défi 4

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défi 4
Posté par 
xunil  03-05-08 à 18:23
bonsoir, 

je balance ... (au fait en blankés pour tous les défis ...).

Citation :
Trouver tous les nombres complexes  tels que les points d'affixes  et  soient alignés.
 Posté par 
plumemeteorere : défi 4  03-05-08 à 22:27
bonjour Xunil

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z : (a; b)

z² : (a²-b²; 2ab)

z4 : (a²+b²-6a²b²; 4ab(a²-b²))

(a²-b²-a)/(2b²-6a²b²) = b(2a-1)/(ab(4a²-4b²-2))

(a²-b²-a)(4a³-4ab²-2a) = (2a-1)(2b²-6a²b²)

4a5 - 4a³b² - 2a³ -4a³b² + 4ab4 + 2ab² - 4a4 + 4a²b² + 2a² = 4ab² - 12a³b² - 2b² + 6a²b²

b4*4a + b²(4a³-2a²-2a+2) + b(4a) + 4a5-4a4-2a³+2a²

b est une solution d'une équation du quatrième degré dont les coefficients sont fonction de a
 Posté par 
mikayaoure : défi 4  03-05-08 à 22:49
bonjour

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ce n'est pas plus simple sous forme rho-theta ?

 Posté par 
disdrometrere : défi 4  03-05-08 à 23:12
salut

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écartons les solutions z=0 et z=1

si les points associés à ces affixes sont alignés, donc ils forment plat

soit

ou encore  z² +z +1 réel ou si on pose z=x+iy , 

2xy +y =0  ou  (2x+1)y=0   

les solutions sont les droites d'équations x=-1/2 et y=0

 Posté par 
mikayaoure : défi 4  03-05-08 à 23:20
Salut DD

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z²-z = z(z-1)

z^4-z² = z²(z²-1) = z²(z-1)(z+1) = [ z(z+1) ][ z(z-1) ]

z^4-z² = ( z(z+1) ).( z(z-1) )

si z, z², z^4 sont alignés alors z(z+1) est réel (x+iy)(x+1+iy) = Re + iy(2x+1)

il faut donc soit y=0 soit x=-1/2

A vérifier

 Posté par 
Skopsre : défi 4  03-05-08 à 23:31
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Ah, j'avais pas pensé à cette méthode disdro ^^

Je sais pas si ce que j'ai fait est très bon mais bon ^^

Appelons k le coefficient de proportionnalité qu'il y a entre les vecteurs d'affixe  et 

 si 

 si 

Skops 
 Posté par 
xunilre : défi 4  04-05-08 à 08:32
plumemeteore: 
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là c'est beaucoup calculatoire mais on devrait arriver à quelque chose de simple ... faudrait que je me penche pour voir si les solutions conviennent.

disdrometre:  Cliquez pour afficher
oui c'est une méthode très jolie, tu peux aussi écarter d'autres solutions au début pour que les points soient distincts et ainsi amorcer ta démo... bien joué 

mikayaou :  Cliquez pour afficher
ca marche aussi bien joué 

skops:  Cliquez pour afficher
là je ne comprend pas, tu raisonnes bien comme disdromètre mais ensuite ça me devient flou ...

et donc finalement on pouvait conclure que ce sont les réels et les complexes dont la partie réelle est 
 Posté par 
mikayaoure : défi 4  04-05-08 à 09:03
oui, bonjour xunil

A ton ensemble solution, il faut peut-être enlever les points d'affixes z=0, z=-1, z=1 et les racines troisième de l'unité si on ne veut pas que les points soient confondus

car, mais je n'en suis pas sûr, on ne peut parler d'alignement que pour des points distincts, non ?

A vérifier

 Posté par 
mikayaoure : défi 4  04-05-08 à 09:08
Ce serait donc les deux droites y=0 et x=-1/2 moins les cinq points cités, sauf erreur...

 Posté par 
xunilre : défi 4  04-05-08 à 09:08
oui c'est vrai, il semble idiot de parler d'alignement pour deux ou un point ... attendons l'avis des autres.
 Posté par 
Skopsre : défi 4  04-05-08 à 10:54
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On a alignement donc  avec k réel

Je suppose z différent de 0

z=1 est solution évidente donc on peut factoriser et on se retrouve avec

Skops 
 Posté par 
disdrometrere : défi 4  04-05-08 à 15:18
salut à tous !

c'est vraie que ma solution n'est pas complète !
  Posté par 
simon92re : défi 4  04-05-08 à 16:55
xunil, si il y a deux points distinct on peut pas parler d'alignements, mais pas si les trois sont confondus