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en les prenant alignés, ça ne marche pas ... ?

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Essaye de me donner une configuration précise qui répond à l'énoncé

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Intéressant. ( on pourrait bien s'organiser pour poster de tels défis (moi, toi, fusionfroide, tu es d'accord pour l'idée? Sinon pour la réponse, on peut la faire sur une droite où il y aura une suite arithmétique de raison 1

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non, ta solution ne marche pas, il n'y a que 5 points à placer ...

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Je n'ai pas 36 problèmes en stock, celui-ci provient du test de sélection de l'équipe française aux OIM, mais pourquoi pas.
Attention, il ne faut placer que 5 points, pas plus...

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oui. tu as raison

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Peut-être que je n'ai pas bien compris. Mais si d=1 entre A et B, 2 entre B et C, 3 entre C et D... On pourrait pas avoir 5 points puisque tu dis "deux à deux". Explique moi le prob stp

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non, je crois bien que la solution des points alignés ne marche pas, j'arrive à trouver 9 entiers, mais pas 10 !

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Si tu appelles tes cinq points A, B, C, D et E, alors les distances entre ces points deux à deux sont AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE ce qui fait bien dix possibilités, qui doivent être les entiers de 1 à 10

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Ca ne marche pas sur une droite? Peut-être bien, mais les points sont supposés être dans l'espace, donc il pourrait y avoir une solution où ils ne soient pas alignés...

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j'ai tenté sur une droite pour commencer ... je vais tenter dans le plan pour voir ce que ca donne ... mais si tu as précisé espace, c'est sans doute que les points ne sont pas coplanaires.

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"dans l'espace" => ils peuvent ne pas être planaires alors???

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Absolument !

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Je dois me brancher en 3D alors.... mails ils ne m'aiment pas

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je viens de réfléchir pour une solution dans un plan, ce n'est pas possible non plus. Conclusion : les points doivent être non-coplanaires (à condition qu'une solution existe).

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ai-je le droit de répondre "on ne sait pas s'il y a une solution", ce qui est différent de "il n'y a pas de solution" ??

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Pour ce genre de problème il y a deux sortes de réponses possibles : soit "il y a une solution" suivi des coordonnées des points ou toute autre caractérisation, soit "il n'y a pas de solution" avec une démonstration de pourquoi il ne pourrait pas y avoir de solution.
"On ne sait pas s'il y a une solution" n'est donc pas accepté (vu que le problème a une réponse, sinon il n'aurait pas été posé)

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Est ce qu'on doit utiliser une méthode combinatoire? géométrique? analytique? ... (si c'est géométrique oublie moi )

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il existe certains problèmes qui sont encore des conjectures, c'est à ça que je pensais. Il y a quelques années, imagine un problème qui aurait fait appel au théorème de Fermat. En particulier, je pensais ici à un autre problème encore non résolu. Mais si tu me confirmes qu'on peut répondre par OUI ou NON, alors je change de voie ...

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Comme je le disais à monrow, ce problème provient du test de sélection de l'équipe française pour les Olympiades Internationales de Mathématiques, donc je te confirme bien que l'on peut y répondre par OUI ou par NON.

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Déjà, la méthode analytique, oublie-la Après, c'est surtout une question de bon sens, on n'a pas du tout besoin de théorèmes géométriques abscons.

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Je démontre facilement que tous les points ne peuvent être alignés.
Soit un "vrai" triangle contitués par 3 points non alignés, et dont un côté est 1, les deux autres égaux à a et b (entiers différents de 1 et inférieurs ou égaux à 10).
J'ai 1²=a²+b²-2abcos=(a-b)²-2ab(cos-1).
(a-b)²est différent de 1, car les points ne sont pas alignés.
Il peut prendre des valeurs égales 2²,3²,4²,etc.., ce qui donne 2ab(cos-1)>0, ce qui est imposible.
Sauf erreur !!!

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Il me semble que tu as plutôt montré qu'ils étaient forcément alignés, non?
C'est un bon début en tous cas

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C'est impossible qu'il soient tous alignés..puisque dans ce cas on obtient les distances de 1 à 9, mais pas 10.

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J'avoue que je ne comprends pas bien ton raisonnement.
Tu considères un triangle non aplati et tu obtiens une contradiction, donc les points devraient être alignés. Non?

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Si les points sont alignés, il y a 4 segments.
Les poinst extrêmes sont éloignés de 10 et les segments de 1 et 2 sont aux extrémités pour atteindre 9 et 8.
Il faut donc répartir une longueur de 7 en deux segments .
6-1 et 5-2, sont imposssibles car 1 et 2 déjà pris et 4-3 donne soit deux fois 5, soit deux fois 4 ( 4 et 3+1).
Donc imposible.

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Je suis parti sur le même principe que Nofutur2 pour démontrer que les 5 points ne peuvent pas être alignés.
Pour 5 points coplanaires, je suis parti en prenant 3 points d'un triangle rectangle 3-4-5, mais ensuite, étant donné les triplets pythagoriciens, pas moyen de placer 2 autres points pour obtenir les autres valeurs ...

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C'est parfait mais il y a beaucoup plus simple pour arriver à une contradiction lorsque les points ne sont pas alignés

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Pas la peine de chercher compliqué, il existe un argument très simple qui permet de conclure dans le cas où les points ne sont pas alignés