Le nombre de côtés du champ d'Aille est égal à 21.
Merci pour cette belle représentation de l'oeuvre de Van Gogh "Champ de blé avec cyprès", peint en 1889 et exposé à la National Gallery de Londres (à ne pas confondre avec "Champ de blé vert avec cyprès" du même artiste).

Bonjour à tous...

Ma réponse est 21 cotés pour le polygone de Mr Aille.

C'est la seule réponse qi m'AILLE!

Merci,

@ plus, Chaudrack

Bonsoir
Si le rayon est 1 on a
AD²=2-2.cos(3*360°/21) =>            1/AD =     1,152382435
AG² = 2-2.cos(6*360°/21)   =>        1/AG =     0,639524004
AJ² =2.2.cos(9*360°/21)   =>          1/AJ =    0,512858432
et
0,639524004  +  0,512858432  = 1,152382436  =>
Le nombre  de côtés que possède le champ d'Aille  =  
A+

Le champ a 21 cotés puisque 1/sin(pi/7)=1/sin(2pi/7)+1/sin(3pi/7)

Et le tableau est de Vincent...

Bonsoir,

plutôt déconcertant au départ comme problème, mais finalement avec un peu de trigonométrie (pas joli joli mais bon je n'ai trouvé que ça), je trouve que le champ d'Aille _{qui pue l'over} (le polygône de départ) possède côtés.

Quant au tableau je propose CHAMPS DE BLE AVEC CYPRES de Vincent Van Gogh.
(Pour ça je dois remercier ma femme et Google ).

1. Le champ a 21 côtés
2. Van Gogh
3. Bravo pour le LaTeX !!

Bonjour,

Le champ d'Aille a 21 côtés.

A+,
gloubi

30 cotés

Salut à tous,

le champ d'Aille () possède 21 côtés.

Sinon pour le tableau il s'agit de Champ de blé et cyprès (du but ?) de Vincent van Gogh.

Merci pour l'enigme

@+

21 côtés

Bonjour, dur de faire des maths quand on n'a ni compas ni règle...

Bref, avec un couvercle comme compas et du papier quadrillé comme règle, j'ai tracé plusieurs polygones pour voir à quoi ressemble le fameux champ.
Puis, grâce à un vieux Larousse, j'ai retrouvé les formules trigonométriques (je n'ai jamais su distinguer le sinus du cosinus sans aide extérieure) et j'ai trouvé qu'avec n = 21 la relation de l'énoncé est vraie. Tracer un polygone de 21 côtés... pas facile.

Ma réponse : n = 21

Pour la question subsidiaire, je dirais Van Gogh, mais je vais vérifier sur google.
Merci pour l'énigme.

Bingo !

Bonjour
Le nombre de cotés est 13.
Et merci pour l'oeuvre de van gokh!

Bonjour,

le champ a 21 côtés !

Le tableau est de Van Gogh.

A bientot !

Le champ d'Aille possède 21 côtés.
Il s'agit d'une toile de Vinvent van Gogh  "Champ de blé avec Cyprès"

bonjour,

j ai trouvé 21 cotés.
en utilisant les complexes, j ai mis A(1), B(e[sup][/sup]2i*pi/n), etc...
je trouve l affixe des vecteurs AD, AG et AJ et je calcule leurs modules en utilisant quelques formules trigonometrique et je trouve AD=2sin(3pi/n), AG=2sin(6pi/n) et AJ=2sin(9pi/n) (en esperant ne pas m etre trompé car je retrouve plus ma feuille et je fais de tete).
en testant ensuite des valeurs a la main (je viens a peine de decouvrir ce site et j ai pas de trucs pour faire des programmes, mais j espere que ca va pas tarder), je trouve que 21 est solution de l'équation.

merci pour l enigme.

Bonjour !
Le champ d'Aille compte 21 côtés.

Bon, que je vous raconte mes péripéties. N'ayant pas trouvé de méthode particulière pour résoudre cette énigme, j'ai décidé de passer par la méthode forte, càd que j'ai essayé d'exprimer AX (pour n'importe quelle lettre) en fonction du nombre de côtés du polygone. C'était beaucoup trop compliqué à faire à la main alors j'ai trouvé la formule récurrente et j'ai demandé à Maple de me résoudre l'équation.
Environ ... 6 heures plus tard, il avait fini ses calculs et m'a donné un résultat. Faux évidemment parce que je m'étais trompé dans l'équation. Donc je remet la bonne équation et il me redonne une autre valeur, fausse également. Pourtant là l'équation était bien écrite et il n'y avait pas d'erreur. J'ai donc fini par comprendre que pour les équations trop compliquées, Maple ne donne qu'une solution . Je lui ai donc demandé de me calculer la solution la plus proche de pi (car en fait je calculais la valeur d'un angle du polygone) et j'ai enfin fini par avoir une réponse plausible (20,99999998 côtés).

Conclusion : il y avait sûrement une méthode moins bourrine (analytiquement, il faut 4 ou 5 pages pour exprimer AJ en fonction d'un des angles du polygone )

Question subsidiaire :
Soit c'est Van Gogh mais dans ce cas c'est trop facile, soit c'est un piège et là je n'ai pas la solution.
Mais je pense quand même que c'est Van Gogh.

Fractal

Bonjour,

Peu de commentaires ici. J'avais bien aimé le coté un peu "saugrenu" de l'égalité. Un défi assez technique finalement qui ferait un bon exercice de trigonométrie de lycée.

A partir de AD=2sin(3pi/n), AG=2sin(6pi/n) et AJ=2sin(9pi/n) une petite équation nous amenait à montrer que n était un diviseur de 21. Mais comme n valait au moins 10 (présence du point J) seul 21 faisait l' affaire.

Pour l'image, pas de piège il s'agissait bien de Van Gogh.

Fractal

On part du principe qu'un polygone régulier s'inscrit dans un cercle. Chaque sommet appartient à ce cercle et on peut noter en notation polaire chaque sommet selon ce modèle : exp(j2k/n) avec n le nombre de côtés du polygone et k l'indice (k=0 pour A, 1 pour B,...,3 pour D,..., 6 pour G et 9 pour J.

On retranscrit cette notation polaire en notation imaginaire
exp(j2k/n)=cos(2k/n)+jsin(2k/n)

Les distances sont calculées dans les coordonnées du plan 0,x,y et on a
Ax_k =(1-cos(k2/n))² + sin²(2k/n))
En prenant les k pour D, G et J, on obtient le tableau suivant sous excel

n AD AG AJ 1/AD 1/AG+1/AJ
12 1,414213562 2 1,414213562 0,707106781 1,207106781
13 1,326245316 1,985417748 1,645967732 0,754008318 1,111217663
14 1,246979604 1,949855824 1,801937736 0,801937736 1,067816564
15 1,175570505 1,902113033 1,902113033 0,850650808 1,051462224
16 1,111140466 1,847759065 1,961570561 0,899976223 1,050991679
17 1,052864326 1,790326583 1,991468353 0,949789992 1,060699359
18 1 1,732050808 2 1 1,077350269
19 0,951894786 1,674332957 1,993168986 1,050536272 1,098966379
20 0,907980999 1,618033989 1,975376681 1,101344632 1,124266552
21 0,867767478 1,563662965 1,949855824 1,152382435 1,152382435
22 0,830830026 1,511499149 1,918985947 1,203615624 1,182703373
23 0,79680218 1,461671929 1,884521844 1,255016647 1,214786633
24 0,765366865 1,414213562 1,847759065 1,306562965 1,248302881
25 0,736249105 1,369094212 1,809654105 1,358235946 1,283001714
26 0,709209774 1,326245316 1,770912051 1,410020048 1,318689099
27 0,684040287 1,285575219 1,732050808 1,4619022          1,355212183
28 0,660558124 1,246979604 1,693448398 1,513871322 1,392448791
29 0,63860306 1,21034843 1,655377996 1,565917958 1,430300002
30 0,618033989 1,175570505 1,618033989 1,618033989 1,468684797

et on voit que pour n=21 on a l'égalité 1/AD = 1/AG+1/AJ vraie.

ai-je bon
merci en tout cas pour l'énigme, plaisir des formules de trigo!

Salut Fractal

Justement, je n'avais pas les bonnes formules

Fractal

bonsoir
ceci est pour fractal(le calcul de AG et AJ en moins d'un quart de page)
dans le triangle ADG(qui est isocèle) AD/sinG=AG/sinD
dans le triangle ADJ  AD/sinJ=AJ/sinD
on pose =3/n pour simplifier l'ecriture
on en déduit AD/sin=AG/sin(-2)
             AD/sin=AJ/sin(-3)
on en déduit 1/AG=sin/ADsin2
             1/AJ=sin/ADsin3
la traduction de l'énoncé permet d'écrire sin/sin2+sin/sin3=1
en posant cos=u on est amené à résoudre l'équation 8u³-4u²-4u+1=0 sachant que 0<3/12
j'ai cerné la solution mais je n'ai pas eu le courage d'essayer des valeurs de n.
Minkus où apparait l'équation dont tu parles?  ce n'est pas celle là,est-ce que je me suis trompée?

Ralala je vois jamais les trucs simples...
Merci veleda pour cette démonstration bien plus simple que la mienne (en même temps c'est dur de faire pire que moi )

Fractal

Une petite démo pour compléter celle de veleda.
Je noterai x=3pi/n ; on a alors AD=d sinx , AG=d sin2x et AJ=d sin3x
On en déduit 1/sinx=1/sin2x+1/sin3x qui s'écrit encore sinxsin2x+sinxsin3x-sin2xsin3x=0 En utilisant les formules d'addition on en déduit que:
cox-cos3x+cos2x-cos4x+cos5x-cosx=0 ou cos5x+cos2x-cos4x-cos3x=0
et en utilisant ces mêmes formules dans l'autre sens cos(7x/2)cos(3x/2)-cos(7x/2)cos(x/2)=0
soit cos(7x/2)(cos(3x/2)-cos(x/2))=0
qui a pour solutions 7x/2=pi/2+k*pi soit x=pi/7+2k*pi/7
ou 3x/2+x/2=2h*pi soit x=h*pi qui ne donne pas de polygone....

J'ai repris les valeurs données par slaurent128 qui, de mémoire, étaient celles que j'avais obtenues.

Ensuite l'équation que j'obtiens est celle donnée par Piepalm 1/sinx=1/sin2x+1/sin3x qui avec les bonnes formules permet d'aboutir à sinx(sin3x-sin4x) = 0 qui donne sin3x = sin4x puisque sinx=0 est impossible.

On trouve alors 7x = pi + 2kpi soit 21pi/n = pi + 2kpi  ce qui donne 21/n entier.

bonjour,
c'est bien la première équation que j'ai trouvée mais je n'ai pas fait les bonnes tranformations trigonométriques,c'est le problème avec la trigo on a de nombreuses formes pour la même expression,je vais refaire le calcul merci

Bonjour,

Saviez vous comment on appelle un polygone à 21 cotés?

ben un henicosagone évidemment!

@ plus, Chaudrack

Ps: La liste des polygones sur WIki: