1854/5040=103/280

Sur combinaisons possibles, 1 seule fait que tous les nains ont leur bonnet, 21 font que 2 nains exactement se trompent de bonnet, 70 que 3 se trompent, etc .. et 1854 font que les 7 nains se trompent.
Il y a donc une probabilité de 1854/5040=103/280 (=37% environ) qu'aucun nain ne récupère son bonnet.

Bonjour,

7 bonnets pour 7 nains soit 7! = 5040 combinaisons possibles.
Sur ces 5040 combinaisons, je trouve 1854 où aucun nain n'aura le soir le même bonnet avec lequel il est venu le matin.
Ce qui donne une probabilité de 1854/5040 soit soit environ 0,368 (plus d'un tiers)

Merci et à bientôt, KiKo21.

Bonjour, elle est bien plus dure que la machine à nombres, celle-là.

j'ai testé ça avec des nombres à 4 chiffres (seulement les chiffres 1 2 3 et 4) en regardant combien on en a qui n'ont aucun bon chiffre en les comparant avec 1234 par exemple.

Cas possibles : c'est n!

Cas favorables, j'ai trouvé une formule qui fonctionne avec n=4, n=5, n=6 on croise les doigts pour qu'elle soit bonne.

Cas favorables = (2*(n-2)! - 1)(n-1)

Je trouve pour mes 7 nains :

cas possibles = 7! = 5040

cas favorables = (2*5! -1)*6 = 1434

Donc la proba qu'aucun nain n'ait le bon bonnet est 1434/5040  qui est approximativement 28 %

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Si on explore les 5040 façons qu'on les nains de prendre un bonnet au hasard, on trouve 1854 cas où aucun nain n'a repris son bonnet du matin.

Probabilité recherchée: 1854/5040 = 103/280 soit environ 36,8 %.

gloubi
-

Sur les 5040 possibilités de choix (7!), il y en a 1854 qui correspondent à un choix de bonnet différent au retour, et ceci pour l'ensemble des 7 nains.
Soit une probabilité de 36,78%.

Bonjour
Ca devrait donner

A+

Je trouve une probabilité de 36,79%

Bonsoir,

On cherche une bijection sans point fixe entre les nains et les bonnets...
j'ai donc considéré les dérangements (dn) !
On a d1=0 et la formule de récurrence dn+1=(n+1)dn+(-1)^(n+1).
d'où d2=1, d3=2, d4=9, d5=44, d6=265 et d7=1854.
Le nombre de permutations possibles étant de 7!, la probabilité cherchée est donc de 1854/7! (pour n nains dn/n!) soit après simplification .

Merci pour l'énigme.

Bonjour, je trouve une probabilité de 103/280.

Fractal

Grace a ma colle d'aujourd'hui, je sais que le nombre de dérangements d'un ensemble a n éléments vaut :
n! sum((-1)^k/k! ,k,0,n) (dsl, mais Latex ne marche pas chez moi...).
Pour 7, on trouve qu'il y en a 1854. La probabilité est donc 1854/7! (7! est le nombre total de permutations).

Cela donne environ 36,79 %

Bonjour,

Après décompte, il y a 1854 possibilités pour qu'aucun des 7 nains ne reparte avec le bonnet du matin.
Il ya 5040 façons de répartir les bonnets entre eux (factorielle 7)

Donc la proba cherchée est :
1854/5040 soit 103/280 soit environ 0.37

Bonjour,

J'ai déjà passé trop de temps à chercher alors comme je ne voudrais pas tout dénombrer, voici ma proposition :

Avec 1 nain, la probabilité qu'il ne prenne pas son bonnet est 0 soit encore 0/2

Avec 2 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet est : 1/2 soit encore 3/6

Avec 3 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet est : 2/6 soit encore 8/24

Avec 4 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet est : 9/24 soit encore 45/120

Avec 5 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet est : 44/120 soit encore 264/120

Avec 6 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet est : 265/720 soit encore 1855/5040

J'en conclu une progression entre les probabilités qui me fait penser que, avec 7 nains, la probabilité qu'aucun ne prenne son bonnet pourrait être : (1855-1)/5040 = 1854/5040 soit encore 103/280.

Voilà, sans certitude, je propose une probabilité de 103/280, mais je n'ai pas le temps de vérifier. Tant pis si je vais à la pêche en cette fin de mois.

Merci pour cette énigme

Bonjour,

aprés un 1e calcul à la main, je trouve un certain résultat.
Cependant, je vérifie plus "sauvagement" mon résultat avec un petit programme informatique, mais je n'obtiens pas le meme resultat...
On a le droit de mettre 2 reponses ???
J'imagine que non, alors je choisis l'option informatique et dit : 103/280.


(sinon, a la main, j'avais trouvé 43/105)

Merci pour l'énigme.

1854/5040 = 103/280 = 1/e environ.
Le plus simple est d'imiter ces braves personnages, c'est-à-dire creuser, ici dans les nombres.
a>>b signifie : il y a b permutations avec a bonnets à la bonne place.
Avec quatre bonnets : 4>>1; 2>>6; 1>>4*2=8. 0>>9
Avec cinq bonnets : 5>>1; 3>>10; 2>>10*2=20; 1>>9*5=45; 0>>44
Avec six bonnets : 6>>1; 4>>15; 3>>20*2=40; 2>>15*9=135; 1>>6*44=264; 0>>265
Avec sept bonnets : 7>>1; 5>>21; 4>>35*2=70; 3>>35*9=315; 2>>21*44=924; 1>>7*265+1855; 0>>1854

Salut,

La probabilité qu'aucun nain ne reprenne le bonnet qu'il portait le matin est de 1854/5040 (soit 0.3678571429)

la probabilité est de 103/280 soit environ 36,8%

1854

Salut à nouveau les amis,
Je suis en forme ce soir !
Celle là est facile je crois : Ils ont tous une chance sur 7 (comme pour avec le dé mais avec 7 faces) d'avoir leur chapeu donc ils ont 6 chances sur 7 de ne aps avoir leur chapeau.
J'éspère que c'est bon !
quand c'est corrigé ?

Bonsoir,

Pour ma part je trouve qu'ils sont 1 chance sur 49 pour qu'aucun des septs nains ne repartent avec le bonnet avec leque il est arrivé le matin.

Tuarai

Bonjour,

Après un poisson, je viens en reprendre un autre !

Enfin bon, l'essentiel est de participer. Je m'attendais qu'il y ait des calculs plutôt savants, mais en fait, non.

Voici mon raisonnement : comme il y a sept bonnets, la chance de ne pas repartir avec le sien est de , je dirais :
!

Merci pour l'énigme

LucaS

Bon ben, merci du poison...

LucaS

Euuuh je dis une chance sur 49
mais ce serait trop facil ^^

je dirais 6/7*5/6*4/5*3/4*2/3*1/2= 1/7

bonsoir, il y a 5039/5040 chance qu'aucun n'est son chapeau

bonjour,

je dénombre 1854 cas possibles sur 5040
soit une probabilité de 103/280 = 36,79 %

Sylvain

jki

Bonjour,

La réponse était bien 1854/5040 ou 103/280. La formule générale est donnée par Geo3. Apparemment celle de Borneo ne fonctionne pas.

Cet exercice était basé sur la "théorie des coincidences développée entre autres par Euler. Il existe quelques liens sur la toile mais la plupart sont en anglais. Les curieux chercheront par eux-meme.

Enfin, je tiens à souhaiter un bon retour a Franz (Monsieur 4 smileys) meme si j'ai du lui mettre un sur ce coup. On demandait bien la probabilité et non le nombre de cas favorables

minkus

Je vais essayer de corriger les deux derniers defis ce week-end

Bonsoir à tous

Vu le temps passé, ça me fait râler d'avoir un

ça m'apprendra à vouloir trouver pas moi-même des formules qui sont dans tous les bouquins

Mon dénombrement pour 5 était correct, mais pas pour 6. Donc pas non plus pour 7

Merci en tout cas pour cette énigme qui m'a fait passer un bon moment.

Ah non Bornéo, il me semble que le but de l'énigme, ce n'est pas de rechercher des formules dans les bouquins ! Il y a les méthodes bourrins, les méthodes au fealing, les méthodes légèrement googleisante, les méthodes pro de l'informatique, les méthodes JFF, les méthodes puristes. Mais la méthode je sais tout trouver dans un bouquin, là il y a changement de l'esprit !

D'ailleurs ici tu as essayé au fealing, comme d'autre qui n'ont pas voulu tout dénombré... ben ce n'est pas passé pour toi : allez on sait que tu recherche la 2° place du challenge et que c'est pour bientôt. Courage !

Merci pour tes encouragements. Ce qui me fâche, c'est que ça a l'air d'être un truc classique en probas, et que je n'avais même jamais entendu parler de dérangements...

Moralité : j'aurais dû être plus sérieuse dans mes études

Bonsoir,

Plus qu'un poisson... ...et j'en aurai dix. Mais je suis très jeune, et vu les devoirs qui m'attendent (le pire, c'est le français qui nous fait travailler comme en 1°l) quand même beaucoup de devoirs par semaine, je n'ai pas le temps de me consacrer à ce genre d'énigmes... ...mais j'aime bien quand-même... ...si je peux m'arranger avec un ingé ou un prof ou bien avec les posteurs d'énigmes... ...tant pis, c'était plutôt sympathique.

LucaS