Bonjour , sauf erreur

 Cliquez pour afficher

f(x)=sin(x²)

Salut,

 Cliquez pour afficher

la fonction sin(x²) fait l'affaire me semble-t-il.

Merci à tous les deux; j'avais plus compliqué!

De rien, par curiosité tu avais quoi?

Bonjour Camélia,

 Cliquez pour afficher

Pour n entier naturel on définit la fonction f ainsi :

¤ f est nulle pour
¤ f est affine, croissante sur et
¤ f est affine, décroissante sur et

on impose f paire

Le graphe de cette courbe fait des pics de plus en plus fins ; la fonction est bornée, de dérivée non bornée, mais pas C¹.

En fait pour la rendre C¹ il suffit d'arrondir les points anguleux en injectant du cosinus dans l'expression de f ... je me souviens avoir posé la question à ma prof sur le cours des intégrales impropres

Mais concrètement, je n'ai pas encore eu le temps (et l'envie) de m'y pencher ...

J'avais posté un exo d'oral intéressant qui fait intervenir à peu près la même fonction, mais un ptit peu ardu (ENS ) Intégrabilité

tout le monde >

 Cliquez pour afficher

Ah effectivement sin(x²), c'est zoli

Camélia, ajoute la condition f intégrable, leur fonction ne marchera plus niark niark

gui_tou intégrable sur R? L'intégrale impropre converge en tout cas, bon certes sa valeur absolue n'est pas intégrable.

Camélia->ok je vois

vi vi intégrable sur IR

Ok, dans ce cas effectivement c'est pas Lebesgue intégrable.

Bonjour,

Voici une fonction bornée, de classe C1 et intégrable sur R telle que sa dérivée n'est pas bornée:

 Cliquez pour afficher

f(t)=

Bonsoir,

Bien trouvé, jandri ! (et une fonction bornée etc. qui n'admet pas de limite en l'infini ?)

bonjour Camélia

 Cliquez pour afficher

tout bêtement : f(x) = x²

plumemeteore : f non bornée

gui_tou:

 Cliquez pour afficher

sin(x²) n'admet pas de limite en l'infini Si tu la veux intégrable, le bon truc est de faire une fonction avec des pics de plus en plus resserés et qui reste intégrable,sauf qu'au lieu de prendre des trucs affines tu prends des fonctions plateaux.

Pour faire plaisir à gui_tou voici une fonction définie par un formule très simple qui est de classe , bornée, positive et intégrable sur , qui n'a pas de limite en l'infini et telle que sa dérivée ne soit pas bornée:

 Cliquez pour afficher

. f est intégrable car pour n>0 : ; f' n'est pas bornée car .

cauchy :

 Cliquez pour afficher

vi c'est ce que j'ai répondu à Camélia

C'est quoi des fonctions plateaux ?

Salut

 Cliquez pour afficher

Toujours après la bataille: f(x)=sin(x²), mais je suppose qu'elle a déjà été donnée...

Après tout, ma question plutôt bête n'était pas si inutile que ça! Merci à tous

gui_tou:

 Cliquez pour afficher

C'est des fonctions C infinie à support compact(où tu peux choisir le support et la hauteur à laquelle tes fonctions vont monter en 0, graphiquement c'est des cloches bien arrondies quand tu raccordes).

Cauchy >>

 Cliquez pour afficher

Ca à pas l'air spécialement triviale qu'il existe des fonctions infiniement dérivable à support compact..., si?

Schumi-->

 Cliquez pour afficher

Non ca l'est pas spécialement mais ca existe, par exemple la fonction f(x)=exp(-1/(1-x²)) pour |x|<1 et 0 ailleurs a bien un recollement C infini. Après en dilatant cette fonction, tu peux prendre un support aussi petit que tu veux.