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DEFI 35 : Les douze salopards.***

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
26-06-06 à 11:20

Bonjour a tous.

J'imagine que vous connaissez le principe de la roulette russe: on place une balle dans le barillet d'un revolver à six coups, on fait tourner le barillet pour que le premier coup soit aléatoire, puis chacun à tour de rôle place le canon sur sa tempe et appuie sur la gâchette! Seul le premier coup est aléatoire; par la suite, le barillet tourne d'un cran à chaque coup tiré.

Les douze salopards ont décidé de jouer à la roulette russe mais étant donné qu'un révolver ne peut tirer que six coups, ils ont choisi d'en utiliser deux. Deux balles sont placées dans le premier révolver et zéro dans le deuxième. Bien entendu, les « joueurs » ne savent pas dans quel révolver se trouvent les balles et chaque révolver ne peut être utilisé que 6 fois. Chacun à leur tour, les participants, dont l'ordre de passage a été tiré au sort, et qui ont vu quelle arme a utilisé chacun de leurs prédécesseurs, choisissent un revolver et tirent. Quoiqu'il arrive, le jeu sera mené jusqu'à ce que les douze coups aient été tirés. On supposera que les 12 salopards sont d'excellents probabilistes et qu'ils choisissent, quand arrive leur tour, la stratégie qui leur laisse le maximum de chances de survie.

Indiquez les numéros de passage des deux joueurs qui ont le plus de chances de survivre et des deux joueurs qui en ont le moins.
Pour ces quatre joueurs, donnez la fraction indiquant leur probabilité de survie.


Bonne réflexion.

minkus

DEFI 35 : Les douze salopards.

Posté par
gloubi
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 26-06-06 à 14:39

perduRe-bonjour,

les 2 joueurs qui ont le plus de chance de survivre sont le numéro 7 avec 28 chances sur 30 de survivre (28/30) et le 5 et 6 à égalité avec 27 chances sur 30 de survivre (27/30).

Les deux joueurs qui ont le moins de chance de survivre sont le 12ème (20/30) et le 11ème (22/30).

A+,
gloubi

Posté par
Fractal
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 26-06-06 à 14:41

perduBonjour,
Tous calculs faits, je trouve que les 12 salopards avaient à leur disposition 2,861111... balles.
Euh, non ca doit pas être ca

Tous calculs refaits je trouve qu'il n'y avait effectivement que deux balles .
Je trouve ensuite que les deux joueurs qui ont le plus de chances de survie sont les joueurs placés en 6 et 7ème position chacun ayant exactement 3$\bf\frac{11}{12} de survivre. Les joueurs qui ont le moins de chances de survie (et qui n'auraient pas dû jouer ) sont les deux derniers joueurs, avec 3$\bf\frac{1483}{2160} chances de survies pour l'avant dernier et 3$\bf\frac{1363}{2160} chances de survie pour le dernier.

Merci pour l'énigme

Fractal

Posté par
piepalm
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 26-06-06 à 16:01

perduLe premier a 1 chance sur 6 de se tuer et 5 sur 6 de survivre
Si le coup est parti, les suivants vont bien sûr utiliser l'autre revolver.
Sinon, le suivant a interêt à changer, et il en est de même chaque fois qu'ont été tirés un nombre impair de coups à blanc, sauf à la fin: si le 5-ème coup d'un révolver a été tiré, on connait la nature du 6-ème coup. Lorsqu'un nombre égal de coup à blanc ont été tirés sur chaque revolver, le choix est indifférent.
En résumé, les probabilités de mort et de survie sont données par le tableau suivant, en nombre de 2160-ème (les chiffres du tableau sont les numérateurs de fractions dont le dénominateur est 2160)
mort survie
1 360 1800
2 300 1860
3 300 1860
4 240 1920
5 240 1920
6 180 1980
7 180 1980
8 252 1908
9 387 1773
10 407 1753
11 677 1483
12 797 1363
On voit donc que les meilleures probabilités de survie sont pour les numéros 6 et 7, les plus faibles pour les 11 et 12 (ce qui n'est pas étonnant, puisque les autres ont pu adapter leur stratégie)

Posté par nobody (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 15:50

Les joueurs qui ont le plus de chance de survivre sont:
le n°6 avec 100% de survie
et le n°5 avec 97% de survie.
Les joueurs qui ont le moins de chance de survivre sont :
le n°11 avec 70% de chance de survie
et le n°12 avec 67% de chance de survie.


Selon moi, la meilleure stratégie pour chacun est de garder le même pistolet tant que celui-ci n'a pas tiré. S'il a tiré, il faut absolument prendre l'autre (évident ).
Je vais calculer les probabilités suivant que le premier joueur choisit le revolver qui contient les 2 balles ou l'autre (1/2 de proba pour chacun de ces 2 cas) :
* Revolver VIDE : Les 6 premiers ont une proba. 1 de survivre. Les 6 suivants ne peuvent rien choisir, c'est du hasard pur (étant donné qu'on ne sait pas où sont les 2 balles, les proba. sont uniformément réparties) : 2/3 de proba pour chacun de survivre.

* Revolver REMPLI : Les (p-1) premiers vont survivre (avec le même revolver), le p va mourrir, les 6 suivants vont utiliser l'autre revolver. Ensuite, p'-p-1 vont tirer avec le revolver de départ et survivre; le p'+6 va mourrir et les 6-p' suivants vont survivre. [ Avec p et p' (p<p') les positions des 2 balles dans le revolver].
Il y a C^2_6=15 façons de positionner 2 balles dans ce revolver :
  ** 6-n d'entre elles sont fatales pour le numéro n si n\leq 6 (fatale pour n uniquement si aucune balle n'a été tirée avant lui: il suffit donc de placer la balle restante parmi les 6-n logements de balle qui restent)
  ** (n-6)-1 d'entre elles sont fatales pour le numéro n si n\geq 7 (fatale pour n uniquement si aucune balle n'a été tirée après lui: il suffit donc de placer la balle restante parmi les n-7 tirs précédents avec ce revolver)
soit une proba de (6-n)/15 pour n\leq 6
et de (n-7)/15 pour n\geq 7, de mourrir.

Au final, la proba de survivre pour n\leq 6 est : 1/2*(1+(n+9)/15)=(n+24)/30
Pour n\geq 7, elle est de :
1/2*(2/3+(22-n)/15)=(32-n)/30

Désolé pour la longueur.

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 17:02

gagnéBonjour, j'indique d'abord la bonne stratégie : on choisit un pistolet au hasard, et on s'y tient tant qu'un coup n'est pas parti. En effet, plus on tire de coups à blanc avec ce pistolet, plus il a de chances d'être celui qui n'est pas chargé. Si un coup part, on change d'arme et on a droit à 6 coups à blanc. Puis on reprend la 1e arme. J'ai fait la liste de tous les cas possibles (il y en a 30) et j'ai mis les cas favorables (1) où on survit.J'ai totalisé dans le tableau joint.

Les deux joueurs qui ont le plus de chances de survivre sont le 6e qui a 30/30 = une probabilité de survie de 1
Le second chanceux est le 5e qui a une probabilité de survie de 29/30

Les deux joueurs qui en ont le moins sont le 12e joueur qui a une proba de survie de 20/30 = 2/3 et le 11e joueur qui a une proba de survie de 21/30 = 7/10

Merci pour l'énigme, je joins mon tableau dans le message suivant.

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 17:11

gagnéEt voilà mon tableau. Je pense bien qu'il y avait moyen de raisonner, mais "better safe than sorry"

Merci pour l'énigme. Je n'aurais jamais pensé spontanément me mettre à la 6e place

DEFI 35 : Les douze salopards.

Posté par
plumemeteore
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 19:56

perduLes chances de survie sont les meilleures pour 6 et 7 : 11/12 chacun.
Elles sont les moindres pour 12 (1363/2160) et pour 11 (1483/2160)

Tant qu'il n'y a pas de coup de feu, le joueur entrant choisit le revolver auquel il reste le plus de coup, ou un au hasard s'il reste aux deux le même nombre de coups. Quand un premier coup de feu est survenu, le revolver inoffensif est repéré et les joueurs suivants l'utilisent jusqu'à épuisement.

Probabilité sur 36 qu'aucun coup de feu ne soit survenu quand le joueur désigné entre en jeu et risque (sur 36) de ce joueu dû à l'absence de coup de feu antérieur :
1 : 36 ; 6
2 : 30 ; 5
3 : 25 ; 5
4 : 20 ; 4
5 : 16 ; 4
6 : 12 ; 3
7 : 9  ; 3
8 : 6  ; 2
9 : 4  ; 2
10, 11, 12 : cas particuliers
Pour les joueurs 1 à 7, les risques se limitent à ceux énumérés ci-dessus.
A partir de 8, les joueurs ont un risque supplémentaire dû à un coup de feu prématuré pour eux, car ils sont privés du revolver inoffensif :
coup de feu dans la première paire : risque 11 à partager entre les joueurs 8 à 12
coup de feu dans la deuxième paire : risque 9 à partager entre les joueurs 9 à 12
coup de feu dans la troisième paire : risque 7 à partager entre les joueurs 10 à 12
coup de feu dans la quatrième paire : risque 5 à partager entre 11 et 12.
Le risque total pour 8 est donc 2+2,2 = 4,2
Le risque total pour 9 est : 2+2,2+2,25 = 6,45
Joueur 10 :
risque dû à un coup de feu chez les six premiers joueurs : 2,2+2,25+2,33 = 6,78; pas de risque supplémentaire en cas de coup de feu chez 7 et 8; s'il n'y a pas de coup de feu chez les huit premiers, le sort de 9 renseignera 10 sur le revolver à prendre.
Jouuer 11
risque dû à un coup de feu chez les huit premiers : 2,2+2,25+2,33+2,5 = 9,28
sans coup de feu chez les huit premiers : risque 4/2 = 2 : une probabilité que 9 ait choisi le revolver inoffensif, condamnant ainsi 11; le risque total de celui-ci est donc 11,28
Joueur 12
coup de feu chez les huit premiers : 2,2+2,25+2,33+2,5 = 9,28
pas de coup de feu chez les huit premiers : 4: total : 13,28
Vérification : 6+5+5+4+4+3+3+4,2+6,45+6,78+11,28+13,28 = 71,99 ; +0,01 (la fraction 7/3 avait été arrondie trois fois) = 72 = 36*2

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 20:14

gagnéLe choix des 6 premiers tireurs se portera sur le révolver qui vient de tirer, qui a plus de chances d'être le révolver vide, eci tant qu'un tireur ne se brûlera pas la cervelle.
Auquel cas, les 6 suivants tireront avec l'autre révolver.
Si je calcule leur probabilité de mort alors que le premier a choisi le pistolet plein, je trouve (6-n)/15, avec n le numéro du tireur.
Leur probabilité de vie est donc de :
p=1/2 (cas où le numéro 1 prend le révolver vide) +1/2 (cas où le numéro 1 prend le révolver plein)*(1-(6-n)/15))
p= (24+n)/30

Concernant les 6 derniers tireurs
, j'ai remarqué que leur probabilité de mort était « symétrique », dans le cas où le tireur 1 prenait le révolver plein.
En effet, dans ce cas, la probabilité de mort du 7 est égale à celle du 6, celle du 8 à celle du 5,…etc..
Je trouve donc (6-(13-n))/15 = (n-7)/15
Leur probabilité de vie est donc :
p=1/2 (cas où le numéro 1 prend le révolver vide)*(4/6) +1/2 (cas où le numéro 1 prend le révolver plein)*(1-(n-7)/15))
p=(32-n)/30

Je conclus donc que les tireurs 5 et 6 ont le plus de chances de survivre avec respectivement une probabilité de survie de 29/30 et 30/30.
Les tireurs 11 et 12 ont le moins de chances de survivre avec respectivement une probabilité de survie de 21/30 et 20/30.

Posté par
manpower
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 27-06-06 à 21:56

perduBonsoir,

Joli titre "les douze salopards" ou comment écrire des gros mots sans se faire censurer...
Je n'ai franchement pas le courage d'écrire ma réponse à cette énigme où ça Bayes de partout ...
car j'ai des brouillons partout et surtout j'ai vraiment calculé rang par rang. Je n'ai pas trouvé de manière satisfaisante pour modéliser ou formaliser la situation (les deux révolvers étant différemment chargés et surtout de par le fait que chacun a vu le révolver utilisé par le précédent tireur...).
Voici donc juste l'amorce des calculs (semblables par la suite)

Pour le premier tireur,
de façon évidente il a une probabilité P1 de \frac {1}{2}\times \frac {2}{6}=\frac {1}{6} de mourir pour le pistolet C (chargé) et une probabilité P'1=0 pour le pistolet D (déchargé ou vide).
Soit une probabilité totale P1=\frac {1}{6}.

Pour le second tireur,
si le tireur 1 meurt, alors le tireur 2 aura intérêt (sauf s'il est suicidaire) à changer de pistolet... et il est assuré de ne pas mourir et ceux jusqu'au joueur 8 qui devra reprendre l'arme du crime... sa probabilité de mourir est donc nulle.
si le tireur 1 y échappe, il aura une probabilité de \frac{\frac{4}{6}}{\frac{4}{6}+1}=\frac{4}{10} d'avoir choisi le pistolet C contre une probabilité de \frac{1}{\frac{4}{6}+1}=\frac{6}{10} d'avoir choisi le pistolet D.
Ainsi le second tireur aura intérêt à choisir le même pistolet.
La probabilité P2 que le second tireur meurt est alors de \frac{5}{6}\times \frac{4}{10} \times \frac{2}{5}=\frac{2}{15}.
(5/6 que 1 ne meurt pas, 4/10 qu'il ait choisi le pistolet C et 2/5 pour les deux balles restantes sur les 5 coups).

Ensuite, il faut remettre le couvert pour tous les autres salopards (sachant que chacun aura intérêt à conserver la même arme que le tireur précédent (sauf s'il meurt)).
Les probabilités que j'ai calculé sont finalement (ramenées en trentième):
\blue P1=\frac{5}{30}
\blue P2=\frac{4}{30}
\blue P3=\frac{3}{30}
\blue P4=\frac{2}{30}
\blue P5=\frac{1}{30}
\blue P6=0
\blue P7=\frac{5}{30}
\blue P8=\frac{6}{30}
\blue P9=\frac{7}{30}
\blue P10=\frac{8}{30}
\blue P11=\frac{9}{30}
\blue P12=\frac{10}{30}
La somme des probabilités vaut 2 ce qui est normal vu que 2 salopards doivent mourir (c'est rassurant).

Enfin donc pour répondre à la question posée:

Les deux joueurs qui ont le plus de chances de survivre sont:
Le numéro 2$ \red \rm 6 avec une probabilité 2$ \red \rm P1=0 (il est peinard celui-là au moins!).
Le numéro 2$ \red \rm 5 avec une probabilité 2$ \red \rm~P5=\frac{1}{30}.

Les deux joueurs qui ont le moins de chances de survivre sont:
Le numéro 2$ \red \rm 12 avec une probabilité 2$ \red \rm~P12=\frac{3}{10}.
Le numéro 2$ \red \rm 11 avec une probabilité 2$ \red \rm~P11=\frac{1}{3}.

OUF ! Bon, ça semble a priori se tenir...

Merci pour cette douloureuse énigme. Assurément un mois pas facile.

Posté par
chaudrack
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 28-06-06 à 00:21

gagnéMerci pour cette énigme tordue...

Donc, pour répondre à la question,

les deux joueurs qui ont le plus de chance de survie sont
le 5ème (29/30 chances de survie) et
le 6ème (1/1 de survie il en est sur)

et ceux qui en ont le moins sont
le 11ème (21/30 chance de survie) et
le 12ème (avec 20/30)

@ plus, Chaudrack

Posté par Torpedo (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 28-06-06 à 18:00

perduSalut,

Il n'est pas precise si les balles sont placees de facon particuliere dans le chargeur du premier revolver : en particulier, pas de raison pour pense qu'elles se suivent. Ensuite les participants connaissent les revolvers utilises par leurs predecesseurs, et il est implicite dans l'enonce que le resultat de chaque coup de revolver est egalement connu. Autrement le probleme n'aurait pas d'interet : pas de strategie a appliquer et equiprobabilite de survie pour tous.

A partir de la strategie que je detaille plus bas, j'ai etabli l'arbre des evenements dans une belle feuille Excel , avec calcul de la probabilite de chaque scenario. J'arrive au resultat suivant :

Les joueurs 6 et 7 (dans l'ordre du tirage au sort) ont les meilleures chances de survie avec chacun une probabilite 3$\fbox{11/12} de s'en sortir (91.7% de chances de survie)

Les joueurs 11 et 12 ont le moins de chances de survivre. Le joueur 11 survit avec une probabilite de 3$\fbox{1483/2160} (68.7% de chances de survie), le joueur 12 avec une probabilite de 3$\fbox{1363/2160} (63.1% de chances de survie)

La strategie des douzes salopards est la suivante :

1) Tant qu'aucune balle n'a touche l'un des joueurs, on n'a pas la connaissance de quel revolver est vide. Les joueurs prennent chaque pistolet alternativement (revolver 1, 2, 1, 2...) car le pistolet qui a le moins servi est celui ou la probabilite de tomber sur une balle est la plus faible...

2) Des que l'un des joueurs est tue, les suivants ont la connaissance du revolver vide : ils utilisent alors systematiquement celui-ci, jusqu'a ce que les six coups aient ete tires. Ils laissent le revolver avec la derniere balle pour les derniers joueurs...

3) Fin de partie : admettons que l'on suive la regle 1) jusqu au joueur 9. Le coup de ce joueur est decisif car il ne reste plus que deux coups par revolver. L'issue de ce tour permet donc de distinguer le revolver vide de celui contenant deux balles. Le jeu des joueurs 10, 11 et 12 est determine a partir de ce moment-la : le numero 10 survit, le numero 11 a une chance sur deux de survivre et le dernier est tue.

En esperant ne pas avoir fait d'erreur de calcul ou de raisonnement !

Merci pour cette enigme !

Posté par savoie (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 28-06-06 à 18:24

gagnéBonjour,

Voici ma proposition : après 4 pages de calculs (je vous en ferai grâce…), et donc après une méthode un peu lourde (j'imagine aisément qu'il y en a de plus élégantes, mais pour le sprint final du challenge du mois de juin, mieux vaut éviter les risques…) je trouve la solution suivante :

Dans l'ordre de passage du joueur 1 au joueur 12 (numérotés de J1 à J12), leur probabilité de survie est la suivante (sous forme de fraction) :
J1 : 25/30
J2 : 26/30
J3 : 27/30
J4 : 28/30
J5 : 29/30
J6 : 30/30 = 1 : il est sûr de survivre !
J7 : 25/30
J8 : 24/30
J9 : 23/30
J10 : 22/30
J11 : 21/30 = 7/10
J12 : 20/30 = 2/3

Les 2 joueurs qui ont le plus de chance de survivre sont le 5 et le 6, avec une probabilité de survie de 29/30 et de 1.

Les 2 joueurs qui ont le moins de chance de survie sont le 11 et le 12, avec une probabilité de survie de 7/10 et de 2/3.

Merci pour cette énigme bien coriace.

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 09:38

Bonjour à tous.

Difficile ce défi ? Ou bien est-ce les vacances ? En tout cas le nombre de participants s'amenuise.

Tout d'abord il fallait déterminer la tactique à mettre en place pour les joueurs. S'il était évident qu'il fallait changer de révolver après un coup de feu, quelques calculs étaient nécessaires pour voir qu'il fallait garder le même après un coup à blanc.

Pour ma solution, j'avais un tableau qui ressemblait à celui de Bornéo.

>Nobody: Ta réponse m'a posé un cas de conscience ! Alors qu'il était bien précisé qu'il fallait donner les probabilités sous forme de fraction, tu les as données en %. Pas de problème jusque là car -comme je le dis à mes élèves- les % ne sont rien d'autres que des fractions. Le seul petit souci est que tu as dû faire des

Citation :
arrondis
alors que l'on avait des fractions irréductibles. Après avis du CSI qui a su prendre en compte le fait que ton raisonnement était bon et que tes deux formules générales (n+24)/30 et (32-n)/30 étaient correctes, j'ai décidé d'accepter ta réponse.

En revanche, >Manpower:, j'ai peur de ne pas avoir pu faire appel à notre chère Clémence en ce qui concerne ta réponse étant donné que tu sembles avoir indiqué les probabilités de décès. De ce point de vue tes phrases de conclusion sont quelque peu incohérentes.

Concernant les mauvaises réponses, j'ai pu constater qu'elles aboutissaient au mêmes résultats (Fractal, piepalm, plumemeteore, torpedo).

Je n'en suis pas sûr, mais il semble que cela corresponde à une erreur dans la stratégie à adopter et non dans les calculs.

A bientôt.

minkus

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 09:38

désolé pour le "arrondis" erreur de manip

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 10:11

gagnéSalut Minkus, je suis bien contente que tu approuves mon tableau. J'avais peur de me faire encore traiter de bourin

cette énigme ne m'a pas semblé difficile. Pas plus que celle de la loterie de l'île. Je dois avoir des souvenirs de mes cours de probas du lycée...

Posté par nobody (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 10:22

Citation :
Ta réponse m'a posé un cas de conscience
Oups. En fait j'avais pas lu dans l'énoncé qu'il fallait donner la solution sous forme de fraction. Là je méritais un poisson.

Posté par Torpedo (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 11:19

perduSalut,

Pour repondre a la question de Minkus, oui il s'agit bien d'une difference dans la strategie de jeu : je pense que tous les quatre (Fractal, piepalm, plumemeteore et moi) nous avons considere que tant qu'un coup n'etait pas tire, il fallait prendre alternativement chaque pistolet :

Citation :
1) Tant qu'aucune balle n'a touche l'un des joueurs, on n'a pas la connaissance de quel revolver est vide. Les joueurs prennent chaque pistolet alternativement (revolver 1, 2, 1, 2...) car le pistolet qui a le moins servi est celui ou la probabilite de tomber sur une balle est la plus faible...



Mauvaise strategie semble-t-il.... Je finis mal le mois, moi

A++

Posté par nobody (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 15:49

J'aimerais savoir quels ont été les raisonnements (de façon rapide) de chacun ? A part le raisonnement "tableau" qui consistait à tout énumérer ... Bref comment faire si l'énigme avait été avec un revolver à n balles, et 2n salopards et n=10^{2006} par exemple

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 17:59

gagnéSoit n le nombre de coups d'un révolver. Je considère 2 balles dans l'un et aucune dans l'autre.
Pour les n premiers, la probabilité de mort du ième pistolero si on prend le révolver chargé dès le début est :
((n-2)/n)*((n-3)/(n-1)*((n-4)/(n-2))*...((n-i)/(n+2-i))*(2/(n+1-i) = 2*(n-i)/(n*(n-1))
La probabilité de vie si on prend le révolver chargé dès le début est :
1 - 2*(n-i)/(n*(n-1))
La probabilité de vie du i ème est donc :
1/2 [ 1+ (1 - 2*(n-i)/(n*(n-1))]= (n2-2n+i)/(n(n-1))..
On voit bien que pour i=n, on a : p=1.
Pour les n derniers, on remplace i par 2n+1-i dans l'expression 2*(n-i)/(n*(n-1)), puis on fait les mêmes calculs.

Posté par Wismerhill (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 19:36

Salut à tous,

il y a quelque chose qui m'échappe au niveau de la stratégie à adopter.

Après le premier coup à blanc en prenant le même pistolet on a 3 chances sur 5 de rester en vie alors qu'avec le pistolet plein on a 4 chances sur 6 de rester en vie, il vaut mieux changer de pistolet...

Citation :
On supposera que les 12 salopards sont d'excellents probabilistes et qu'ils choisissent, quand arrive leur tour, la stratégie qui leur laisse le maximum de chances de survie.


Donc tant qu'aucune balle n'a été tirée, le salopard devrait choisir le pistolet qui a le plus de balles.

Citation :
Tout d'abord il fallait déterminer la tactique à mettre en place pour les joueurs. S'il était évident qu'il fallait changer de révolver après un coup de feu, quelques calculs étaient nécessaires pour voir qu'il fallait garder le même après un coup à blanc.


J'ai pas compris les calculs  

@+

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 19:50

gagnéSalut Wismerhill,

le principe de la roulette russe est qu'on ne sait pas où est la balle. Donc on prend un pistolet au hasard. quand la 1e balle est à blanc (ou plutôt qu'il n'y a pas de balle) on garde ce pistolet, car le fait qu'il y ait une place vide dans celui-ci fait qu'on a plus de chance d'avoir celui qui est vide que l'autre. Après la 2e balle à blanc, la chance s'améliore encore. Après la 5e balle à blanc, bingo! il n'y en a plus. Donc le 6e salopard ne risque rien.

Pour voir le jeu, un très bon film : The Deer Hunter qui se passe au Viet-Nam et dont je ne retrouve pas le nom français.

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 19:55

gagné

Citation :
J'ai pas compris les calculs  


Regarde mon tableau : 1 veut dire pas de balle, et 0 une balle (et un mort). Dans la 1e ligne, dans le cas A12 (balles en 1 et 2 dans le 1er pistolet) c'est le 1er salopard qui meurt. Donc le 2e prend le 2e pistolet, et on a 6 balles à blanc (les 6 "1") puis c'est le salopard 8 qui meurt.

J'ai fait tous les cas pour ne pas me planter, mais ça se déduit de manière assez automatique.

Posté par nobody (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 20:24

@borneo : ca serait pas "Un voyage au bout de l'enfer" ??

@nofutur2 : merci, j'ai l'impression que cela rejoint un peu ce que j'ai fait

Posté par
manpower
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 20:24

perduBonsoir,

encore une belle boulette... j'ai effectivement calculer les probabilités de décès (et non de survie) et au moment de donner la réponse finale ,pour être sûr de ne pas me planter ( hum raté ! ), j'ai fait un copier-coller des questions (hihihi).

Bon, je suis quand même satisfait d'avoir finalement réussi à résoudre l'énigme (malgré le ).

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 21:08

gagné

Citation :
@borneo : ca ne serait pas "Un voyage au bout de l'enfer" ??


Exactly

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 21:14

gagnéWismerhill,
Prenons le cas du second tireur.
Soit R1 le révolver chargé et R2 le révolver vide.
Sur 4 cas équiprobables de tirs successifs (R1+R1, R2+R2, R1+R2 et R2+R1), dans deux cas il a obligatoirement la vie sauve : R2+R2 et R1+R2 (un en gardant le même et un en changeant).

- Changer de révover (R2+R1 ou R1+R2) donne 1/2(2/6)=1/6=5/30 de probabilité de mort
- Garder le m^me révolver (R1+R1 ou R2+R2) donne 1/2*[(4/6)*(2/5)]= 4/30 de probabilité de mort.
Il a donc un petit intérêt à garder le même !!!

Pour le troisième, il y a 4 types de stratégie :
- choisir le même révolver donne 3/30 de probabilité de mort pour le 3ème
- choisir alternativement un revolver puis l'autre donne 4/30 de probabilité de mort pour le 3ème  :
- choisir le second et le troisième différents du prerémier donne aussi 4/30 de probabilité de mort pour le 3ème
- choisir le troisième différent des deux premiers révolvers donne 5/30 de probabilité de mort pour le 3ème.

D'où intérêt de garder le même...etc.

Bornéo
Le film, çà ne serait pas "Voyage au bout de l'enfer"???

Posté par
plumemeteore
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 22:16

perduJe ne suis pas d'accord sur le fait que le revolver avec lequel on vient de tirer à blanc soit le revolver inoffensif le plus probable. Ou alors veuillez me faire clairement le calcul des probabilités respectives.
Je m'en tiens à ma solution : à tout moment, tant qu'un coup de feu n'a pas été tiré, il y a dans chaque revolver un risque sur deux pour qu'il soit dangereux. Donc il vaut mieux choisir celui qui a le plus de coups restants (4/6 est par exemple une meilleure chance que 3/5)

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 03-07-06 à 22:37

gagné->plumemeteore
Voir mon calcul pour le second et le troisième dans message précédent.

Posté par Torpedo (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 00:40

perduBonsoir,

Oui d'ailleurs je rectifie mon message de ce matin, l'erreur que nous avons été plusieurs à commettre ne réside pas seulement dans le choix de la stratégie des joueurs, mais avant tout dans le calcul des probabilités. (... Partant sur des probabilités fausses, on choisit la mauvaise stratégie.)

Il est en effet erroné (bien que très tentant ) de supposer que tant qu'aucun coup n'est parti, la probabilité de choisir le pistolet chargé est de 1/2 à chaque tour: c'est négliger de prendre en compte le petit gain d'information d'un coup à blanc. Si je reprends mes calculs d'il y a quelques jours en changeant les facteurs 1/2 par les bonnes probas, je retombe sur les valeurs données pas Nofutur2. Ca colle...

Bon ! Eh bien on apprend des choses ! Passons aux énigmes du mois de Juillet !
  

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 04:45

plumemeteore:

Citation :
Je ne suis pas d'accord sur le fait que le revolver avec lequel on vient de tirer à blanc soit le revolver inoffensif le plus probable. Ou alors veuillez me faire clairement le calcul des probabilités respectives.

En complément de Nofutur2...

Prenons juste le cas du 2ème salopard.
On veut montrer que la probabilité que "le revolver choisi soit inoffensif sachant que le 1er salopard survit" est supérieure à la probabilité que "le revolver choisi soit dangereux sachant que le 1er salopard survit".
Il est alors évident que la stratégie du 2ème salopard, si le premier survit, est de garder le même revolver, puisque la probabilité qu'il soit le revolver inoffensif est plus grande que celle de l'événement contraire.

L'expérience aléatoire est la suivante :
- le premier salopard prend un revolver au hasard ;
- il tire un coup, et survit ou meurt.

On s'intéresse à deux questions :
- quel était le revolver choisi ?
- quel est le sort de ce 1er salopard ?

L'univers est donc constitué des 3 éventualités suivantes :
\omega_1 : "le 1er salopard a pris le revolver inoffensif et survit"
\omega_2 : "le 1er salopard a pris le revolver dangereux et survit"
\omega_3 : "le 1er salopard a pris le revolver dangereux et meurt"

On considère les 4 événéments :
RI : le revolver choisit par le 1er salopard était le Revolver Inoffensif (RI=\{\omega_1\})
RD : le revolver choisit par le 1er salopard était le Revolver Dangereux (RI=\{\omega_2,\omega_3\})
SS : à l'issue du 1er coup, le 1er Salopard Survit (RI=\{\omega_1,\omega_2\})
SM : à l'issue du 1er coup, le 1er Salopard Meurt (RI=\{\omega_3\})
En raison du choix au hasard du revolver, on a :
\mathbb{P}\left(RI\right)=\frac{1}{2}
\mathbb{P}\left(RD\right)=\frac{1}{2}
En raison du nombre de balles par revolver, on a immédiatement :
\mathbb{P}\left(SS/RI\right)=1
\mathbb{P}\left(SM/RI\right)=0
\mathbb{P}\left(SS/RD\right)=\frac{4}{6}
\mathbb{P}\left(SM/RD\right)=\frac{2}{6}

On veut montrer que : \mathbb{P}\left(RI/SS\right)>\mathbb{P}\left(RD/SS\right)

Comme ces deux événements sont complémentaires, on veut en fait montrer que :
\fbox{\mathbb{P}\left(RI/SS\right)>\frac{1}{2}}

Allons-y...

3$\begin{array}{rcl}
 \\ \mathbb{P}\left(RI/SS\right) & = & \frac{\mathbb{P}(RI\cap SS)}{\mathbb{P}(SS)}\\
 \\ & = & \frac{\mathbb{P}(SS/RI)\cdot\mathbb{P}(RI)}{\mathbb{P}(SS\cap RI)+\mathbb{P}(SS\cap RD)}\\
 \\ & = & \frac{\mathbb{P}(SS/RI)\cdot\mathbb{P}(RI)}{\mathbb{P}(SS/ RI)\cdot\mathbb{P}(RI)+\mathbb{P}(SS/RD)\cdot\mathbb{P}(RD)}\\
 \\ & = & \frac{1\cdot\frac{1}{2}}{1\cdot\frac{1}{2}+\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{2}}\\
 \\ & = & \frac{3}{5}\quad\fbox{>\frac{1}{2}}
 \\ \end{array}

CQFD

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 08:03

gagnéMagnifique !

C'est ce que je pensais, mais sans vraiment le démontrer. En fait, la stratégie de ne changer de pistolet qu'après le 1er coup de feu permet au numéro 6 de s'en tirer à coup sûr. C'est ce qui m'a convaincue de choisir cette stratégie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 08:18

Merci pour ces applaudissements non mérités, borneo.
Quel plaisir que de pouvoir écrire des mots grossiers (s***) sans se faire gronder ! Merci, minkus, de nous avoir donné cette opportunité.

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 08:49

Je crois qu'il faut calculer des probabilites conditionnelles, "sachant que le premier coup était à blanc".

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 09:22

gagné

Citation :
Quel plaisir que de pouvoir écrire des mots grossiers (s***) sans se faire gronder !


D'ailleurs c'est amusant de voir qui a écrit "salopard" et qui a trouvé un mot plus correct. Dès que c'est la récré (eh oui, ce n'est pas encore les vacances) je vous fait une petite étude là-dessus

Posté par Wismerhill (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 18:39


Merci Bornéo,

j'ai refais ton tableau (pour comprendre le fonctionnement), je n'avais pas pensé qu'il était possible de voir toutes les combinaisons de cette manière, et en fait si . Il faudra

Posté par Wismerhill (invité)re : DEFI 35 : Les douze salopards.*** 04-07-06 à 18:41

erreur de manipulation....

Il faudra que je me souvienne pour les autres énigmes.

Merci Nofutur2

je pense que j'ai compris la stratégie à adopter.

@+
Wismerhill

Posté par
Kidam
re : DEFI 35 : Les douze salopards. 26-04-12 à 09:13

Salut à tous,

J'ai une question concernant cette énigme. Je viens de lire l'ensemble des posts, j'ai bien compris toutes les réponses et pourtant quelque chose me chiffonne.

Le premier joueur prend un revolver au hasard et tire. Comme cet évènement est indépendant de se qui se passera par la suite, la probabilité qu'il se fasse sauter le caisson semble donc être 1/2*1/6 = 1/12 soit 8.3%.
Pourtant, la majorité des calculs indiquent que sa probabilité de survie est de 83.3%, ce qui veut dire que sa probabilité de mort est de 16.6%, soit 2 fois plus !!!

J'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je n'arrive pas à expliquer cette apparente contradiction.

Si quelqu'un peut m'expliquer, je suis preneur.

Kidamicalement

Posté par
borneo
re : DEFI 35 : Les douze salopards. 26-04-12 à 10:25

gagnéIl y a 30 cas possibles et 5 cas où la balle part, pour le premier joueur.

donc sa probabilité de mourir est de 5/30

Posté par
Kidam
re : DEFI 35 : Les douze salopards. 26-04-12 à 10:46

Ca vient de faire tilt... Dans le premier cas, j'ai oublié qu'il y a deux balles, c'est donc 1/2*2/6 = soit 16.6 %... Je retourne me coucher.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 28:45:48.
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