mieux qu'un long discours..., cf. PJ

Merci pour l'énigme,

Philoux

Une question, minkus : pourquoi Paulèfe ?

Paul F. Ford ?
Paul F. Aubin ?
Un autre Paul F. (serait-ce tes initiales, minkus ) ?
Revue POLEF ?

Simple (mauvaise) curiosité que tu peux ignorer, minkus....

Mathématiquement:
  En changeant d'unité, sa trajectoire peut être modélisée par une abscisse curviligne qui représente le temps, et va de 0 à 1 pour une journée de 8H (veille) à 8H (lendemain)
  Posons qu'en ordonnée 0, la tortue se situe dans son ancien nid, et en abscisse 1, la tortue se situe dans son nouveau nid.

  la première fonction position de la tortue en fonction du temps est évidemment croissante et part de 0 au temps 0 pour arriver à 1 au temps 1. Posons-la f(t)
  La deuxième fonction position de la tortue quand elle revient est décroissante et part de 1 au temps 0 pour arriver à 0 au temps 1. Posons-la g(t).
  Alors, en posant h(t)=g(t)-f(t) qui est une fonction continue, on a le fait que h(0)=1 et h(1)=-1, donc il existe un t0 tel que h(t0)=0 où alors g(t0)=f(t0).

  On en conclut qu'il existe bien une heure t0 à laquelle la tortue était au même endroit.

Littérairement:
  Un problème de temps? Temporal-man arrive et grâce à sa vision temporelle sur-développée, il arrive à dédoubler le temps!
  Dans son champ de vision se trouve le chemin de la tortue. Il est huit heures du matin. Oui, mais grâce à sa capacité hors du commun, chaque oeil voit la situation d'un jour différent!
  En effet, de son oeil gauche, il voit le départ de la tortue du premier jour; alors que de son oeil droit, il voit la tortue partir de son nouveau nid le deuxième jour pour revenir au premier nid.

  Mais le temps en heures, minutes, secondes s'écoule de la même manière pour les deux yeux. Temporal-man fait alors la fusion des deux images et voit alors une tortue qui part de l'ancien nid pour aller vers le nouveau, et une tortue qui part du nouveau pour aller vers l'ancien!
  De manière évidente, se dit-il, les tortues vont se rencontrer puisqu'elles empruntent le même chemin en même temps mais en sens inverse!
  Et effectivement, au bout d'un certain temps de moins de 24 heures, il voit les deux tortues se rentrer dedans, fusionner et chacune sortir d'un côté. Se reprenant sur sa vision, il constate alors qu'il y a eu une même heure à 24H près où la tortue était à la même place.
  
  

Pour ceux qui ne comprendraient pas ma/mes question(s) en PS, et après éclairage de minkus himself, ta tortue aurait du s'appeler " Ozitée ", ou si elle est anglophone, ta tortoise, " Houzeness "...

Philoux

Bonjour,

En supposant que la tortue arrive à minuit le premier jour, et à vingt heure le deuxième jour, on se retrouve avec le shéma suivant:

Huit heures >>>>>> midi >>>>>>> vingt heures >>>>>>>>>> minuit
Vingt heures <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< midi <<<<<<<< huit heures

J'ai supposé que la tortue croisait a midi le point passé la veille à vingt heures. Il y a nécessairement entre midi et vingt un point et un seul ou la tortue est passée à la même heure les deux jours.

On pourrait par exemple placer 16 heures le deuxième jour face à midi le premier jour, etc. De proche en proche, lintervalle se reserre:
8 heures / 20 heures
midi / 20 heure
midi / 16 heures
14 heures / 16 heures...

jusqu'à arriver à l'endroit passé les deux jours à la même heure.

Tout cà, c'est un peu brouillon. OK,OK.

A+,
gloubi

Bonjour à tous,

Ma réponse est: Problème impossible.

Les données sont, en effet, insuffisantes.

Nous savons au mieux que la tortue est partie le premier jour à 8 heures pile, et que le lendemain, elle a repris le chemin à cette même heure.

Mais nous n'avons aucune information minutée sur les différents évènements imprévus rencontrés, tant à l'aller qu'au retour. Reprendre les traces de la veille ne signifie pas qu'elle se déplace à la même allure.

Voilà ma justification.

atomium.

Oui il existe un tel coin sur cette plage.

Je ne peux évidement pas le définir avec précision puique je ne connais ni la vitesse de la tortue ni la durée de ses différentes pauses.
Je précise que la probabilité que cet endroit soit une zone où elle a fait une pause est plus grande qu'un endroit où elle est simplement passée.
N.B.: La tortue allant plus vite au retour qu'à l'aller, ce point se situe plus près de son ancien nid que de son nouveau nid.

l'endroit c'est lorsque la tortue passe au niveau du gros caillou!!

mai c pas sur du toout!

Bonjour,

selon un raisonnement logique, il existe en effet un endroit de la plage où la tortue est passée au même endoit les 2 jours à la même heure. C'est endroit est celui où se trouvait le gros caillou qu'elle avait déplacé lors du passage aller.

(Cependant, statistiquement, il y a une probabilité moyenne pour que la tortue  ne soit pas au même endroit a la même heure pendant les 2 jours).

Merci pour l'enigme.

Faisons partir les tortues Pauljé et Paulache à 8 heures pile le même jour.
Pauljé empruntera le chemin aller de Paulèfe et Paulache empruntera le chemin retour de Paulèfe.

Pauljé et Paulache étant parties au même instant chacune d'un bout du parcours, arrivera forcément un moment où elle se croiseront. Alors, il sera la même heure pour toutes les deux et elle seront au même point du trajet - et c'est ce point dont nous recherchons l'existence.

Pour pouvoir répondre avec certitude, il faudrait que l'énoncé précise que tout le périple de Paulèfe se déroule sur la plage, mais supposons que oui. Alors :

Oui, il existe un endroit de la plage où la tortue Paulèfe est passée à la même heure les deux jours.

Bonjour,

Minkus nous propose une nouvelle énigme dont le but est de donner des « explications » :  vu la façon dont je m'en suis sorti la dernière fois (muguets des Mmes DuponDTé), je sens que la tortue de mer va me rapprocher plus du poisson que du soleil d'un smiley !

Bon essayons quand même.

Dans mon boulot, je travaille aux projets de construction de lignes ferroviaires. Le problème de la tortue s'en rapproche ! Transformons quelque peu l'énigme de la façon suivante :

Imaginons, sur une voie unique, un train de fret (transportant des œufs de tortue et des brindilles) partant d'une gare A à 8 heure pile.

Pour l'anecdote :
Sachez que la vitesse moyenne d'un train de fret, en Europe, est de … 18 km/h ! Et que sa ponctualité (pourcentage de trains arrivant avec un retard maxi de …) est évalué sur certaines lignes non pas selon un critère de retard de quelques minutes admissibles, mais … de jours ! Exemple : % de trains avec moins de 24h de retard,  % avec moins de 48h de retard, % avec plus de 48h de retard !

Reprenons notre train de fret : il va de la gare A vers la gare B, fait plusieurs arrêts sur sa voie unique et arrive à destination dans la gare B dans la nuit suivante.

Imaginons maintenant, sur la même voie unique, un TGV dont l'un des voyageurs est une mère de famille pressée de retrouver un de ses enfants. Le TGV part de la gare B le même jour à 8h00, vers la gare A, en faisant éventuellement un arrêt intermédiaire.

Minkus nous pose la question : est-il possible que la tortue passe à un même endroit de la plage à la même heure ? Cela revient exactement à dire, dans mon histoire de trains : le TGV et le train de fret vont-ils se foncer dedans ? Même si l'un des deux est arrêté en gare (nous sommes sur une voie unique), c'est évident : OUI. Je ne risquerai jamais de monter dans un tel TGV !

Si on retranscrit cela sur un diagramme de PERT, le tracé du TGV et celui du train de fret se croisent évidemment, donc la réponse à la question de Minkus est OUI.

Il y a 3 solutions cependant pour que ce ne soit pas le cas :
1-/ lors des arrêts en gare, la voie est doublé pour permettre le croisement de 2 trains. Dans ce cas, on pourrait vaguement considérer que la réponse à la question de Minkus est NON.
2-/ la tortue, lors de son périple aller, fait le tour de la plage (visiblement elle prend le temps de trouver le bon nid). Dans ce cas il serait surprenant que son itinéraire ne fasse pas des boucles et donc qu'elle ne recroise pas son chemin. Or le lendemain, elle est pressé comme notre TGV : il est évident qu'elle ira par le chemin de retour le plus direct, en évitant toutes les boucles inutiles. Dans ce cas, la réponse à la question de Minkus peut être NON.
3-/ Il est dit que la tortue part à 8h. Et si c'était 8h du soir (on sait qu'elle arrive tard dans la nuit) ? Sachant que le lendemain elle repart à 8 h du matin. Il y a un décalage de 12h dans les horaires : Dans ce cas, la réponse à la question de Minkus est NON.

Avec tout cela, faut-il répondre, oui ? non ? problème impossible ? Je l'ai dit : ça sent le poisson sur cette plage.

Merci pour cette énigme tortueuse.

Bonjour!!
ma réponse est: "oui, il existe un endroit de la plage où la tortue est passée à la même heure les deux jours."

justification:


Soit n1 l'heure à laquelle la tortue est arrivée le premier jour;(si elle est arrivé à dix heure du soir on dira n1=22)
soit n2 l'heure à laquelle la tortue est arrivée le deuxième jour (lors du retour)

Comme elle s'est arrêtée ralativement longuement le premier jour, contrairement au deuxième, on a n2<n1.

Soit f la fonction définie sur [0,24[ qui a n1 associe le lieu de la plage où la tortue est à l'instant n1;
soit g la fonction définie sur [0,24[ qui à n2 associe le lieu de la plage où la tortue est à l'instant n2.
(on on graduera le chemin de 0 à term dans le sens de parcours du premier jour.)
exemple: f(0)=0      f(n1)=term
         g(0)=term   f(n2)=0
.f et g sont deux fonction continues sur [0, min(n1,n2)] donc sur [0,n2] (car n2<n1)
.la fonction f-g est croissante sur [0,n2]
en effet (f-g)'=f'-g' et f'>0 et g'<0.
.(f-g)(0)=-term<0
(f-g)(n2)>0

par te théorème des valeurs intermédiaires la fonction f-g admet au moins une solution sur [0,n2]
soit x une de ces solutions
on (f-g)(x)=f(x)-g(x)=0
donc f(x)=g(x)

ainsi à l'heure x la tortue était au même endroit les deux jours.

Je ne sais pas si ma réponse et ma justification sont exactes, mais quoi qu'il en soit, je te remercie beaucoup pour cette énigme
a plus tchatchaooo!!!!!

Considérons un repère orthonormé avec l'heure en abscisse, et la distance au point initial (de 0 à d) en ordonnée. A l'aller, la tortue parcours une courbe continue C allant de l'origine O à un point d'arrivée A(a,d). Au retour elle part du point D (0,d) au dessus de C pour arriver au point B(b,O) au dessous de C. La courbe joignant D à B étant également continue, il existe un point où elle traverse la courbe C, quels que soient les temps a et b (connexité)

l'endroit où la tortue est passée à la même heure c'est quand elle rencontre le crabe et qu'elle lui donne un coup de patte.

J'ai pas tout de suite bien compris la question, en fin de compte pas la peine de dire ou elle repasse à la meme heure. Etant donné qu'elle prend le meme chemin, elle doit obligatoirement repasser à un endroit à la meme heure, ma réponse est donc OUI.

Hello,

Je pense que la reponse est OUI et que la justification rigoureuse de cette reponse peut se faire en utilisant le theoreme des valeurs intermediaires pour une fonction continue.

La position de la tortue sur la plage peut etre determinee sans ambiguite par la seule donnee de la distance curviligne "d" sur le chemin aller (qui est le meme que le chemin retour). La distance est comptee en metres ^{(mais l'unite n'a pas d importance)} à partir du nid de depart le premier jour (nid 1). Si la tortue est au nid 1, d=0, si elle est au nid 2, d=D, D etant une valeur strictement positive.

Si on note d₁(t) la distance parcourue le premier jour en fonction du temps en heures ^{(mais encore une fois l'unite n'a pas d'importance)}, t=0 correspondant à 8h le premier jour, et d₂(t) la distance parcourue le deuxieme jour, t=0 correspondant à 8h le deuxieme jour, alors :

* d₁(t) est une fonction à valeurs reelles, continue sur un intervalle [0;t₁] avec d₁(0)=0 et d₁(t₁)=D (t₁ : temps d'arrivee au nid 2 le premier jour)

* d₂(t) est une fonction à valeurs reelles, continue sur un intervalle [0;t₂] avec d₂(0)=D et d₂(t₂)=0 (t₂ : temps d'arrivee au nid 1 le deuxieme jour)

* 0 < t₂ < t₁ car il est clair d'apres l'enonce que la tortue execute son parcours plus vite le deuxieme jour

La fonction d₂-d₁ est definie et continue sur l'intervalle [0;t₂], (d₂-d₁)(0) = D > 0 et (d₂-d₁)(t₂) < 0 (car d₁(t₂) < D) et donc d'apres le theoreme des valeurs intermediaires, il existe tel que (d₂-d₁)()=0. Ce qui signifie bien qu'au temps , on a d₁() = d₂() : la tortue est bien au meme emplacement le premier et le deuxieme jour, à l'heure 8h+.

A++

Bonjour, je pense que la réponse est oui:

Soit A le point où se trouve l'ancien nid et B celui où se trouve le nouveau nid.
Remarquons tout d'abord que puisque la tortue fait le 2eme trajet en repassant sur les traces du 1er, on peut repèrer un point M quelconque de la trajectoire suivie dans les deux sens par la longueur du chemin séparant ce point M de A.
Notons d la longueur du chemin de A à B.

Comme l'instant du départ est le même: 8 h, pour les deux trajets, on peut considérer que c'est l'instant initial 0 dans les deux cas.

Notons T le durée totale du trajet aller de A à B et f la fonction définie sur [0;T] qui à un temps t associe la longueur du chemin parcouru de A à M, M désignant le point où se trouve la tortue à l'instant t.
La fonction f est continue et positive sur [0; T] et f(0) = 0 et f(T) = d.

Notons T' le durée totale du trajet retour de B à A et g la fonction définie sur [0;T'] qui à un temps t associe la longueur du chemin restant à parcourir de M à A, M désignant le point où se trouve la tortue à l'instant t.
La fonction g est continue et positive sur [0; T'] et g(0) = d et g(T') = 0.

On peut déduire des données que T'T.

Notons h la fonction h = f - g définie sur [0;T'].

h est continue sur [0;T'] et h(0) = f(0) - g(0) = - d donc h(0) < 0 et h(T') = f(T')- g(T')= f(T')0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe[0;T']tel que h() = 0, donc tel que f() = g().
Alors à l'instant , c'est-à-dire à la même heure, la tortue se trouve en un même point M de sa trajectoire, c'est-à-dire en un même endroit de la plage.

Oui, il y a un coin de plage ou elle est passé exactement à la même heure.

Je m'explique:
Si on point le point a sont premier nid, b sont deuxième nid et c un éventuel point
ou elle passerait à la même heure.
Dans la partie [b;c[, elle passera par des points plus tôt qu'elle ne la fait la veille,
Alors que dans la partie ]c;a], elle passera par des points plus tard qu'elle ne le fera la veille (par exemple proche du 1^er nid, elle est peut etre passée à 8h02 la veille et ne le fera lors du deuxième passage...
Il y a donc nécessaire un point ou l'heure de passage est la même. Et les arrêts ne fond que décaler ce point par rapport au centre.

Imaginons qu'il y ait deux tortues partant chacune à 8h, l'une du nid initial, l'autre du nouveau nid. Elles prennent le même chemin et donc se croiseront à un moment! Où ?? On ne peut pas savoir!

ou alors le nombre d'étoiles lui-même est un piège !

C'est promis je ne le ferai plus. Très sympa tes tortues manpower.

Quoique...

Lorsque j'ai rencontré ce problème pour la premiére fois, il mettait en scène un moine qui gravissait une colline un jour et redescendait le lendemain. Je ne me souviens plus si j'étais dans un groupe d'initiés ou non mais ce qui est sûr c'est que j'avais eu le plus grand mal à convaincre les autres que le dédoublement du moine (ou de la tortue) ne modifiait pas les données du problème, en tout cas de son point de vue mathématique. Pour eux, cela donnait forcément un problème différent et la logique de la chose avait du mal à passer...surtout qu'un moine ayant le don d'ubiquité ça n'est pas très sérieux

Car en effet, imaginer qu'une autre tortue (appelons la Bercule, pourquoi pas) fasse le parcours dans l'autre sens, suffit à justifier -comme beaucoup l'ont très bien expliqué- le fait que, le chemin emprunté étant le même, la tortue Paulèfe (TUPOLEV) rencontrera forcémment la tortue Bercule (TUBERCULE) au même endroit, à la même heure, quand à savoir si cela s'est passé au niveau du gros caillou ou pas...il est évident que tout l'habullage ne modifie en rien la vérité mathématique qui se moque bien de ses détails

Ou alors il y a aussi la version Temporalman, merci Meak

Evidemment, comme d'autres l'ont rigoureusement démontré (j'avoue ne pas les avoir toutes lues en détail), on pouvait y voir l'application du théorème des valeurs intermédiaires, voire du théorème du point fixe. C'est ce même théorème qui explique par exemple que si on superpose 2 cartes géographiques à des échelles différentes, alors il existe un unique point sur les deux cartes qui indique le même lieu...

>Hervé, ton "il semble évident" n'est pas suffisamement justifié.

Pour finir, un petit mot pour dire que certaines explications me font penser à certaines démonstrations d e mes élèves...qui ne démontrent rien. Souvent on y trouve les mots : "forcément", "obligatoirement"...

C'est le cas des réponses de chrislauxerrois, gloubi (pas très clair en effet, à la même heure je veux bien mais pourquoi au même endroit ?), celinenounours, kimented, ou encore mercenair dans le genre "supposons que le point existe...alors le point existe"

Ah j'oubliais, merci Savoie pour ta réponse détaillée et les infos annexes

Voilà. A plus tard.

minkus

Mon premier poisson du mois...

J'aurais dû mettre le dessin que j'avais fait sur mon brouillon (le même que tout le monde) mais voulant rester compétitive au niveau du temps, je ne l'ai pas fait. OK j'ai eu ce que je méritais ?!?

Je crois que pour décrocher NF2 il faut rester les weekends accroché à son PC, tant pis pour moi je vais devoir me contenter du plaisir d'avoir quand même résolu le défi sans avoir sû l'expliquer

Bonjour Minkus
C'est vrai que, sur le coup, je n'ai pas bien compris le pourquoi de mon poisson.
J'aurais du écrire "il est évident" plutôt que "il semble évident".
Mais même ainsi, "il semble évident" que je n'est pas été capable d'expliquer quelque chose d'aussi .... évident !
Il est évident aussi que je mérite un poisson.
A+